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13. 同学们跳长绳. 小海发现绳摇到最高处时的形状是抛物线. 如图，两小朋友拿绳的手高度相同，间距 $ AB = 6 \, \mathrm{m} $，到地面的距离 $ AO = BC = 0.9 \, \mathrm{m} $. 另一位小朋友在 $ OC $ 的中点 $ D $ 处跳起后，绳子刚好通过他的头顶 $ E $，且 $ DE = 1.8 \, \mathrm{m} $. 以点 $ O $ 为原点建立平面直角坐标系，解决以下问题.
（1）求该抛物线的函数表达式.
（2）若身高 $ 1.45 \, \mathrm{m} $ 的小丽站在距离原点的水平距离为 $ 1 \, \mathrm{m} $ 的点 $ P $ 处，绳子摇到最高处时能否通过她的头顶？请说明理由.
（3）如果小明站在 $ O、C $ 之间，距离原点 $ a \, \mathrm{m} $，那么他跳起后头顶距离地面的高度是 $ 1.7 \, \mathrm{m} $. 当 $ a $ 在什么范围内时，绳子摇到最高处能顺利通过小明头顶？结合图像，直接写出 $ a $ 的取值范围.
（1）求该抛物线的函数表达式.
（2）若身高 $ 1.45 \, \mathrm{m} $ 的小丽站在距离原点的水平距离为 $ 1 \, \mathrm{m} $ 的点 $ P $ 处，绳子摇到最高处时能否通过她的头顶？请说明理由.
（3）如果小明站在 $ O、C $ 之间，距离原点 $ a \, \mathrm{m} $，那么他跳起后头顶距离地面的高度是 $ 1.7 \, \mathrm{m} $. 当 $ a $ 在什么范围内时，绳子摇到最高处能顺利通过小明头顶？结合图像，直接写出 $ a $ 的取值范围.
答案
13. (1) $y=-0.1x^2+0.6x+0.9$.
(2) 绳子不能通过她的头顶. 提示：当x=1时，$y=-0.1×(1-3)^2+1.8=1.4＜1.45$.
(3) 2＜a＜4. 提示：令y=1.7，$-0.1a^2+0.6a+0.9=1.7$. 解得，$a_1=2$，$a_2=4$. 由图像可知，2＜a＜4.
(2) 绳子不能通过她的头顶. 提示：当x=1时，$y=-0.1×(1-3)^2+1.8=1.4＜1.45$.
(3) 2＜a＜4. 提示：令y=1.7，$-0.1a^2+0.6a+0.9=1.7$. 解得，$a_1=2$，$a_2=4$. 由图像可知，2＜a＜4.
解析
【分析】
（1）求抛物线表达式时，先根据题意确定抛物线上的已知点坐标：A(0,0.9)、B(6,0.9)，抛物线对称轴为直线x=3，顶点E坐标为(3,1.8)，可设顶点式代入已知点求解系数。（2）判断绳子能否通过小丽头顶，只需将x=1代入解析式求出对应y值，和小丽身高比较大小即可。（3）求a的范围时，先求y=1.7时对应的x值，结合抛物线开口向下的性质，即可得到y＞1.7时x的取值范围。
【解析】
（1）由题意得A(0,0.9)，B(6,0.9)，抛物线对称轴为直线$x=\frac{0+6}{2}=3$，顶点E坐标为(3,1.8)。
设抛物线解析式为$y=a(x-3)^2+1.8$，将A(0,0.9)代入得：
$0.9=a×(0-3)^2+1.8$
解得$a=-0.1$
整理得抛物线解析式为$y=-0.1x^2+0.6x+0.9$。
（2）当x=1时，代入解析式得：
$y=-0.1×(1-3)^2+1.8=1.4$
$\because1.4＜1.45$
$\therefore$绳子摇到最高处时不能通过小丽头顶。
（3）令$y=1.7$，代入解析式得：
$-0.1a^2+0.6a+0.9=1.7$
整理得$a^2-6a+8=0$
解得$a_1=2,a_2=4$
$\because$抛物线开口向下，$\therefore$当$2＜a＜4$时，$y＞1.7$，绳子能顺利通过小明头顶。
【答案】
(1) $y=-0.1x^2+0.6x+0.9$
(2) 不能通过，理由见解析
(3) $2＜a＜4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的性质
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是准确建立函数模型，利用二次函数的性质求解实际问题，解题时结合图像分析可降低解题难度。
【难度系数】
0.7
（1）求抛物线表达式时，先根据题意确定抛物线上的已知点坐标：A(0,0.9)、B(6,0.9)，抛物线对称轴为直线x=3，顶点E坐标为(3,1.8)，可设顶点式代入已知点求解系数。（2）判断绳子能否通过小丽头顶，只需将x=1代入解析式求出对应y值，和小丽身高比较大小即可。（3）求a的范围时，先求y=1.7时对应的x值，结合抛物线开口向下的性质，即可得到y＞1.7时x的取值范围。
【解析】
（1）由题意得A(0,0.9)，B(6,0.9)，抛物线对称轴为直线$x=\frac{0+6}{2}=3$，顶点E坐标为(3,1.8)。
设抛物线解析式为$y=a(x-3)^2+1.8$，将A(0,0.9)代入得：
$0.9=a×(0-3)^2+1.8$
解得$a=-0.1$
整理得抛物线解析式为$y=-0.1x^2+0.6x+0.9$。
（2）当x=1时，代入解析式得：
$y=-0.1×(1-3)^2+1.8=1.4$
$\because1.4＜1.45$
$\therefore$绳子摇到最高处时不能通过小丽头顶。
（3）令$y=1.7$，代入解析式得：
$-0.1a^2+0.6a+0.9=1.7$
整理得$a^2-6a+8=0$
解得$a_1=2,a_2=4$
$\because$抛物线开口向下，$\therefore$当$2＜a＜4$时，$y＞1.7$，绳子能顺利通过小明头顶。
【答案】
(1) $y=-0.1x^2+0.6x+0.9$
(2) 不能通过，理由见解析
(3) $2＜a＜4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的性质
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是准确建立函数模型，利用二次函数的性质求解实际问题，解题时结合图像分析可降低解题难度。
【难度系数】
0.7
