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5. 某拱桥的形状可近似看作抛物线. 若以拱顶为原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，则此抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{16}x^2$. 某一时刻，桥下水面AB的宽度为16 m，此时拱顶到水面的距离为
4
m.答案
5. 4.
解析
【分析】
本题是二次函数在拱桥问题中的实际应用。首先观察坐标系特征，抛物线以y轴为对称轴，拱顶在原点。已知水面AB宽度为16m，因为AB平行于x轴，结合抛物线的对称性可知，点A、B的横坐标分别为-8和8。要求拱顶到水面的距离，只需将x=8代入抛物线解析式求出对应的y值，y值的绝对值就是拱顶到水面的垂直距离。
【解析】
解：
∵ 抛物线的对称轴为y轴，水面AB的宽度为16m，且AB平行于x轴，
∴ 点B的横坐标为$16÷2=8$，
将$x=8$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{1}{16}x^2$，得：
$y=-\dfrac{1}{16}× 8^2 = -\dfrac{1}{16}× 64 = -4$，
∴ 水面的纵坐标为-4，拱顶O的坐标为$(0,0)$，
∴ 拱顶到水面的距离为$|0-(-4)|=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
4
【知识点】
抛物线的对称性，二次函数求值，二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题核心是利用抛物线的对称性确定水面对应点的横坐标，再代入解析式计算即可，需要注意函数值的符号与实际距离的关系。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在拱桥问题中的实际应用。首先观察坐标系特征，抛物线以y轴为对称轴，拱顶在原点。已知水面AB宽度为16m，因为AB平行于x轴，结合抛物线的对称性可知，点A、B的横坐标分别为-8和8。要求拱顶到水面的距离，只需将x=8代入抛物线解析式求出对应的y值，y值的绝对值就是拱顶到水面的垂直距离。
【解析】
解：
∵ 抛物线的对称轴为y轴，水面AB的宽度为16m，且AB平行于x轴，
∴ 点B的横坐标为$16÷2=8$，
将$x=8$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{1}{16}x^2$，得：
$y=-\dfrac{1}{16}× 8^2 = -\dfrac{1}{16}× 64 = -4$，
∴ 水面的纵坐标为-4，拱顶O的坐标为$(0,0)$，
∴ 拱顶到水面的距离为$|0-(-4)|=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
4
【知识点】
抛物线的对称性，二次函数求值，二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题核心是利用抛物线的对称性确定水面对应点的横坐标，再代入解析式计算即可，需要注意函数值的符号与实际距离的关系。
【难度系数】
0.8
6. 某商品进价为每件40元，售价为每件50元时，每月可卖出210件；售价每上涨1元，每月就少卖10件. 若设售价为每件x元$(x≥50)$，每月利润为y元，则y关于x的函数表达式为
$y=-10x^2+1110x-28400$
.答案
6. $y=-10x^2+1 110x-28 400$.
解析
【分析】
要推导利润y关于售价x的函数表达式，需先明确销售问题的核心等量关系：每月总利润=每件商品的利润×每月的销售量。解题时可分两步推导：第一步先计算每件商品的利润，第二步根据售价的涨幅计算对应的每月销售量，最后将两个量相乘并整理为二次函数的一般形式即可。
【解析】
解：当售价为每件x元时：
1. 计算单件利润：已知商品进价为40元，因此每件商品的利润为$(x - 40)$元；
2. 计算每月销售量：售价为50元时每月可卖210件，售价每上涨1元少卖10件，现在售价比50元上涨了$(x - 50)$元，因此减少的销量为$10(x - 50)$件，可得每月实际销售量为：
$210 - 10(x - 50) = 710 - 10x$（件）
3. 推导函数表达式：
根据总利润公式可得$y = (x - 40)(710 - 10x)$，展开并合并同类项：
$\begin{aligned}y&=710x - 10x^2 - 28400 + 400x\\&=-10x^2 + 1110x - 28400\end{aligned}$
【答案】
$y=-10x^2+1110x-28400$
【知识点】
二次函数实际应用；销售利润计算
【点评】
