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三、解答题
11. 如图，矩形场地的长为40 m，宽为30 m. 现将这块地划分成四块，分别种植郁金香(A)、月季(B)、菊花(C)和玉兰花(D). 单位：m
(1) 求这块场地中种植月季的面积y(单位：m²)关于B场地的长x(单位：m)的函数表达式，并求自变量x的取值范围.
(2) 当x取何值时，种植月季的面积最大？最大面积是多少？
11. 如图，矩形场地的长为40 m，宽为30 m. 现将这块地划分成四块，分别种植郁金香(A)、月季(B)、菊花(C)和玉兰花(D). 单位：m
(1) 求这块场地中种植月季的面积y(单位：m²)关于B场地的长x(单位：m)的函数表达式，并求自变量x的取值范围.
(2) 当x取何值时，种植月季的面积最大？最大面积是多少？
答案
11. (1) $y=-x^2+30x$；自变量x的取值范围是0＜x＜30.
(2) 当x=15时，种植月季的面积最大，最大面积为225 m².
(2) 当x=15时，种植月季的面积最大，最大面积为225 m².
解析
【分析】
(1) 求解月季种植面积的函数表达式，首先明确B场地为矩形，需先确定其长和宽：已知B的长为x m，结合图形可知B的宽为大矩形总宽减去上方区域的高度x，即(30 - x)m，根据矩形面积公式即可列出函数关系式；自变量x的取值需满足矩形的长和宽均为正数，据此可求出取值范围。
(2) 所得函数为二次函数，且二次项系数小于0，图象开口向下，在顶点处取得最大值，可利用二次函数顶点公式或配方法求出最值对应的x值和最大面积。
【解析】
(1) 由图形可得，B场地是矩形，长为x m，宽为$(30 - x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得：
$y = x(30 - x) = -x^2 + 30x$
由于矩形的长和宽均为正数，因此列不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\30 - x＞0\end{cases}$
解得$0 ＜ x ＜ 30$。
(2) 对于二次函数$y = -x^2 + 30x$，其中$a=-1＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点坐标公式，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1,b=30$得：
$x = -\frac{30}{2×(-1)} = 15$
将$x=15$代入函数表达式计算最大面积：
$y = -15^2 + 30×15 = 225$
【答案】
(1) $y=-x^2+30x$，自变量x的取值范围是$0＜x＜30$；
(2) 当$x=15$时，种植月季的面积最大，最大面积为$225 \ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的最值；自变量取值范围
【点评】
本题结合矩形面积的实际场景考查二次函数的应用，解题关键是结合图形特征正确列出函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，是二次函数实际应用的常见典型题型。
【难度系数】
0.75
(1) 求解月季种植面积的函数表达式，首先明确B场地为矩形，需先确定其长和宽：已知B的长为x m，结合图形可知B的宽为大矩形总宽减去上方区域的高度x，即(30 - x)m，根据矩形面积公式即可列出函数关系式；自变量x的取值需满足矩形的长和宽均为正数，据此可求出取值范围。
(2) 所得函数为二次函数，且二次项系数小于0，图象开口向下，在顶点处取得最大值，可利用二次函数顶点公式或配方法求出最值对应的x值和最大面积。
【解析】
(1) 由图形可得，B场地是矩形，长为x m，宽为$(30 - x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得：
$y = x(30 - x) = -x^2 + 30x$
由于矩形的长和宽均为正数，因此列不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\30 - x＞0\end{cases}$
解得$0 ＜ x ＜ 30$。
(2) 对于二次函数$y = -x^2 + 30x$，其中$a=-1＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点坐标公式，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1,b=30$得：
$x = -\frac{30}{2×(-1)} = 15$
将$x=15$代入函数表达式计算最大面积：
$y = -15^2 + 30×15 = 225$
【答案】
(1) $y=-x^2+30x$，自变量x的取值范围是$0＜x＜30$；
(2) 当$x=15$时，种植月季的面积最大，最大面积为$225 \ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的最值；自变量取值范围
【点评】
本题结合矩形面积的实际场景考查二次函数的应用，解题关键是结合图形特征正确列出函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，是二次函数实际应用的常见典型题型。
【难度系数】
0.75
12. 如图，从一块等腰直角三角形铁皮ABC上截一块矩形铁皮DEFG，使得矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上。已知△ABC的底边BC长10 cm，设DE的长为x cm，矩形DEFG的面积为y cm²。
(1) 写出y关于x的函数表达式及x的取值范围。
(2) 当矩形的面积等于三角形铁皮面积的一半时，求矩形DEFG的长和宽。
(1) 写出y关于x的函数表达式及x的取值范围。
(2) 当矩形的面积等于三角形铁皮面积的一半时，求矩形DEFG的长和宽。
答案
12. (1) $y=-2x^2+10x$；x的取值范围是0＜x＜5.
