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5 如图，图(2)是图(1)中长方体的三视图. 用S表示面积，若已知$S_{主}=x^2+2x$，$S_{左}=x^2+x$，$S_{俯}=6$，则x的值为（
A.1；
B.2；
C.3；
D.4.
A
）A.1；
B.2；
C.3；
D.4.
答案
5.A. 提示：由$S_主=x^2+2x=x(x+2)$，$S_左=x^2+x=x(x+1)$，得俯视图中长方形的长为$x+2$，宽为$x+1$. 因此，$S_俯=(x+2)(x+1)=6$. 解得$x_1=-4$，$x_2=1$. 取$x=1$.
解析
【分析】
解题首先要明确长方体三视图面积和自身长宽高的对应关系：主视图面积=长×高，左视图面积=宽×高，俯视图面积=长×宽。第一步先对已知的主视图、左视图面积因式分解，结合主视图标注的高为x，推导长方体的长和宽；第二步利用俯视图面积公式列一元二次方程；第三步解方程后结合长度为正数的实际要求舍去负根，即可得到x的取值。
【解析】
解：先对主视图、左视图的面积表达式因式分解：
$S_{主}=x^2+2x=x(x+2)$，主视图竖直边长为长方体的高$x$，因此长方体的长为$x+2$；
$S_{左}=x^2+x=x(x+1)$，左视图竖直边长也为高$x$，因此长方体的宽为$x+1$；
已知俯视图面积$S_{俯}=长×宽=6$，代入长和宽列方程：
$(x+2)(x+1)=6$
展开整理得：$x^2+3x-4=0$
因式分解得：$(x+4)(x-1)=0$
解得$x_1=-4$，$x_2=1$
由于$x$表示长方体的高，为正数，故舍去$x=-4$，得$x=1$。
【答案】
A
【知识点】
长方体三视图、因式分解、一元二次方程求解
【点评】
本题结合了几何三视图知识与代数运算知识，解题核心是找准三视图面积和长方体长宽高的对应关系，同时要注意实际问题中未知数的取值需要符合实际意义，排除不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确长方体三视图面积和自身长宽高的对应关系：主视图面积=长×高，左视图面积=宽×高，俯视图面积=长×宽。第一步先对已知的主视图、左视图面积因式分解，结合主视图标注的高为x，推导长方体的长和宽；第二步利用俯视图面积公式列一元二次方程；第三步解方程后结合长度为正数的实际要求舍去负根，即可得到x的取值。
【解析】
解：先对主视图、左视图的面积表达式因式分解：
$S_{主}=x^2+2x=x(x+2)$，主视图竖直边长为长方体的高$x$，因此长方体的长为$x+2$；
$S_{左}=x^2+x=x(x+1)$，左视图竖直边长也为高$x$，因此长方体的宽为$x+1$；
已知俯视图面积$S_{俯}=长×宽=6$，代入长和宽列方程：
$(x+2)(x+1)=6$
展开整理得：$x^2+3x-4=0$
因式分解得：$(x+4)(x-1)=0$
解得$x_1=-4$，$x_2=1$
由于$x$表示长方体的高，为正数，故舍去$x=-4$，得$x=1$。
【答案】
A
【知识点】
长方体三视图、因式分解、一元二次方程求解
【点评】
本题结合了几何三视图知识与代数运算知识，解题核心是找准三视图面积和长方体长宽高的对应关系，同时要注意实际问题中未知数的取值需要符合实际意义，排除不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
6 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示. 搭成该几何体的小正方体可能的个数的最大值与最小值的差是 （
A.5；
B.6；
C.7；
D.8.
B
）A.5；
B.6；
C.7；
D.8.
答案
6.B. 提示：根据主视图和俯视图，这个几何体的底层有7个小正方体，第二层最多有6个小正方体，最少有2个小正方体，第三层最多有3个小正方体，最少有1个小正方体. 因此，组成这个几何体的小正方体最多有16个，最少有10个，如图所示.
