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6. 某位学生根据如图所示的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像，给出了下列判断：①当$x=-1$时，函数$y$有最小值0；②点$(-2,2)$在这个函数图像上；③将这个二次函数图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为$y=x^2-6x+6$；④若一次函数$y=kx-3$的图像与这个二次函数的图像有唯一的公共点，则$k=6$。其中说法正确的个数为（
A.1；
B.2；
C.3；
D.4.
A
）A.1；
B.2；
C.3；
D.4.
答案
6. A.
解析
【分析】
首先根据二次函数图像的顶点坐标和经过的已知点求出函数解析式，再结合二次函数的性质、平移规律、函数交点与方程判别式的关系，逐一验证四个说法的正确性，最后统计正确说法的个数即可得到答案。
【解析】
1. 求二次函数解析式
由图像可得，二次函数顶点为$(-1,0)$，且过点$(0,1)$，设顶点式为$y=a(x+1)^2$，将$(0,1)$代入得：
$a·(0+1)^2=1$，解得$a=1$，因此二次函数解析式为$y=(x+1)^2=x^2+2x+1$。
2. 逐一判断各说法
①：二次函数开口向上，顶点为最小值点，当$x=-1$时，$y=0$，即函数最小值为0，故①正确；
②：将$x=-2$代入解析式，得$y=(-2+1)^2=1≠2$，因此点$(-2,2)$不在函数图像上，故②错误；
③：根据平移规律“左加右减，上加下减”，原图像向右平移2个单位后解析式为$y=(x+1-2)^2=(x-1)^2$，再向下平移3个单位后解析式为$y=(x-1)^2-3=x^2-2x-2$，与题目给出的$y=x^2-6x+6$不符，故③错误；
④：联立一次函数与二次函数解析式：
$\begin{cases}y=kx-3\\y=(x+1)^2\end{cases}$
消去$y$整理得$x^2+(2-k)x+4=0$，两个图像有唯一公共点即方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta=(2-k)^2-4×1×4=0$，解得$2-k=\pm4$，即$k=6$或$k=-2$，并非只有$k=6$，故④错误。
综上，只有1个说法正确。
【答案】A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图像平移；函数交点问题
【点评】
本题是二次函数综合基础题，解题的关键是先准确求出函数解析式，验证各结论时要注意细节，比如平移时自变量的变化规律、判别式等于0时解的个数，避免因漏解或记错规律判断错误。
【难度系数】
0.65
首先根据二次函数图像的顶点坐标和经过的已知点求出函数解析式，再结合二次函数的性质、平移规律、函数交点与方程判别式的关系，逐一验证四个说法的正确性，最后统计正确说法的个数即可得到答案。
【解析】
1. 求二次函数解析式
由图像可得，二次函数顶点为$(-1,0)$，且过点$(0,1)$，设顶点式为$y=a(x+1)^2$，将$(0,1)$代入得：
$a·(0+1)^2=1$，解得$a=1$，因此二次函数解析式为$y=(x+1)^2=x^2+2x+1$。
2. 逐一判断各说法
①：二次函数开口向上，顶点为最小值点，当$x=-1$时，$y=0$，即函数最小值为0，故①正确；
②：将$x=-2$代入解析式，得$y=(-2+1)^2=1≠2$，因此点$(-2,2)$不在函数图像上，故②错误；
③：根据平移规律“左加右减，上加下减”，原图像向右平移2个单位后解析式为$y=(x+1-2)^2=(x-1)^2$，再向下平移3个单位后解析式为$y=(x-1)^2-3=x^2-2x-2$，与题目给出的$y=x^2-6x+6$不符，故③错误；
④：联立一次函数与二次函数解析式：
$\begin{cases}y=kx-3\\y=(x+1)^2\end{cases}$
消去$y$整理得$x^2+(2-k)x+4=0$，两个图像有唯一公共点即方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta=(2-k)^2-4×1×4=0$，解得$2-k=\pm4$，即$k=6$或$k=-2$，并非只有$k=6$，故④错误。
综上，只有1个说法正确。
【答案】A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图像平移；函数交点问题
【点评】
本题是二次函数综合基础题，解题的关键是先准确求出函数解析式，验证各结论时要注意细节，比如平移时自变量的变化规律、判别式等于0时解的个数，避免因漏解或记错规律判断错误。
【难度系数】
0.65
二、填空题
7. 二次函数$y=3x^2 - 2x$的图像与$x$轴的交点坐标是
7. 二次函数$y=3x^2 - 2x$的图像与$x$轴的交点坐标是
$(0,0)$和$(\dfrac{2}{3},0)$
。答案
7. $(0,0)$和$(\dfrac{2}{3},0)$.