本题是销售类利润问题的基础题型，解题核心是抓住总利润的等量关系，准确推导单件利润和销售量的表达式，计算时注意符号和合并同类项的准确性即可。
【难度系数】
0.8
要推导利润y关于售价x的函数表达式，需先明确销售问题的核心等量关系：每月总利润=每件商品的利润×每月的销售量。解题时可分两步推导：第一步先计算每件商品的利润，第二步根据售价的涨幅计算对应的每月销售量，最后将两个量相乘并整理为二次函数的一般形式即可。
【解析】
解：当售价为每件x元时：
1. 计算单件利润：已知商品进价为40元，因此每件商品的利润为$(x - 40)$元；
2. 计算每月销售量：售价为50元时每月可卖210件，售价每上涨1元少卖10件，现在售价比50元上涨了$(x - 50)$元，因此减少的销量为$10(x - 50)$件，可得每月实际销售量为：
$210 - 10(x - 50) = 710 - 10x$（件）
3. 推导函数表达式：
根据总利润公式可得$y = (x - 40)(710 - 10x)$，展开并合并同类项：
$\begin{aligned}y&=710x - 10x^2 - 28400 + 400x\\&=-10x^2 + 1110x - 28400\end{aligned}$
【答案】
$y=-10x^2+1110x-28400$
【知识点】
二次函数实际应用；销售利润计算
【点评】
本题是销售类利润问题的基础题型，解题核心是抓住总利润的等量关系，准确推导单件利润和销售量的表达式，计算时注意符号和合并同类项的准确性即可。
【难度系数】
0.8
7. 某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共y万元. 若平均每月增长率为x，则y关于x的函数表达式为
$y=200+200(1+x)+200(1+x)^2$
.答案
7. $y=200+200(1+x)+200(1+x)^2$.
解析
【分析】
本题属于平均增长率的实际应用问题，解题思路如下：首先明确平均增长率的计算规则：后一个月的营业额=前一个月的营业额×(1+月增长率)；其次分别求出一月、二月、三月的营业额；最后因为y是三个月的总营业额，将三个月的营业额相加即可得到y关于x的函数表达式，注意审题不要误将y当成三月份的营业额。
【解析】
解：已知一月份营业额为200万元，平均每月增长率为x：
1. 二月份的营业额 = 一月份营业额×(1+x) = $200(1+x)$ 万元；
2. 三月份的营业额 = 二月份营业额×(1+x) = $200(1+x) · (1+x) = 200(1+x)^2$ 万元；
3. 因为一月、二月、三月的营业额总和为y万元，所以将三个月营业额相加可得：
$y = 200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2$
【答案】
$y=200+200(1+x)+200(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率问题，根据实际问题列二次函数关系式
【点评】
本题是平均增长率类的基础题型，解题的核心是掌握增长率情境下各期数值的计算方法，易错点是审题不仔细，误将三个月总营业额当成三月份的单独营业额，做题时要注意明确题干所求的量的含义。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率的实际应用问题，解题思路如下：首先明确平均增长率的计算规则：后一个月的营业额=前一个月的营业额×(1+月增长率)；其次分别求出一月、二月、三月的营业额；最后因为y是三个月的总营业额，将三个月的营业额相加即可得到y关于x的函数表达式，注意审题不要误将y当成三月份的营业额。
【解析】
解：已知一月份营业额为200万元，平均每月增长率为x：
1. 二月份的营业额 = 一月份营业额×(1+x) = $200(1+x)$ 万元；
2. 三月份的营业额 = 二月份营业额×(1+x) = $200(1+x) · (1+x) = 200(1+x)^2$ 万元；
3. 因为一月、二月、三月的营业额总和为y万元，所以将三个月营业额相加可得：
$y = 200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2$
【答案】
$y=200+200(1+x)+200(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率问题，根据实际问题列二次函数关系式
【点评】
本题是平均增长率类的基础题型，解题的核心是掌握增长率情境下各期数值的计算方法，易错点是审题不仔细，误将三个月总营业额当成三月份的单独营业额，做题时要注意明确题干所求的量的含义。
【难度系数】
0.8
8. 某汽车某次行驶中刹车后滑行的距离$S$(单位：m)关于时间$t$(单位：s)的函数表达式是$S=60t-60t^2$，汽车刹车后滑行了
15
m才停下来。答案
8. 15. 提示：当S最大时，汽车刹停.
