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三、解答题
11. 如图，已知：在$△ ABC$中，点$D$、$F$在边$AB$上，点$E$在边$AC$上，且$DE// BC$，$FE// DC$. 求证：线段$AD$是线段$AF$、$AB$的比例中项.
11. 如图，已知：在$△ ABC$中，点$D$、$F$在边$AB$上，点$E$在边$AC$上，且$DE// BC$，$FE// DC$. 求证：线段$AD$是线段$AF$、$AB$的比例中项.
答案
11. $\because \quad DE // BC,\ FE // DC,\ \therefore \quad \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE},\ \dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AC}{AE}.$
$\therefore \ \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AD}{AF}.$
$\therefore \ $ 线段 $AD$ 是线段 $AF$、$AB$ 的比例中项.
$\therefore \ \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AD}{AF}.$
$\therefore \ $ 线段 $AD$ 是线段 $AF$、$AB$ 的比例中项.
解析
【分析】
要证明线段AD是AF、AB的比例中项，本质是推导得到$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AD}{AF}$，也就是$AD^2=AF· AB$。结合题中给出的两组平行条件，可利用平行线分线段成比例定理，分别在$△ ABC$中由$DE// BC$得到一组比例式，在$△ ADC$中由$FE// DC$得到另一组比例式，两组比例式有公共的中间比$\dfrac{AC}{AE}$，通过等量代换即可得到所需的比例关系，完成证明。
【解析】
$\because DE// BC$，$FE// DC$，
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例定理，在$△ ABC$中可得$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$，在$△ ADC$中可得$\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AC}{AE}$，
$\therefore \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AD}{AF}$，
$\therefore$ 线段$AD$是线段$AF$、$AB$的比例中项。
【答案】
线段$AD$是线段$AF$、$AB$的比例中项
【知识点】
平行线分线段成比例，比例中项，等量代换
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用类题目，解题的核心是找到两组平行线对应的三角形，通过公共中间比搭建起待证比例式两边的关联，思路清晰，是比例证明的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要证明线段AD是AF、AB的比例中项，本质是推导得到$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AD}{AF}$，也就是$AD^2=AF· AB$。结合题中给出的两组平行条件，可利用平行线分线段成比例定理，分别在$△ ABC$中由$DE// BC$得到一组比例式，在$△ ADC$中由$FE// DC$得到另一组比例式，两组比例式有公共的中间比$\dfrac{AC}{AE}$，通过等量代换即可得到所需的比例关系，完成证明。
【解析】
$\because DE// BC$，$FE// DC$，
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例定理，在$△ ABC$中可得$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$，在$△ ADC$中可得$\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AC}{AE}$，
$\therefore \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AD}{AF}$，
$\therefore$ 线段$AD$是线段$AF$、$AB$的比例中项。
【答案】
线段$AD$是线段$AF$、$AB$的比例中项
【知识点】
平行线分线段成比例，比例中项，等量代换
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用类题目，解题的核心是找到两组平行线对应的三角形，通过公共中间比搭建起待证比例式两边的关联，思路清晰，是比例证明的典型基础题。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是边$BC$上的高，点$E$、$F$分别在线段$AC$、$CD$上，且$∠ 1=∠ 2$. 如果$CE:AE=3:5$，$CF=6$，求$BC$的长.
答案
12. 32.