解析
【分析】
要确定二次函数图像与x轴的交点坐标，首先回忆x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都为0。因此解题思路为：第一步令函数中y=0，得到关于x的一元二次方程；第二步求解该方程，得到的根就是交点的横坐标，纵坐标固定为0，即可写出交点坐标。
【解析】
∵ 二次函数图像与x轴交点的纵坐标为0，
∴ 令$ y = 0 $，代入函数解析式得：
$ 3x^2 - 2x = 0 $
对左侧因式分解得：$ x(3x - 2) = 0 $
解得：$ x_1 = 0 $，$ x_2 = \dfrac{2}{3} $
∴ 二次函数$ y=3x^2 - 2x $的图像与x轴的交点坐标为$ (0,0) $和$ (\dfrac{2}{3},0) $。
【答案】
$(0,0)$和$(\dfrac{2}{3},0)$
【知识点】
1. x轴上点的坐标特征
2. 二次函数与x轴交点求解
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数与坐标轴交点的求解方法，核心是掌握“求函数图像与x轴交点即令y=0解方程，求与y轴交点即令x=0求y值”的基本逻辑，计算量小，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
要确定二次函数图像与x轴的交点坐标，首先回忆x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都为0。因此解题思路为：第一步令函数中y=0，得到关于x的一元二次方程；第二步求解该方程，得到的根就是交点的横坐标，纵坐标固定为0，即可写出交点坐标。
【解析】
∵ 二次函数图像与x轴交点的纵坐标为0，
∴ 令$ y = 0 $，代入函数解析式得：
$ 3x^2 - 2x = 0 $
对左侧因式分解得：$ x(3x - 2) = 0 $
解得：$ x_1 = 0 $，$ x_2 = \dfrac{2}{3} $
∴ 二次函数$ y=3x^2 - 2x $的图像与x轴的交点坐标为$ (0,0) $和$ (\dfrac{2}{3},0) $。
【答案】
$(0,0)$和$(\dfrac{2}{3},0)$
【知识点】
1. x轴上点的坐标特征
2. 二次函数与x轴交点求解
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数与坐标轴交点的求解方法，核心是掌握“求函数图像与x轴交点即令y=0解方程，求与y轴交点即令x=0求y值”的基本逻辑，计算量小，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
8. 已知二次函数$y=-x^2+2x+3$. 若点$P(m,3)$在该函数的图像上，则$m$的值为
0或2
.答案
8. 0或2.
解析
【分析】
解题的核心是利用“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”这一性质。首先将点P的横、纵坐标代入二次函数解析式，得到关于m的一元二次方程，再求解该方程即可得到m的值。
【解析】
∵点$P(m,3)$在二次函数$y=-x^2+2x+3$的图像上，
∴将$x=m$，$y=3$代入解析式得：
$3=-m^2+2m+3$
移项整理得：$m^2-2m=0$
因式分解得：$m(m-2)=0$
解得：$m_1=0$，$m_2=2$
【答案】
0或2
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，考查函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，解题的关键是熟练掌握点在函数图象上时，其坐标满足函数解析式，再通过解方程求出未知参数即可。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”这一性质。首先将点P的横、纵坐标代入二次函数解析式，得到关于m的一元二次方程，再求解该方程即可得到m的值。
【解析】
∵点$P(m,3)$在二次函数$y=-x^2+2x+3$的图像上，
∴将$x=m$，$y=3$代入解析式得：
$3=-m^2+2m+3$
移项整理得：$m^2-2m=0$
因式分解得：$m(m-2)=0$
解得：$m_1=0$，$m_2=2$
【答案】
0或2
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，考查函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，解题的关键是熟练掌握点在函数图象上时，其坐标满足函数解析式，再通过解方程求出未知参数即可。
【难度系数】
0.9
9. 已知某抛物线与抛物线 $ y = x^2 $ 的开口大小、对称轴都相同，但开口方向相反. 若该抛物线经过点(1,2)，则其表达式为
$y=-x^2+3$
.答案
9. $y=-x^2+3$.
