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20.「2026江苏宿迁月考，★★☆」(10分)现有如下数表：
(1)请你用含n的代数式写出：$a=$
(2)以$a,b,c$为边长的三角形是不是直角三角形？说明理由.
(1)请你用含n的代数式写出：$a=$
$n^2-1$
, $b=$$2n$
, $c=$$n^2+1$
.(2)以$a,b,c$为边长的三角形是不是直角三角形？说明理由.
答案
20.解析 (1)$n^2-1$ ;$2n$ ;$n^2+1$.
(2)以 $a,b,c$ 为边长的三角形是直角三角形.理由如下:
$\because a=n^2-1$,$b=2n$,$c=n^2+1$,$\therefore a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2$,$c^2=(n^2+1)^2$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$,$\therefore$ 以 $a,b,c$ 为边长的三角形是直角三角形.
(2)以 $a,b,c$ 为边长的三角形是直角三角形.理由如下:
$\because a=n^2-1$,$b=2n$,$c=n^2+1$,$\therefore a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2$,$c^2=(n^2+1)^2$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$,$\therefore$ 以 $a,b,c$ 为边长的三角形是直角三角形.
21.「2026重庆八中月考，★☆」(10分)古代护城河上有座吊桥，
是它的结构原理图，是它的示意图.把桥面看成是杆AB,可以绕转轴B在竖直平面内转动,在B点正上方固定一个定滑轮C,绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连,且AB=BC.某人站在点E处,拉绳子的手的位置D与地面E的距离为1.5 m.
(1)若AB=7.5 m,AE=15.5 m,求从A到定滑轮C,再到D点拉着的绳长(结果保留根号).
(2)若BE的长为12 m,CD比BC长6.5 m,求桥面的宽AB.
是它的结构原理图，是它的示意图.把桥面看成是杆AB,可以绕转轴B在竖直平面内转动,在B点正上方固定一个定滑轮C,绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连,且AB=BC.某人站在点E处,拉绳子的手的位置D与地面E的距离为1.5 m.(1)若AB=7.5 m,AE=15.5 m,求从A到定滑轮C,再到D点拉着的绳长(结果保留根号).
(2)若BE的长为12 m,CD比BC长6.5 m,求桥面的宽AB.
答案
21.解析 (1)由题意知$∠ ABC=90°$,$BC=AB=7.5\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\frac{15\sqrt{2}}{2}\ (\mathrm{m})$,$\because AE=15.5\ \mathrm{m}$,
$\therefore BE=AE-AB=8\ \mathrm{m}$,易知四边形 $BEDF$ 是长方形,
$\therefore DF=BE=8\ \mathrm{m}$,$DE=BF=1.5\ \mathrm{m}$,
$\therefore CF=BC-BF=6\ \mathrm{m}$,
$\therefore CD=\sqrt{CF^2+DF^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\ \mathrm{m}\ )$,
$\therefore AC+CD=\frac{15\sqrt{2}+20}{2}\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 从 $A$ 到定滑轮 $C$,再到 $D$ 点拉着的绳长为 $\frac{15\sqrt{2}+20}{2}\ \mathrm{m}$.
(2)由(1)知 $DF=BE$,$DE=BF=1.5\ \mathrm{m}$,$\therefore DF=12\ \mathrm{m}$,$CF=BC-BF=AB-1.5$,$\because CD$ 比 $BC$ 长 6.5 m,$\therefore CD=BC+6.5=AB+6.5$,$\because CF^2+DF^2=CD^2$,$\therefore (AB-1.5)^2+12^2=(AB+6.5)^2$,
$\therefore AB=6.5\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 桥面的宽 $AB$ 为 6.5 m.
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\frac{15\sqrt{2}}{2}\ (\mathrm{m})$,$\because AE=15.5\ \mathrm{m}$,
$\therefore BE=AE-AB=8\ \mathrm{m}$,易知四边形 $BEDF$ 是长方形,
$\therefore DF=BE=8\ \mathrm{m}$,$DE=BF=1.5\ \mathrm{m}$,
$\therefore CF=BC-BF=6\ \mathrm{m}$,
$\therefore CD=\sqrt{CF^2+DF^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\ \mathrm{m}\ )$,
$\therefore AC+CD=\frac{15\sqrt{2}+20}{2}\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 从 $A$ 到定滑轮 $C$,再到 $D$ 点拉着的绳长为 $\frac{15\sqrt{2}+20}{2}\ \mathrm{m}$.
(2)由(1)知 $DF=BE$,$DE=BF=1.5\ \mathrm{m}$,$\therefore DF=12\ \mathrm{m}$,$CF=BC-BF=AB-1.5$,$\because CD$ 比 $BC$ 长 6.5 m,$\therefore CD=BC+6.5=AB+6.5$,$\because CF^2+DF^2=CD^2$,$\therefore (AB-1.5)^2+12^2=(AB+6.5)^2$,
$\therefore AB=6.5\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 桥面的宽 $AB$ 为 6.5 m.