(2) $DE=\dfrac{5}{2}$ cm，$EF=5$ cm.
(2) $DE=\dfrac{5}{2}$ cm，$EF=5$ cm.
解析
【分析】
解决本题首先要结合等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质表示出矩形的长，再根据矩形面积公式推导函数关系式；第二问先计算三角形面积，再列方程求解即可。首先等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半，可先求出△ABC的高；再由DG//BC得到△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应高的比等于相似比，求出矩形的长EF的表达式，即可得到面积的函数式；第二问先求△ABC面积，令函数值等于面积的一半，解方程得到x的值，再求EF的长度即可。
【解析】
(1)
∵△ABC是等腰直角三角形，底边BC=10cm，
∴BC边上的高为$\frac{1}{2}×10=5$cm。
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG//BC，EF=DG，
∴△ADG∽△ABC。
△ADG的高为$5-x$，根据相似三角形的性质：
$\frac{DG}{BC}=\frac{5-x}{5}$，代入BC=10，
解得$DG=10×\frac{5-x}{5}=10-2x$，即$EF=10-2x$。
矩形面积$y=DE·EF=x(10-2x)=-2x^2+10x$。
由$x＞0$且$10-2x＞0$，得x的取值范围是$0＜x＜5$。
(2) 先计算△ABC的面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25\ \mathrm{cm}^2$，
面积的一半为$\frac{25}{2}\ \mathrm{cm}^2$，令$y=\frac{25}{2}$，得：
$-2x^2+10x=\frac{25}{2}$，
整理得$4x^2-20x+25=0$，即$(2x-5)^2=0$，
解得$x=\frac{5}{2}$，即$DE=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，
此时$EF=10-2×\frac{5}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $y=-2x^2+10x$，x的取值范围是$0＜x＜5$；
(2) 矩形的宽DE为$\dfrac{5}{2}$ cm，长EF为5 cm。
【知识点】
相似三角形的性质，二次函数的应用，一元二次方程的解法
【点评】
本题是几何与代数结合的典型习题，解题核心是利用相似三角形的性质建立矩形边长的表达式，再结合面积公式、方程求解即可，整体考察知识较为基础，综合性不强。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要结合等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质表示出矩形的长，再根据矩形面积公式推导函数关系式；第二问先计算三角形面积，再列方程求解即可。首先等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半，可先求出△ABC的高；再由DG//BC得到△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应高的比等于相似比，求出矩形的长EF的表达式，即可得到面积的函数式；第二问先求△ABC面积，令函数值等于面积的一半，解方程得到x的值，再求EF的长度即可。
【解析】
(1)
∵△ABC是等腰直角三角形，底边BC=10cm，
∴BC边上的高为$\frac{1}{2}×10=5$cm。
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG//BC，EF=DG，
∴△ADG∽△ABC。
△ADG的高为$5-x$，根据相似三角形的性质：
$\frac{DG}{BC}=\frac{5-x}{5}$，代入BC=10，
解得$DG=10×\frac{5-x}{5}=10-2x$，即$EF=10-2x$。
矩形面积$y=DE·EF=x(10-2x)=-2x^2+10x$。
由$x＞0$且$10-2x＞0$，得x的取值范围是$0＜x＜5$。
(2) 先计算△ABC的面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25\ \mathrm{cm}^2$，
面积的一半为$\frac{25}{2}\ \mathrm{cm}^2$，令$y=\frac{25}{2}$，得：
$-2x^2+10x=\frac{25}{2}$，
整理得$4x^2-20x+25=0$，即$(2x-5)^2=0$，
解得$x=\frac{5}{2}$，即$DE=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，
此时$EF=10-2×\frac{5}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $y=-2x^2+10x$，x的取值范围是$0＜x＜5$；
(2) 矩形的宽DE为$\dfrac{5}{2}$ cm，长EF为5 cm。
【知识点】
相似三角形的性质，二次函数的应用，一元二次方程的解法
【点评】
本题是几何与代数结合的典型习题，解题核心是利用相似三角形的性质建立矩形边长的表达式，再结合面积公式、方程求解即可，整体考察知识较为基础，综合性不强。
【难度系数】
0.7
