3.「2025天津河西期末，★☆」如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC各顶点的坐标分别是$O(0,0),A(1,2),B(3,3),C(5,0)$,则四边形OABC的面积为。

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解析 如图,过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$,过点$B$作$BF⊥ x$轴于点$F$,因为$O(0,0)$,$A(1,2)$,$B(3,3)$,$C(5,0)$,所以$OE=1$,$AE=2$,$BF=3$,$CF=2$,$EF=2$,所以四边形$OABC$的面积=$S_{△ AOE}+S_{△ BCF}+S_{\mathrm{梯形}ABFE}=\frac{1}{2}×1×2+\frac{1}{2}×3×2+(2+3)×2×\frac{1}{2}=9$.

4.「2026湖南长沙月考改编，★☆」如图，$△ ABC$三个顶点的坐标分别是$A(-2,4),B(-4,2),C(-3,1)$.
(1)请画出$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,并写出$A_{1},B_{1},C_{1}$的坐标.
(2)求$△ ABC$的面积.

(1)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求,$A_1(-2,-4)$,$B_1(-4,-2)$,$C_1(-3,-1)$.

(2)$△ ABC$的面积为$2×3-\frac{1}{2}×1×1-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×2×2=2$.

5.「★★☆」如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点分别为A(2,0),B(0,4),C(-3,2).
(1)求△ABC的面积.
(2)若点P的坐标为(m,0).
①线段AP的长为(用含m的式子表示).
②当$S_{△ PAB}=2S_{△ ABC}$时,求m的值.

(1)过点$C$作$CD⊥ x$轴,垂足为$D$,过点$B$作$BE⊥ CD$,交$DC$的延长线于$E$,过点$A$作$AF⊥ BE$,交$EB$的延长线于$F$,如图所示.

易知四边形$ADEF$是长方形,
$\because A(2,0)$,$B(0,4)$,$C(-3,2)$,
$\therefore D(-3,0)$,$E(-3,4)$,$F(2,4)$,
$\therefore AD=5$,$CD=2$,$BE=3$,$CE=2$,$DE=4$,$BF=2$,$AF=4$,
$\therefore S_{△ ABC}=S_{\mathrm{长方形}ADEF}-S_{△ ACD}-S_{△ BCE}-S_{△ ABF}$
$=AD· DE-\frac{1}{2}AD· CD-\frac{1}{2}CE· BE-\frac{1}{2}BF· AF$
$=5×4-\frac{1}{2}×5×2-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×2×4=8$.
(2)①$|m-2|$.
②$\because S_{△ PAB}=2S_{△ ABC}$,$\therefore \frac{1}{2}AP· BO=2×8$,
$\because BO=4$,$\therefore AP=|m-2|=8$,
$\therefore m-2=8$或$m-2=-8$,$\therefore m=10$或$m=-6$.