解析
【分析】
解题时先结合二次函数的性质推导未知抛物线的系数特征：二次函数$y=ax^2+bx+c$中，$|a|$决定开口大小，$a$的符号决定开口方向，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。已知所求抛物线和$y=x^2$开口大小相同、方向相反，可直接确定$a=-1$；二者对称轴相同，$y=x^2$对称轴为$x=0$，可推出$b=0$，即可设抛物线表达式为$y=-x^2+c$，最后将已知点代入求解$c$即可。
【解析】
设所求抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c$。
1. 确定系数$a$：
因为所求抛物线与$y=x^2$开口大小相同、开口方向相反，所以$|a|=1$且$a＜0$，得$a=-1$。
2. 确定系数$b$：
$y=x^2$的对称轴为直线$x=0$，因此所求抛物线对称轴也为$x=0$，代入对称轴公式$-\frac{b}{2a}=0$，结合$a=-1≠0$，得$b=0$。
3. 求解常数$c$：
此时抛物线表达式简化为$y=-x^2+c$，将点$(1,2)$代入得：
$2=-1^2+c$
解得$c=3$。
综上，所求抛物线表达式为$y=-x^2+3$。
【答案】
$y=-x^2+3$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题关键是熟练掌握二次函数系数与图象特征的对应关系，先确定部分系数缩小解析式范围，再代入已知点求解剩余未知量。
【难度系数】
0.8
解题时先结合二次函数的性质推导未知抛物线的系数特征：二次函数$y=ax^2+bx+c$中，$|a|$决定开口大小，$a$的符号决定开口方向，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。已知所求抛物线和$y=x^2$开口大小相同、方向相反，可直接确定$a=-1$；二者对称轴相同，$y=x^2$对称轴为$x=0$，可推出$b=0$，即可设抛物线表达式为$y=-x^2+c$，最后将已知点代入求解$c$即可。
【解析】
设所求抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c$。
1. 确定系数$a$：
因为所求抛物线与$y=x^2$开口大小相同、开口方向相反，所以$|a|=1$且$a＜0$，得$a=-1$。
2. 确定系数$b$：
$y=x^2$的对称轴为直线$x=0$，因此所求抛物线对称轴也为$x=0$，代入对称轴公式$-\frac{b}{2a}=0$，结合$a=-1≠0$，得$b=0$。
3. 求解常数$c$：
此时抛物线表达式简化为$y=-x^2+c$，将点$(1,2)$代入得：
$2=-1^2+c$
解得$c=3$。
综上，所求抛物线表达式为$y=-x^2+3$。
【答案】
$y=-x^2+3$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题关键是熟练掌握二次函数系数与图象特征的对应关系，先确定部分系数缩小解析式范围，再代入已知点求解剩余未知量。
【难度系数】
0.8
10. 将抛物线$y=2x^2$向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得的新抛物线的表达式是
$y=2(x+1)^2+2$
。答案
10. $y=2(x+1)^2+2$.
