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一、选择题
单元复习资料
1. 若函数$y=(a-3)x^{a^2 -3a +2} -1$是关于$x$的二次函数，则（
A.$a=0$；
B.$a=3$；
C.$a≠0$；
D.$a=0$或$a=3$。
单元复习资料
1. 若函数$y=(a-3)x^{a^2 -3a +2} -1$是关于$x$的二次函数，则（
A
）A.$a=0$；
B.$a=3$；
C.$a≠0$；
D.$a=0$或$a=3$。
答案
1. A.
解析
【分析】
要判断函数为二次函数，需紧扣二次函数的定义满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，二者缺一不可。解题时先根据次数要求列方程求出a的所有可能取值，再结合系数不为0的条件排除不符合的取值，最终得到正确的a值对应选项即可。
【解析】
解：
∵函数$y=(a-3)x^{a^2 -3a +2} -1$是关于$x$的二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 二次项系数不为0：$a-3 ≠ 0$，解得$a ≠ 3$
2. $x$的最高次数为2：$a^2 - 3a + 2 = 2$
整理上述方程得：$a^2 - 3a = 0$
因式分解得：$a(a-3)=0$
解得：$a=0$或$a=3$
结合系数不为0的限制，舍去$a=3$，因此$a=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程的解法
3. 不等式的简单应用
【点评】
本题是二次函数定义的基础考察题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，误选D选项，解题时要完整理解定义要求，不要遗漏隐含的限制条件。
【难度系数】
0.6
要判断函数为二次函数，需紧扣二次函数的定义满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，二者缺一不可。解题时先根据次数要求列方程求出a的所有可能取值，再结合系数不为0的条件排除不符合的取值，最终得到正确的a值对应选项即可。
【解析】
解：
∵函数$y=(a-3)x^{a^2 -3a +2} -1$是关于$x$的二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 二次项系数不为0：$a-3 ≠ 0$，解得$a ≠ 3$
2. $x$的最高次数为2：$a^2 - 3a + 2 = 2$
整理上述方程得：$a^2 - 3a = 0$
因式分解得：$a(a-3)=0$
解得：$a=0$或$a=3$
结合系数不为0的限制，舍去$a=3$，因此$a=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程的解法
3. 不等式的简单应用
【点评】
本题是二次函数定义的基础考察题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，误选D选项，解题时要完整理解定义要求，不要遗漏隐含的限制条件。