解析
【分析】
解题时首先结合等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、AD是BC边上的高，可得AD平分∠BAC且D为BC中点，进而得到∠1=∠DAC；再结合已知∠1=∠2，通过等量代换得到∠DAC=∠2，判定AD//EF；随后利用平行线分线段成比例定理得到CE与AE的比等于CF与FD的比，代入已知数值求出FD的长度，再计算CD的长度，最终由BC=2CD求出BC的长。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是边BC上的高，
∴AD平分∠BAC，且BD=CD（等腰三角形三线合一），
∴∠1=∠DAC。
又
∵∠1=∠2，
∴∠DAC=∠2，
∴AD//EF（同位角相等，两直线平行）。
由平行线分线段成比例定理，可得$\frac{CE}{AE}=\frac{CF}{FD}$。
已知$CE:AE=3:5$，$CF=6$，代入得：
$\frac{3}{5}=\frac{6}{FD}$，解得$FD=10$。
∴$CD=CF+FD=6+10=16$，
∴$BC=2CD=2×16=32$。
【答案】
32
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的判定；平行线分线段成比例
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的突破口是通过角的等量关系推出两条直线平行，再结合比例性质求解线段长度，对等腰三角形性质和平行线分线段成比例定理的灵活运用是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、AD是BC边上的高，可得AD平分∠BAC且D为BC中点，进而得到∠1=∠DAC；再结合已知∠1=∠2，通过等量代换得到∠DAC=∠2，判定AD//EF；随后利用平行线分线段成比例定理得到CE与AE的比等于CF与FD的比，代入已知数值求出FD的长度，再计算CD的长度，最终由BC=2CD求出BC的长。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是边BC上的高，
∴AD平分∠BAC，且BD=CD（等腰三角形三线合一），
∴∠1=∠DAC。
又
∵∠1=∠2，
∴∠DAC=∠2，
∴AD//EF（同位角相等，两直线平行）。
由平行线分线段成比例定理，可得$\frac{CE}{AE}=\frac{CF}{FD}$。
已知$CE:AE=3:5$，$CF=6$，代入得：
$\frac{3}{5}=\frac{6}{FD}$，解得$FD=10$。
∴$CD=CF+FD=6+10=16$，
∴$BC=2CD=2×16=32$。
【答案】
32
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的判定；平行线分线段成比例
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的突破口是通过角的等量关系推出两条直线平行，再结合比例性质求解线段长度，对等腰三角形性质和平行线分线段成比例定理的灵活运用是解题的核心。
【难度系数】
0.7
13. 如图，已知四边形ADEF是菱形，顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上，$\frac{CF}{AF}=\frac{1}{2}$。求$\frac{AF}{BD}$的值。
答案
13. $\dfrac{1}{2}$. 提示：$\dfrac{AF}{BD}=\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{CE}{BE}=\dfrac{CF}{AF}=\dfrac{1}{2}.$
解析
【分析】
解题时首先利用菱形的性质，得到边相等、对边平行的结论，将所求的$\frac{AF}{BD}$转化为求$\frac{AD}{BD}$；再结合两组平行线，运用平行线分线段成比例定理，把已知的$\frac{CF}{AF}$和待求的$\frac{AD}{BD}$通过中间比例$\frac{CE}{BE}$关联起来，最后通过等量代换求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ADEF是菱形，
∴$AF=AD$，$DE// AC$，$EF// AB$（菱形的四条边相等、对边平行）。
∵$EF// AB$，根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{CF}{AF}=\frac{CE}{BE}$，
已知$\frac{CF}{AF}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2}$。
∵$DE// AC$，同理可得：
$\frac{AD}{BD}=\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2}$。
又
∵$AF=AD$，
∴$\frac{AF}{BD}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
菱形的性质；平行线分线段成比例；等量代换
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是利用菱形的性质得到平行和等边条件，再通过平行线分线段成比例建立已知比例和待求比例的关联，解题的关键是找到中间过渡的比例式，整体思路清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用菱形的性质，得到边相等、对边平行的结论，将所求的$\frac{AF}{BD}$转化为求$\frac{AD}{BD}$；再结合两组平行线，运用平行线分线段成比例定理，把已知的$\frac{CF}{AF}$和待求的$\frac{AD}{BD}$通过中间比例$\frac{CE}{BE}$关联起来，最后通过等量代换求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ADEF是菱形，
∴$AF=AD$，$DE// AC$，$EF// AB$（菱形的四条边相等、对边平行）。
∵$EF// AB$，根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{CF}{AF}=\frac{CE}{BE}$，
已知$\frac{CF}{AF}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2}$。
∵$DE// AC$，同理可得：
$\frac{AD}{BD}=\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2}$。
又
∵$AF=AD$，
∴$\frac{AF}{BD}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
菱形的性质；平行线分线段成比例；等量代换
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是利用菱形的性质得到平行和等边条件，再通过平行线分线段成比例建立已知比例和待求比例的关联，解题的关键是找到中间过渡的比例式，整体思路清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
