14 如图，已知在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC. 求AC的长.

14. 如图，过点 D 作 $DM// AB$，交 AC 于点 M.
$\because \ \ DM// AB,\ ∠ BAD=75°,\ \therefore \ \ ∠ ADM=∠ BAD=75°.$
$\because \ \ ∠ CAD=30°,\ \therefore \ \ ∠ AMD=180°-75°-30°=75°.$
$\therefore \ \ ∠ ADM=∠ AMD.$
$\because \ \ AD=2,\ \therefore \ \ AM=AD=2.$
$\because \ \ DM// AB,\ \therefore \ \ \dfrac{AM}{AC}=\dfrac{BD}{BC}.$
$\because \ \ BD=2DC,\ \therefore \ \ \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{2}{3}.$
$\therefore \ \ AC=\dfrac{AM}{\dfrac{2}{3}}=3.$

【分析】
题目给出了线段比例关系BD=2DC和多个角度条件，可通过构造平行线打通角度和线段比例的联系：首先过点D作DM平行于AB，一方面利用平行线的内错角相等得到∠ADM的度数，结合已知∠CAD的度数可判定△ADM为等腰三角形，得到AM的长度；另一方面利用平行线分线段成比例的性质，结合BD和BC的比例关系，即可求出AC的长度。
【解析】
过点 $ D $ 作 $ DM// AB $，交 $ AC $ 于点 $ M $。
$\because \ DM// AB,\ ∠ BAD=75°,\ \therefore \ ∠ ADM=∠ BAD=75°.$
$\because \ ∠ CAD=30°,\ \therefore \ ∠ AMD=180° - 75° - 30° =75°.$
$\therefore \ ∠ ADM=∠ AMD.$
$\because \ AD=2,\ \therefore \ AM=AD=2.$
$\because \ DM// AB,\ \therefore \ \dfrac{AM}{AC}=\dfrac{BD}{BC}.$
$\because \ BD=2DC,\ \therefore \ \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{2}{3}.$
$\therefore \ AC=\dfrac{AM}{\dfrac{2}{3}}=3.$
【答案】
$ AC=3 $
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形判定；平行线分线段成比例
【点评】
本题考查几何中辅助线的构造与相关定理的综合应用，解题的关键是合理作出平行辅助线，同时串联起角度推导和线段比例计算两个环节，整体解题思路清晰，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.7