解析
【分析】
解决本题首先要回忆二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”：其中“左加右减”是针对自变量x进行操作，向左平移m个单位时，将x替换为x+m，向右平移m个单位时将x替换为x-m；“上加下减”是针对函数整体操作，向上平移n个单位时在解析式末尾加n，向下平移n个单位时减n。我们只需按照题目给出的平移顺序，分两步对原抛物线解析式进行变换即可得到结果。
【解析】
解：已知原抛物线的解析式为$ y=2x^2 $
1. 先进行向左平移1个单位长度的操作：根据“左加右减”的规则，将解析式中的$ x $替换为$ x+1 $，得到平移后的解析式为$ y=2(x+1)^2 $；
2. 再进行向上平移2个单位长度的操作：根据“上加下减”的规则，在上述解析式的末尾加2，最终得到新抛物线的表达式为$ y=2(x+1)^2+2 $。
【答案】
$ y=2(x+1)^2+2 $
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，解题核心是准确记忆平移规则，尤其要注意左右平移是对自变量x进行加减，不要混淆加减方向即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要回忆二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”：其中“左加右减”是针对自变量x进行操作，向左平移m个单位时，将x替换为x+m，向右平移m个单位时将x替换为x-m；“上加下减”是针对函数整体操作，向上平移n个单位时在解析式末尾加n，向下平移n个单位时减n。我们只需按照题目给出的平移顺序，分两步对原抛物线解析式进行变换即可得到结果。
【解析】
解：已知原抛物线的解析式为$ y=2x^2 $
1. 先进行向左平移1个单位长度的操作：根据“左加右减”的规则，将解析式中的$ x $替换为$ x+1 $，得到平移后的解析式为$ y=2(x+1)^2 $；
2. 再进行向上平移2个单位长度的操作：根据“上加下减”的规则，在上述解析式的末尾加2，最终得到新抛物线的表达式为$ y=2(x+1)^2+2 $。
【答案】
$ y=2(x+1)^2+2 $
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，解题核心是准确记忆平移规则，尤其要注意左右平移是对自变量x进行加减，不要混淆加减方向即可快速求解。
【难度系数】
0.9
11. 若抛物线$y=\frac{2}{3}(x-1)^2 + c$经过$(-2,y_1)$、$(0,y_2)$、$(3,y_3)$三点，则$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小关系是
$y_1＞y_3＞y_2$
。答案
11. $y_1＞y_3＞y_2$.
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先从抛物线的顶点式入手，先确定抛物线的开口方向和对称轴：该抛物线二次项系数为正，开口向上，对称轴为直线$x=1$。对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小即可得出$y$值的大小关系，也可直接将三点横坐标代入解析式计算$y$值后比较。
【解析】
方法一（距离比较法）：
已知抛物线解析式为$y=\frac{2}{3}(x-1)^2 + c$，
∵ 二次项系数$\frac{2}{3}＞0$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
分别计算三点到对称轴$x=1$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|-2-1|=3$，
点$(0,y_2)$到对称轴的距离：$|0-1|=1$，
点$(3,y_3)$到对称轴的距离：$|3-1|=2$，
∵ 开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大，且$3＞2＞1$，
∴ $y_1＞y_3＞y_2$。
方法二（代入计算法）：
将三点横坐标分别代入抛物线解析式：
$y_1=\frac{2}{3}×(-2-1)^2 + c=\frac{2}{3}×9 + c=6 + c$，
$y_2=\frac{2}{3}×(0-1)^2 + c=\frac{2}{3}×1 + c=\frac{2}{3} + c$，
$y_3=\frac{2}{3}×(3-1)^2 + c=\frac{2}{3}×4 + c=\frac{8}{3} + c$，
∵ $6＞\frac{8}{3}＞\frac{2}{3}$，两边都加$c$大小关系不变，
∴ $y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_3＞y_2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数图象性质
3. 函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与函数值的对应关系，利用点到对称轴的距离比较函数值大小的方法更简便，也可通过直接代入计算验证结果，两种方法都需灵活运用。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的函数值大小，首先从抛物线的顶点式入手，先确定抛物线的开口方向和对称轴：该抛物线二次项系数为正，开口向上，对称轴为直线$x=1$。对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小即可得出$y$值的大小关系，也可直接将三点横坐标代入解析式计算$y$值后比较。
【解析】
方法一（距离比较法）：
已知抛物线解析式为$y=\frac{2}{3}(x-1)^2 + c$，
∵ 二次项系数$\frac{2}{3}＞0$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
分别计算三点到对称轴$x=1$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|-2-1|=3$，
点$(0,y_2)$到对称轴的距离：$|0-1|=1$，
点$(3,y_3)$到对称轴的距离：$|3-1|=2$，
∵ 开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大，且$3＞2＞1$，
∴ $y_1＞y_3＞y_2$。
方法二（代入计算法）：
将三点横坐标分别代入抛物线解析式：
$y_1=\frac{2}{3}×(-2-1)^2 + c=\frac{2}{3}×9 + c=6 + c$，
$y_2=\frac{2}{3}×(0-1)^2 + c=\frac{2}{3}×1 + c=\frac{2}{3} + c$，
$y_3=\frac{2}{3}×(3-1)^2 + c=\frac{2}{3}×4 + c=\frac{8}{3} + c$，
∵ $6＞\frac{8}{3}＞\frac{2}{3}$，两边都加$c$大小关系不变，
∴ $y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_3＞y_2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数图象性质
3. 函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与函数值的对应关系，利用点到对称轴的距离比较函数值大小的方法更简便，也可通过直接代入计算验证结果，两种方法都需灵活运用。
【难度系数】
0.8
12. 若抛物线 $ y = ax^2 + 4x - 5 $ 与x轴只有一个交点，则a的值为
$-\dfrac{4}{5}$
。答案
12. $-\dfrac{4}{5}$.