【难度系数】
0.6
2. 抛物线$y=-5(x+2)^2 -6$的开口方向和顶点坐标分别是 （
A.开口向上，顶点坐标是$(-2,-6)$；
B.开口向下，顶点坐标是$(-2,-6)$；
C.开口向上，顶点坐标是$(2,-6)$；
D.开口向下，顶点坐标是$(2,-6)$。
B
）A.开口向上，顶点坐标是$(-2,-6)$；
B.开口向下，顶点坐标是$(-2,-6)$；
C.开口向上，顶点坐标是$(2,-6)$；
D.开口向下，顶点坐标是$(2,-6)$。
答案
2. B.
解析
【分析】
首先观察题目给出的抛物线解析式属于顶点式，解题时可按以下步骤思考：第一步回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的性质，开口方向由二次项系数$a$的符号决定，顶点坐标为$(h,k)$；第二步确定解析式中$a$、$h$、$k$的取值，注意括号内是$x+2$时要转化为$x-(-2)$的形式来确定$h$；第三步结合得到的开口方向和顶点坐标匹配选项即可。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$：
1. 判断开口方向：本题中$a=-5＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 求顶点坐标：将解析式变形为$y=-5[x-(-2)]^2+(-6)$，可得$h=-2$，$k=-6$，因此顶点坐标为$(-2,-6)$。
综上符合条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式、开口方向判断、顶点坐标求解
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础应用，属于常考的基础题型，只要熟练掌握顶点式中各参数对应的几何意义，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
首先观察题目给出的抛物线解析式属于顶点式，解题时可按以下步骤思考：第一步回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的性质，开口方向由二次项系数$a$的符号决定，顶点坐标为$(h,k)$；第二步确定解析式中$a$、$h$、$k$的取值，注意括号内是$x+2$时要转化为$x-(-2)$的形式来确定$h$；第三步结合得到的开口方向和顶点坐标匹配选项即可。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$：
1. 判断开口方向：本题中$a=-5＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 求顶点坐标：将解析式变形为$y=-5[x-(-2)]^2+(-6)$，可得$h=-2$，$k=-6$，因此顶点坐标为$(-2,-6)$。
综上符合条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式、开口方向判断、顶点坐标求解
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础应用，属于常考的基础题型，只要熟练掌握顶点式中各参数对应的几何意义，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
3. 把二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 +4x +6$通过配方写成$y=a(x-h)^2 +k$的形式，正确的是（
A.$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 -2$；
B.$y=\frac{1}{2}(x+4)^2 +2$；
C.$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 +2$；
D.$y=\frac{1}{2}(x+4)^2 -2$。
D
）A.$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 -2$；
B.$y=\frac{1}{2}(x+4)^2 +2$；
C.$y=\frac{1}{2}(x-4)^2 +2$；
D.$y=\frac{1}{2}(x+4)^2 -2$。
答案
3. D.
解析
【分析】
要将二次函数一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2 +k$，可按三步思路解题：第一步先提取二次项系数，把含二次项、一次项的部分放在括号内；第二步在括号内加上一次项系数一半的平方凑完全平方，同时减去这个平方保证原式大小不变；第三步整理合并常数项，得到顶点式后匹配选项即可。
【解析】
对$y=\frac{1}{2}x^2 +4x +6$进行配方：
1. 提取二次项系数$\frac{1}{2}$，组合含$x$的项：
$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^2 +8x) +6$
2. 括号内凑完全平方：一次项系数为8，一半是4，平方为16，因此括号内加16再减16：
$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^2 +8x +16 -16) +6$
3. 整理完全平方部分，计算常数项：
$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x+4)^2 - \frac{1}{2}×16 +6$
$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x+4)^2 -8 +6$
$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x+4)^2 -2$
对比选项可知D正确。
【答案】
D
【知识点】
配方法，二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数配方的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，要注意提取二次项系数后，凑完全平方时增减的常数项需要结合括号外的系数计算，避免出现符号、系数计算错误。
【难度系数】
0.8
要将二次函数一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2 +k$，可按三步思路解题：第一步先提取二次项系数，把含二次项、一次项的部分放在括号内；第二步在括号内加上一次项系数一半的平方凑完全平方，同时减去这个平方保证原式大小不变；第三步整理合并常数项，得到顶点式后匹配选项即可。
【解析】
对$y=\frac{1}{2}x^2 +4x +6$进行配方：
1. 提取二次项系数$\frac{1}{2}$，组合含$x$的项：
$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^2 +8x) +6$
2. 括号内凑完全平方：一次项系数为8，一半是4，平方为16，因此括号内加16再减16：
$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^2 +8x +16 -16) +6$
3. 整理完全平方部分，计算常数项：
$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x+4)^2 - \frac{1}{2}×16 +6$
$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x+4)^2 -8 +6$
$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x+4)^2 -2$
对比选项可知D正确。
【答案】
D
【知识点】
配方法，二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数配方的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，要注意提取二次项系数后，凑完全平方时增减的常数项需要结合括号外的系数计算，避免出现符号、系数计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 根据某拱桥形状建立平面直角坐标系如图所示，其中拱桥形状大致如抛物线$y=-\dfrac{1}{25}x^2$。在正常水位时，水面宽$AB=30\ \mathrm{m}$；当水位上升5 m时，水面的宽$CD$为（
A.16 m；
B.18 m；
C.20 m；
D.24 m.
C
）A.16 m；
B.18 m；
C.20 m；
D.24 m.
