22.「2026山东青岛期中，★★★」(12分)定义:若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍,则称此三角形为“平方倍三角形”.
(1)若一个三角形的三边长分别是$\sqrt{5}$,$\sqrt{11}$和2,则此三角形是不是“平方倍三角形”?请说明理由.
(2)若一个直角三角形是“平方倍三角形”,求该直角三角形的三边之比(结果按从小到大的顺序排列).
(3)如图,在$Rt△ ABC$中,已知$∠ ACB=90°$,$BC=5$,$CD$为边$AB$上的中线,且$CD=\frac{1}{2}AB$.若$△ BCD$是“平方倍三角形”,求$△ ABC$的面积.

22.解析 (1)此三角形是“平方倍三角形”.理由如下:
因为$(\sqrt{11})^2+2^2=3×(\sqrt{5})^2$,满足“平方倍三角形”的定义,所以三边长分别是$\sqrt{5}$,$\sqrt{11}$和2的三角形是“平方倍三角形”.
(2)如图,$\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$a^2+b^2=c^2$.

由 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 是“平方倍三角形”,设 $c^2+b^2=3a^2$.②
把①代入②,得 $a^2+b^2+b^2=3a^2$,即 $a^2=b^2$,所以 $a=b$.
把 $a=b$ 代入①,得 $c=\sqrt{2}\ b$.
所以该直角三角形的三边之比为 $1:1:\sqrt{2}$.
(3)在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,因为$∠ ACB=90°$,$CD$ 为边 $AB$ 上的中线,且 $CD=\frac{1}{2}AB$,所以 $CD=AD=BD$.
设 $CD=AD=BD=x$,则 $AB=2x$.
因为$△ BCD$ 是“平方倍三角形”,
所以有以下两种情况:
①当 $BD^2+CD^2=3BC^2$ 时,有 $x^2+x^2=3×5^2$,解得 $x=\frac{5\sqrt{6}}{2}$ (负值舍去),
所以 $AB=2x=5\sqrt{6}$,所以 $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=5\sqrt{5}$,所以$△ ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}×5\sqrt{5}×5=\frac{25\sqrt{5}}{2}$.
②当 $BC^2+BD^2=3CD^2$ 或 $BC^2+CD^2=3BD^2$ 时,有 $5^2+x^2=3x^2$,解得 $x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$ (负值舍去),
所以 $AB=2x=5\sqrt{2}$,所以 $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=5$,
所以$△ ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}$.
综上所述,$△ ABC$ 的面积为 $\frac{25\sqrt{5}}{2}$ 或 $\frac{25}{2}$.