解析
【分析】
汽车刹车后速度逐渐降低，当汽车完全停下时，滑行距离S达到最大值。已知S是关于t的二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处S取最大值，因此只需求出该二次函数的最大值，即可得到汽车刹车后滑行的总距离。
【解析】
将函数表达式整理为二次函数一般形式：
$S=-60t^2+60t$
其中$a=-60＜0$，函数存在最大值。
用配方法求最值：
$\begin{aligned}S&=-60(t^2 - t)\\&=-60(t^2 - t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4})\\&=-60(t-\frac{1}{2})^2 + 15\end{aligned}$
当$t=\frac{1}{2}\ \mathrm{s}$时，$S$取得最大值$15\ \mathrm{m}$，即汽车刹车后滑行了15m才停下来。
（也可使用顶点纵坐标公式计算：对于$y=ax^2+bx+c$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-60,b=60,c=0$，计算得最大值为15）
【答案】
15
【知识点】
1. 二次函数最值计算
2. 二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在行程场景中的典型应用，解题关键是将“汽车刹停”的实际情景转化为“二次函数取最大值”的数学问题，只要熟练掌握二次函数最值的计算方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
汽车刹车后速度逐渐降低，当汽车完全停下时，滑行距离S达到最大值。已知S是关于t的二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处S取最大值，因此只需求出该二次函数的最大值，即可得到汽车刹车后滑行的总距离。
【解析】
将函数表达式整理为二次函数一般形式：
$S=-60t^2+60t$
其中$a=-60＜0$，函数存在最大值。
用配方法求最值：
$\begin{aligned}S&=-60(t^2 - t)\\&=-60(t^2 - t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4})\\&=-60(t-\frac{1}{2})^2 + 15\end{aligned}$
当$t=\frac{1}{2}\ \mathrm{s}$时，$S$取得最大值$15\ \mathrm{m}$，即汽车刹车后滑行了15m才停下来。
（也可使用顶点纵坐标公式计算：对于$y=ax^2+bx+c$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-60,b=60,c=0$，计算得最大值为15）
【答案】
15
【知识点】
1. 二次函数最值计算
2. 二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在行程场景中的典型应用，解题关键是将“汽车刹停”的实际情景转化为“二次函数取最大值”的数学问题，只要熟练掌握二次函数最值的计算方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=12\ \mathrm{mm}$，$BC=24\ \mathrm{mm}$，动点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$2\ \mathrm{mm/s}$的速度移动，动点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以$4\ \mathrm{mm/s}$的速度移动。如果$P$、$Q$两点分别从$A$、$B$两点同时出发，分别到达点$B$、$C$后停止运动，那么当$△ PBQ$的面积$S$取得最大值时，运动时间$t$是
3
s.答案
9. 3.
解析
【分析】
这是一道结合动点问题的二次函数求最值题目，解题思路如下：第一步先确定运动时间t的取值范围，根据两个动点的速度和对应边长算出两点停止运动的时间，得到t的有效范围；第二步用含t的代数式分别表示出Rt△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；第三步根据直角三角形面积公式写出面积S关于t的函数表达式；最后利用二次函数的最值性质，结合t的取值范围求出S最大时对应的t值即可。
【解析】
由题意得：
动点P从A到B的时间为$12÷2=6\ \mathrm{s}$，动点Q从B到C的时间为$24÷4=6\ \mathrm{s}$，故t的取值范围是$0≤ t≤6$。
运动t秒时，$AP=2t\ \mathrm{mm}$，$BQ=4t\ \mathrm{mm}$，则$PB=AB-AP=(12-2t)\ \mathrm{mm}$。
∵$∠ABC=90°$，
∴△PBQ的面积$S=\frac{1}{2}× PB× BQ$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×(12-2t)×4t=-4t^2+24t$
该函数是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-4)}=3$
$3$在$0≤ t≤6$的范围内，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
动点问题分析；二次函数最值；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，解题核心是将动点运动的路程转化为对应线段的长度，结合面积公式得到函数关系后利用二次函数性质求解，解题时需注意验证所求自变量的值是否符合实际运动的取值范围。
【难度系数】
0.7
这是一道结合动点问题的二次函数求最值题目，解题思路如下：第一步先确定运动时间t的取值范围，根据两个动点的速度和对应边长算出两点停止运动的时间，得到t的有效范围；第二步用含t的代数式分别表示出Rt△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；第三步根据直角三角形面积公式写出面积S关于t的函数表达式；最后利用二次函数的最值性质，结合t的取值范围求出S最大时对应的t值即可。
【解析】
由题意得：
动点P从A到B的时间为$12÷2=6\ \mathrm{s}$，动点Q从B到C的时间为$24÷4=6\ \mathrm{s}$，故t的取值范围是$0≤ t≤6$。
运动t秒时，$AP=2t\ \mathrm{mm}$，$BQ=4t\ \mathrm{mm}$，则$PB=AB-AP=(12-2t)\ \mathrm{mm}$。
∵$∠ABC=90°$，
∴△PBQ的面积$S=\frac{1}{2}× PB× BQ$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×(12-2t)×4t=-4t^2+24t$
该函数是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-4)}=3$
$3$在$0≤ t≤6$的范围内，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
动点问题分析；二次函数最值；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，解题核心是将动点运动的路程转化为对应线段的长度，结合面积公式得到函数关系后利用二次函数性质求解，解题时需注意验证所求自变量的值是否符合实际运动的取值范围。
【难度系数】
0.7
10 某工厂安排70名工人在规定时段内全部参与加工A、B、C三种零件.在该时段内，每名工人只能加工2件A零件或1件B零件或1件C零件.工厂要求加工A零件和C零件的总数相等，B零件的总数至少10件.扣除各种成本，加工A零件，每件获利24元；B零件总数为10件时，每件获利100元，若每多加工1件，则所有B零件每件获利减少2元；加工C零件，每件获利48元.