答案
4. C.
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先利用抛物线关于y轴对称的性质，结合正常水位的水面宽度AB，求出正常水位时水面的纵坐标；再根据水位上升的高度，得到上升后水面的纵坐标；最后将该纵坐标代入抛物线解析式，求出对应横坐标，横坐标差的绝对值就是水面宽CD。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=-\dfrac{1}{25}x^2$关于y轴对称，且正常水位时水面宽$AB=30\ \mathrm{m}$
∴ 点B的横坐标为$\dfrac{30}{2}=15$
将$x=15$代入$y=-\dfrac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\dfrac{1}{25}×15^2=-9$
即正常水位时水面的纵坐标为$-9$
当水位上升5m时，此时水面的纵坐标为$-9+5=-4$
将$y=-4$代入$y=-\dfrac{1}{25}x^2$，得：
$-4=-\dfrac{1}{25}x^2$
解得$x=\pm10$
∴ 此时水面宽$CD=10-(-10)=20\ \mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；抛物线的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合拱桥场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是正确理解水位变化对应纵坐标的变化，结合抛物线对称性简化计算，是二次函数实际应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先利用抛物线关于y轴对称的性质，结合正常水位的水面宽度AB，求出正常水位时水面的纵坐标；再根据水位上升的高度，得到上升后水面的纵坐标；最后将该纵坐标代入抛物线解析式，求出对应横坐标，横坐标差的绝对值就是水面宽CD。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=-\dfrac{1}{25}x^2$关于y轴对称，且正常水位时水面宽$AB=30\ \mathrm{m}$
∴ 点B的横坐标为$\dfrac{30}{2}=15$
将$x=15$代入$y=-\dfrac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\dfrac{1}{25}×15^2=-9$
即正常水位时水面的纵坐标为$-9$
当水位上升5m时，此时水面的纵坐标为$-9+5=-4$
将$y=-4$代入$y=-\dfrac{1}{25}x^2$，得：
$-4=-\dfrac{1}{25}x^2$
解得$x=\pm10$
∴ 此时水面宽$CD=10-(-10)=20\ \mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；抛物线的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合拱桥场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是正确理解水位变化对应纵坐标的变化，结合抛物线对称性简化计算，是二次函数实际应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$）图像的顶点坐标是$(1,n)$，且经过点$(-1,0)$。若$c＜0$，则下列结论正确的是（