解析
【分析】
解决此类问题的核心思路是：首先由俯视图确定几何体底层的小正方体数量，俯视图中每个小正方形对应底层的一个小正方体，因此底层数量固定等于俯视图中小正方形的个数；再结合主视图确定每一列的最大层数，分别分析第二层、第三层最多、最少需要的小正方体数量，最后计算总个数的最大值和最小值，求二者的差即可。
【解析】
1. 确定底层小正方体个数：观察俯视图，共有7个小正方形，因此几何体第一层（底层）固定有7个小正方体。
2. 计算最多的小正方体总个数：
由主视图可知，几何体从左到右三列的最大高度分别为3层、2层、1层：
第二层：左列、中列的所有位置均可放置，最多有$3+3=6$个；
第三层：仅左列的位置可放置，最多有3个；
最多总个数为：$7+6+3=16$个。
3. 计算最少的小正方体总个数：
仅需满足主视图的高度要求即可：
第二层：左列至少1个、中列至少1个，最少有2个；
第三层：左列至少1个，最少有1个；
最少总个数为：$7+2+1=10$个。
4. 求差值：最大值与最小值的差为$16-10=6$。
【答案】
B
【知识点】
三视图识别；由三视图还原几何体
【点评】
本题是三视图的典型考题，重点考查空间想象能力，掌握“俯视图定底层数量，主视图定各列最大高度”的解题规律，即可快速求解，易错点是计算最少个数时多算不必要的小正方体数量。
【难度系数】
0.6
解决此类问题的核心思路是：首先由俯视图确定几何体底层的小正方体数量，俯视图中每个小正方形对应底层的一个小正方体，因此底层数量固定等于俯视图中小正方形的个数；再结合主视图确定每一列的最大层数，分别分析第二层、第三层最多、最少需要的小正方体数量，最后计算总个数的最大值和最小值，求二者的差即可。
【解析】
1. 确定底层小正方体个数：观察俯视图，共有7个小正方形，因此几何体第一层（底层）固定有7个小正方体。
2. 计算最多的小正方体总个数：
由主视图可知，几何体从左到右三列的最大高度分别为3层、2层、1层：
第二层：左列、中列的所有位置均可放置，最多有$3+3=6$个；
第三层：仅左列的位置可放置，最多有3个；
最多总个数为：$7+6+3=16$个。
3. 计算最少的小正方体总个数：
仅需满足主视图的高度要求即可：
第二层：左列至少1个、中列至少1个，最少有2个；
第三层：左列至少1个，最少有1个；
最少总个数为：$7+2+1=10$个。
4. 求差值：最大值与最小值的差为$16-10=6$。
【答案】
B
【知识点】
三视图识别；由三视图还原几何体
【点评】
本题是三视图的典型考题，重点考查空间想象能力，掌握“俯视图定底层数量，主视图定各列最大高度”的解题规律，即可快速求解，易错点是计算最少个数时多算不必要的小正方体数量。
【难度系数】
0.6
7. 小玲和小芳两人同一时刻站在阳光下. 若小玲在地面上的影子比小芳的影子长，则可以判定两人中小芳较
矮
.(填“高”或“矮”)答案
7. 矮.
解析
【分析】
本题属于平行投影的实际应用问题，解题思路如下：第一步，明确同一时刻阳光下的投影是平行投影；第二步，回忆平行投影的核心性质：同一时刻，不同物体的高度和对应影长的比值相等，即物高与影长成正比例关系；第三步，根据已知的影长大小关系，推导两人的身高关系，即可得出结论。
【解析】
同一时刻阳光下的投影为平行投影，根据平行投影的性质：同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例。
设小玲的身高为$h_1$，影长为$l_1$，小芳的身高为$h_2$，影长为$l_2$，则有$\frac{h_1}{l_1}=\frac{h_2}{l_2}$，变形可得$\frac{h_1}{h_2}=\frac{l_1}{l_2}$。
由题意知小玲的影子更长，即$l_1＞l_2$，因此$\frac{l_1}{l_2}＞1$，可得$\frac{h_1}{h_2}＞1$，即$h_1＞h_2$，说明小玲比小芳高，因此小芳较矮。
【答案】
矮
【知识点】
1. 平行投影的性质
2. 物高与影长的比例关系
【点评】
本题结合生活实际考察平行投影的相关性质，解题关键是掌握同一时刻物高和影长成正比的规律，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.9
本题属于平行投影的实际应用问题，解题思路如下：第一步，明确同一时刻阳光下的投影是平行投影；第二步，回忆平行投影的核心性质：同一时刻，不同物体的高度和对应影长的比值相等，即物高与影长成正比例关系；第三步，根据已知的影长大小关系，推导两人的身高关系，即可得出结论。
【解析】
同一时刻阳光下的投影为平行投影，根据平行投影的性质：同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例。
设小玲的身高为$h_1$，影长为$l_1$，小芳的身高为$h_2$，影长为$l_2$，则有$\frac{h_1}{l_1}=\frac{h_2}{l_2}$，变形可得$\frac{h_1}{h_2}=\frac{l_1}{l_2}$。
由题意知小玲的影子更长，即$l_1＞l_2$，因此$\frac{l_1}{l_2}＞1$，可得$\frac{h_1}{h_2}＞1$，即$h_1＞h_2$，说明小玲比小芳高，因此小芳较矮。
【答案】
矮
【知识点】
1. 平行投影的性质
2. 物高与影长的比例关系
【点评】
本题结合生活实际考察平行投影的相关性质，解题关键是掌握同一时刻物高和影长成正比的规律，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.9
8. 如图是一个由若干个正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是
① ② ③ ④ ⑤
①②③
.① ② ③ ④ ⑤
答案
8. ①②③.