解析
【分析】
首先，题目明确函数是抛物线，因此该函数为二次函数，可得二次项系数$a≠0$；其次，抛物线与x轴只有一个交点，说明对应的一元二次方程$ax^2+4x-5=0$有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时$\Delta=b^2-4ac=0$，最后代入系数求解即可得到$a$的值。
【解析】
∵ 函数$y = ax^2 + 4x - 5$是抛物线，
∴ 该函数为二次函数，即$a≠ 0$。
∵ 抛物线与x轴只有一个交点，
∴ 一元二次方程$ax^2 + 4x - 5 = 0$有两个相等的实数根，判别式$\Delta = 0$。
对于方程$ax^2 + 4x - 5 = 0$，二次项系数为$a$，一次项系数$b=4$，常数项$c=-5$，
∴ $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4× a× (-5) = 16 + 20a = 0$，
解得$a = -\dfrac{16}{20} = -\dfrac{4}{5}$。
【答案】
$-\dfrac{4}{5}$
【知识点】
二次函数定义，根的判别式，抛物线与x轴交点
【点评】
本题解题的关键是先根据抛物线的定义确定$a≠0$，再结合抛物线与x轴交点个数和判别式的关系列式计算，解题时注意不要忽略抛物线隐含的二次项系数不为0的条件。
【难度系数】
0.7
首先，题目明确函数是抛物线，因此该函数为二次函数，可得二次项系数$a≠0$；其次，抛物线与x轴只有一个交点，说明对应的一元二次方程$ax^2+4x-5=0$有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时$\Delta=b^2-4ac=0$，最后代入系数求解即可得到$a$的值。
【解析】
∵ 函数$y = ax^2 + 4x - 5$是抛物线，
∴ 该函数为二次函数，即$a≠ 0$。
∵ 抛物线与x轴只有一个交点，
∴ 一元二次方程$ax^2 + 4x - 5 = 0$有两个相等的实数根，判别式$\Delta = 0$。
对于方程$ax^2 + 4x - 5 = 0$，二次项系数为$a$，一次项系数$b=4$，常数项$c=-5$，
∴ $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4× a× (-5) = 16 + 20a = 0$，
解得$a = -\dfrac{16}{20} = -\dfrac{4}{5}$。
【答案】
$-\dfrac{4}{5}$
【知识点】
二次函数定义，根的判别式，抛物线与x轴交点
【点评】
本题解题的关键是先根据抛物线的定义确定$a≠0$，再结合抛物线与x轴交点个数和判别式的关系列式计算，解题时注意不要忽略抛物线隐含的二次项系数不为0的条件。
【难度系数】
0.7
13. 已知二次函数$y=x^2+bx+c$的部分图像如图所示. 若关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的一个根为$x_1=3$, 则另一个根为$x_2=$
(第13题)
$-1$
. (第13题)答案
13. $-1$.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 明确对应关系：一元二次方程$x^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=x^2+bx+c$图像与x轴交点的横坐标；2. 提取图像信息：从图中可直接得到二次函数的对称轴为直线$x=1$；3. 利用性质推导：二次函数图像关于对称轴对称，因此它与x轴的两个交点也关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为3，根据对称点的坐标特征即可求出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个根。
【解析】
已知二次函数$y=x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，设方程$x^2+bx+c=0$的另一个根为$x_2$。
因为二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，两个交点横坐标的平均值等于对称轴的横坐标，因此：
$\frac{x_1+x_2}{2}=1$
将$x_1=3$代入上式：
$\frac{3+x_2}{2}=1$
两边同乘2得：$3+x_2=2$
解得：$x_2=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系；中点坐标公式
【点评】