A.$4a+2b+c＞0$；
B.当$x＞1$时，$y$随$x$值的增大而减小；
C.当$-1≤t≤3$时，总有$(1+t)(at - a + b)≤0$；
D.关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c+3=0$有两个不相等的实数根。
C
）A.$4a+2b+c＞0$；
B.当$x＞1$时，$y$随$x$值的增大而减小；
C.当$-1≤t≤3$时，总有$(1+t)(at - a + b)≤0$；
D.关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c+3=0$有两个不相等的实数根。
答案
5. C.
解析
【分析】
解题先从已知条件入手推导核心关系：1. 由顶点坐标(1,n)得抛物线对称轴为x=1，可推出b与a的关系；2. 将点(-1,0)代入解析式，结合b与a的关系推出c与a的关系，再由c＜0判断a的符号（开口方向）；3. 利用对称性得到抛物线与x轴的另一个交点(3,0)，得到不同区间内函数值的符号，最后逐一分析每个选项即可得出答案。
【解析】
第一步：推导参数关系
∵ 二次函数顶点坐标为(1,n)，
∴ 对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，化简得$b=-2a$ ①。
将点$(-1,0)$代入$y=ax^2+bx+c$得：$a - b + c = 0$ ②。
把①代入②得：$a - (-2a) + c = 0$，即$3a + c = 0$，故$c=-3a$。
又
∵ $c＜0$，
∴ $-3a＜0$，得$a＞0$，抛物线开口向上。
第二步：求x轴交点
点$(-1,0)$关于对称轴$x=1$的对称点横坐标为$1 + [1 - (-1)] = 3$，因此抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$两点，可得：当$-1＜x＜3$时，$y＜0$；当$x＜-1$或$x＞3$时，$y＞0$。
第三步：逐一判断选项
选项A：$4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，$x=2$在$(-1,3)$区间内，故$y=4a+2b+c＜0$，A错误。
选项B：抛物线开口向上，对称轴为$x=1$，因此$x＞1$时，$y$随$x$增大而增大，B错误。
选项C：将$b=-2a$代入$at - a + b$得：$at - a - 2a = a(t-3)$，因此$(1+t)(at - a + b)=a(1+t)(t-3)$。
∵ $a＞0$，当$-1≤t≤3$时，$(t+1)≥0$，$(t-3)≤0$，故$(1+t)(t-3)≤0$，因此$a(1+t)(t-3)≤0$，C正确。
选项D：方程$ax^2+bx+c+3=0$等价于$ax^2+bx+c=-3$，即求抛物线与直线$y=-3$的交点个数。抛物线顶点纵坐标$n=a+b+c=a-2a-3a=-4a$，是函数最小值。因$a$的大小不确定，无法判断$-3$与$-4a$的大小关系，故无法确定方程根的个数，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题的关键是通过已知的顶点坐标和过点坐标推导参数之间的关系，结合开口方向、函数单调性、函数值符号等内容逐一判断选项，需要具备较强的逻辑推导和数形结合能力。
【难度系数】
0.6
解题先从已知条件入手推导核心关系：1. 由顶点坐标(1,n)得抛物线对称轴为x=1，可推出b与a的关系；2. 将点(-1,0)代入解析式，结合b与a的关系推出c与a的关系，再由c＜0判断a的符号（开口方向）；3. 利用对称性得到抛物线与x轴的另一个交点(3,0)，得到不同区间内函数值的符号，最后逐一分析每个选项即可得出答案。
【解析】
第一步：推导参数关系
∵ 二次函数顶点坐标为(1,n)，
∴ 对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，化简得$b=-2a$ ①。
将点$(-1,0)$代入$y=ax^2+bx+c$得：$a - b + c = 0$ ②。
把①代入②得：$a - (-2a) + c = 0$，即$3a + c = 0$，故$c=-3a$。
又
∵ $c＜0$，
∴ $-3a＜0$，得$a＞0$，抛物线开口向上。
第二步：求x轴交点
点$(-1,0)$关于对称轴$x=1$的对称点横坐标为$1 + [1 - (-1)] = 3$，因此抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$两点，可得：当$-1＜x＜3$时，$y＜0$；当$x＜-1$或$x＞3$时，$y＞0$。
第三步：逐一判断选项
选项A：$4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，$x=2$在$(-1,3)$区间内，故$y=4a+2b+c＜0$，A错误。
选项B：抛物线开口向上，对称轴为$x=1$，因此$x＞1$时，$y$随$x$增大而增大，B错误。
选项C：将$b=-2a$代入$at - a + b$得：$at - a - 2a = a(t-3)$，因此$(1+t)(at - a + b)=a(1+t)(t-3)$。
∵ $a＞0$，当$-1≤t≤3$时，$(t+1)≥0$，$(t-3)≤0$，故$(1+t)(t-3)≤0$，因此$a(1+t)(t-3)≤0$，C正确。
选项D：方程$ax^2+bx+c+3=0$等价于$ax^2+bx+c=-3$，即求抛物线与直线$y=-3$的交点个数。抛物线顶点纵坐标$n=a+b+c=a-2a-3a=-4a$，是函数最小值。因$a$的大小不确定，无法判断$-3$与$-4a$的大小关系，故无法确定方程根的个数，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题的关键是通过已知的顶点坐标和过点坐标推导参数之间的关系，结合开口方向、函数单调性、函数值符号等内容逐一判断选项，需要具备较强的逻辑推导和数形结合能力。
【难度系数】
0.6