（1）当安排37名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为
（2）合理安排工人分工可使工厂在规定时段内获利最大，最大利润为
（1）当安排37名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为
11
.（2）合理安排工人分工可使工厂在规定时段内获利最大，最大利润为
4006
元.答案
10. (1) 11.
(2) 4 006. 提示：设加工A零件的工人数为x(单位：人)，加工C零件的工人数为2x，加工B零件的工人数为70−3x，总利润为W(单位：元). 因为B零件总数至少10件，所以70−3x≥10，即x≤20. A零件每件获利24元，利润为24×2x=48x；C零件每件获利48元，利润为48×2x=96x；B零件总数为70−3x，每件获利为100−2(70−3x−10)=6x−20，利润为(70−3x)(6x−20). 因此，总利润$W=-18x^2+624x-1\ 400=-18(x-\dfrac{52}{3})^2+4\ 008$. 因为x为整数且x≤20，$17＜\dfrac{52}{3}＜18$，所以W的最大值发生在x=17或x=18时. 当x=17时，$W=-18(17-\dfrac{52}{3})^2+4\ 008=4\ 006$；当x=18时，$W=-18(18-\dfrac{52}{3})^2+4\ 008=4\ 000$. 所以当加工A零件的工人数为17人时，可获得最大利润，最大利润为4 006元.
(2) 4 006. 提示：设加工A零件的工人数为x(单位：人)，加工C零件的工人数为2x，加工B零件的工人数为70−3x，总利润为W(单位：元). 因为B零件总数至少10件，所以70−3x≥10，即x≤20. A零件每件获利24元，利润为24×2x=48x；C零件每件获利48元，利润为48×2x=96x；B零件总数为70−3x，每件获利为100−2(70−3x−10)=6x−20，利润为(70−3x)(6x−20). 因此，总利润$W=-18x^2+624x-1\ 400=-18(x-\dfrac{52}{3})^2+4\ 008$. 因为x为整数且x≤20，$17＜\dfrac{52}{3}＜18$，所以W的最大值发生在x=17或x=18时. 当x=17时，$W=-18(17-\dfrac{52}{3})^2+4\ 008=4\ 006$；当x=18时，$W=-18(18-\dfrac{52}{3})^2+4\ 008=4\ 000$. 所以当加工A零件的工人数为17人时，可获得最大利润，最大利润为4 006元.