本题是二次函数部分的基础常考题型，通过图像信息结合二次函数的对称性求解方程的根，无需计算函数解析式，考查了数形结合思想的应用，解题关键是准确提取对称轴信息并掌握二次函数和对应一元二次方程的关联。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 明确对应关系：一元二次方程$x^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=x^2+bx+c$图像与x轴交点的横坐标；2. 提取图像信息：从图中可直接得到二次函数的对称轴为直线$x=1$；3. 利用性质推导：二次函数图像关于对称轴对称，因此它与x轴的两个交点也关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为3，根据对称点的坐标特征即可求出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个根。
【解析】
已知二次函数$y=x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，设方程$x^2+bx+c=0$的另一个根为$x_2$。
因为二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，两个交点横坐标的平均值等于对称轴的横坐标，因此：
$\frac{x_1+x_2}{2}=1$
将$x_1=3$代入上式：
$\frac{3+x_2}{2}=1$
两边同乘2得：$3+x_2=2$
解得：$x_2=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系；中点坐标公式
【点评】
本题是二次函数部分的基础常考题型，通过图像信息结合二次函数的对称性求解方程的根，无需计算函数解析式，考查了数形结合思想的应用，解题关键是准确提取对称轴信息并掌握二次函数和对应一元二次方程的关联。
【难度系数】
0.8
14. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图像如图所示，其对称轴为直线$x=2$。若该抛物线与$x$轴的一个交点为$(5,0)$，则由图像可知，不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是
$-1＜x＜5$
。答案
14. $-1＜x＜5$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集对应二次函数图像在x轴上方部分的x的取值范围。接下来利用二次函数的轴对称性，已知对称轴为直线$x=2$和一个与x轴的交点$(5,0)$，求出另一个与x轴的交点坐标，最后结合抛物线开口方向，确定图像在x轴上方的x的范围即可。
【解析】
1. 求抛物线与x轴的另一个交点坐标：
二次函数的图像是轴对称图形，对称轴为直线$x=2$，因此抛物线与x轴的两个交点关于直线$x=2$对称。
设另一个交点的横坐标为$x$，根据对称点到对称轴的距离相等，可得：
$\frac{x+5}{2}=2$
解得$x=2×2 -5=-1$，即另一个交点坐标为$(-1,0)$。
2. 确定不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集：
不等式$ax^2+bx+c＞0$的几何意义是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像位于x轴上方时对应的x的取值范围。
由图可知抛物线开口向下，因此在两个交点之间的部分，函数图像在x轴上方，即当$-1＜x＜5$时，$ax^2+bx+c＞0$。
【答案】
$-1＜x＜5$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数图像与不等式结合的基础题型，解题核心是利用抛物线的对称性求出未知的交点坐标，再结合图像直观判断函数值的符号对应的自变量范围，数形结合思想是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集对应二次函数图像在x轴上方部分的x的取值范围。接下来利用二次函数的轴对称性，已知对称轴为直线$x=2$和一个与x轴的交点$(5,0)$，求出另一个与x轴的交点坐标，最后结合抛物线开口方向，确定图像在x轴上方的x的范围即可。
【解析】
1. 求抛物线与x轴的另一个交点坐标：
二次函数的图像是轴对称图形，对称轴为直线$x=2$，因此抛物线与x轴的两个交点关于直线$x=2$对称。
设另一个交点的横坐标为$x$，根据对称点到对称轴的距离相等，可得：
$\frac{x+5}{2}=2$
解得$x=2×2 -5=-1$，即另一个交点坐标为$(-1,0)$。
2. 确定不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集：
不等式$ax^2+bx+c＞0$的几何意义是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像位于x轴上方时对应的x的取值范围。
由图可知抛物线开口向下，因此在两个交点之间的部分，函数图像在x轴上方，即当$-1＜x＜5$时，$ax^2+bx+c＞0$。
【答案】
$-1＜x＜5$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数图像与不等式结合的基础题型，解题核心是利用抛物线的对称性求出未知的交点坐标，再结合图像直观判断函数值的符号对应的自变量范围，数形结合思想是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