解析
【分析】
解题时需利用三视图的对应关系推导可行的俯视图，思路如下：首先明确三视图的对应规律：主视图反映几何体的左右列数和每列的最大堆叠高度，左视图反映几何体的前后行数和每行的最大堆叠高度。我们先从已知的主视图、左视图中提取几何体的堆叠高度限制条件，再逐一验证各个俯视图是否符合条件即可。
【解析】
1. 提取主视图信息：
主视图共2列，左列最大高度为2层，右列最大高度为1层，可得：①几何体沿左右方向分2列，对应俯视图的左右2列；②俯视图左列至少有1个位置堆叠高度为2层，右列所有位置堆叠高度最多为1层。
2. 提取左视图信息：
左视图共2列，左列最大高度为2层，右列最大高度为1层，可得：①几何体沿前后方向分2行，对应俯视图的前后2行；②俯视图后行至少有1个位置堆叠高度为2层，前行所有位置堆叠高度最多为1层。
3. 验证各俯视图：
结合上述条件可知，仅俯视图后行左列的位置可堆叠2层，其余位置堆叠高度最多为1层：
①②③均满足上述限制条件，可作为俯视图；
④⑤的右列存在可堆叠2层的位置，会导致主视图右列高度超过1层，不符合要求。
【答案】
①②③
【知识点】
1. 三视图的对应规律
2. 由三视图判断几何体
【点评】
本题是三视图部分的典型题型，解题核心是掌握“主视图定左右列高、左视图定前后行高”的规律，能有效考查学生的空间想象能力。
【难度系数】
0.7
解题时需利用三视图的对应关系推导可行的俯视图，思路如下：首先明确三视图的对应规律：主视图反映几何体的左右列数和每列的最大堆叠高度，左视图反映几何体的前后行数和每行的最大堆叠高度。我们先从已知的主视图、左视图中提取几何体的堆叠高度限制条件，再逐一验证各个俯视图是否符合条件即可。
【解析】
1. 提取主视图信息：
主视图共2列，左列最大高度为2层，右列最大高度为1层，可得：①几何体沿左右方向分2列，对应俯视图的左右2列；②俯视图左列至少有1个位置堆叠高度为2层，右列所有位置堆叠高度最多为1层。
2. 提取左视图信息：
左视图共2列，左列最大高度为2层，右列最大高度为1层，可得：①几何体沿前后方向分2行，对应俯视图的前后2行；②俯视图后行至少有1个位置堆叠高度为2层，前行所有位置堆叠高度最多为1层。
3. 验证各俯视图：
结合上述条件可知，仅俯视图后行左列的位置可堆叠2层，其余位置堆叠高度最多为1层：
①②③均满足上述限制条件，可作为俯视图；
④⑤的右列存在可堆叠2层的位置，会导致主视图右列高度超过1层，不符合要求。
【答案】
①②③
【知识点】
1. 三视图的对应规律
2. 由三视图判断几何体
【点评】
本题是三视图部分的典型题型，解题核心是掌握“主视图定左右列高、左视图定前后行高”的规律，能有效考查学生的空间想象能力。
【难度系数】
0.7