解析
【分析】
（1）解题首先抓住A、C零件总数相等的条件：每名工人加工2件A或1件C，若加工A的工人数为x，则A零件总数为2x，对应加工C的工人数需为2x才能让C零件总数也为2x，三类工人总数为70，用总人数减去加工B的人数即可求出加工A、C的总人数，进而求出x的值。
（2）先设加工A的工人数为x，据此表示出三类零件的利润：A、C的利润可直接用单利乘数量计算，B的利润需先根据“每多加工1件B，所有B单件获利减2元”的规则求出B的单件获利，再乘B的数量。将三类利润相加得到总利润关于x的二次函数，结合B零件至少10件的要求得到x的取值范围，由于x为正整数，结合二次函数开口向下的性质，取顶点附近的整数代入计算比较，即可得到最大利润。
【解析】
（1）设安排加工A零件的工人人数为x人。
由A、C零件总数相等，每名工人加工2件A或1件C，可得加工C零件的工人人数为2x人。
已知加工B零件的工人有37人，总人数为70人，列方程：
$x + 2x + 37 = 70$
$3x = 33$
解得$x=11$。
（2）设加工A零件的工人数为x人，总利润为W元，则加工C零件的工人数为2x人，加工B零件的工人数为$70-3x$人。
根据B零件总数至少10件，得$70-3x≥10$，解得$x≤20$，且x为正整数。
分别计算三类零件的利润：
A零件总利润：$24×2x=48x$元
C零件总利润：$48×2x=96x$元
B零件总利润：B零件共$70-3x$件，每件获利为$100-2(70-3x-10)=6x-20$元，总利润为$(70-3x)(6x-20)$元
总利润为三类利润之和：
$W=48x+96x+(70-3x)(6x-20)$
展开整理得：
$W=-18x^2+624x-1400$
配方得：$W=-18(x-\dfrac{52}{3})^2+4008$
由于二次项系数$-18＜0$，函数开口向下，顶点为最大值点，顶点横坐标$\dfrac{52}{3}\approx17.33$。
x为正整数，因此分别计算x=17和x=18时的利润：
当$x=17$时，$W=-18×(17-\dfrac{52}{3})^2+4008=4006$元
当$x=18$时，$W=-18×(18-\dfrac{52}{3})^2+4008=4000$元
比较得最大利润为4006元。
【答案】
（1）11；（2）4006
【知识点】
二次函数实际应用，一元一次不等式应用，二次函数最值
【点评】
本题结合生产实际场景，考查了建立函数模型解决最值问题的能力，解题时需注意自变量为正整数的隐含限制，不能直接代入顶点横坐标计算，需取取值范围内离顶点最近的整数验证得到正确结果。
【难度系数】
0.6
（1）解题首先抓住A、C零件总数相等的条件：每名工人加工2件A或1件C，若加工A的工人数为x，则A零件总数为2x，对应加工C的工人数需为2x才能让C零件总数也为2x，三类工人总数为70，用总人数减去加工B的人数即可求出加工A、C的总人数，进而求出x的值。
（2）先设加工A的工人数为x，据此表示出三类零件的利润：A、C的利润可直接用单利乘数量计算，B的利润需先根据“每多加工1件B，所有B单件获利减2元”的规则求出B的单件获利，再乘B的数量。将三类利润相加得到总利润关于x的二次函数，结合B零件至少10件的要求得到x的取值范围，由于x为正整数，结合二次函数开口向下的性质，取顶点附近的整数代入计算比较，即可得到最大利润。
【解析】
（1）设安排加工A零件的工人人数为x人。
由A、C零件总数相等，每名工人加工2件A或1件C，可得加工C零件的工人人数为2x人。
已知加工B零件的工人有37人，总人数为70人，列方程：
$x + 2x + 37 = 70$
$3x = 33$
解得$x=11$。
（2）设加工A零件的工人数为x人，总利润为W元，则加工C零件的工人数为2x人，加工B零件的工人数为$70-3x$人。
根据B零件总数至少10件，得$70-3x≥10$，解得$x≤20$，且x为正整数。
分别计算三类零件的利润：
A零件总利润：$24×2x=48x$元
C零件总利润：$48×2x=96x$元
B零件总利润：B零件共$70-3x$件，每件获利为$100-2(70-3x-10)=6x-20$元，总利润为$(70-3x)(6x-20)$元
总利润为三类利润之和：
$W=48x+96x+(70-3x)(6x-20)$
展开整理得：
$W=-18x^2+624x-1400$
配方得：$W=-18(x-\dfrac{52}{3})^2+4008$
由于二次项系数$-18＜0$，函数开口向下，顶点为最大值点，顶点横坐标$\dfrac{52}{3}\approx17.33$。
x为正整数，因此分别计算x=17和x=18时的利润：
当$x=17$时，$W=-18×(17-\dfrac{52}{3})^2+4008=4006$元
当$x=18$时，$W=-18×(18-\dfrac{52}{3})^2+4008=4000$元
比较得最大利润为4006元。
【答案】
（1）11；（2）4006
【知识点】
二次函数实际应用，一元一次不等式应用，二次函数最值
【点评】
本题结合生产实际场景，考查了建立函数模型解决最值问题的能力，解题时需注意自变量为正整数的隐含限制，不能直接代入顶点横坐标计算，需取取值范围内离顶点最近的整数验证得到正确结果。
【难度系数】
0.6
