15. 下表中列出了二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的一些对应值，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解$x$的估计范围是.(两相邻整数之间)

15. $-4＜x＜-3$或$-1＜x＜0$.

【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确方程的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的$x$值，也就是抛物线与$x$轴交点的横坐标。由于抛物线是连续的曲线，若在两个相邻整数$x$的取值之间，$y$的正负性发生改变，则该区间内必有一个$x$使得$y=0$，即对应方程的一个解。首先观察表格中给出的$y$值，找到$y$在0附近变号的区间，再结合二次函数的对称性分析表格未给出的左侧区间的函数值符号，即可得到两个解的范围。
【解析】
1. 找已知区间内的解：
观察表格数据，当$x=-1$时，$y=1＞0$；当$x=0$时，$y=-2＜0$，说明在$-1＜x＜0$区间内，函数值由正变负，必有一个$x$使得$y=0$，即方程的一个解在这个区间内。
2. 结合对称性找另一个解的区间：
观察到$x=-3$和$x=-1$对应的$y$值均为1，说明这两个点关于抛物线的对称轴对称，可得对称轴为$x=\frac{-3+(-1)}{2}=-2$，顶点坐标为$(-2,2)$，由此可知抛物线开口向下，对称轴左侧$y$随$x$的减小而减小。
根据二次函数的对称性，$x=-4$与$x=0$关于对称轴$x=-2$对称，因此$x=-4$时的$y$值与$x=0$时的$y$值相等，即$x=-4$时$y=-2＜0$；而已知$x=-3$时$y=1＞0$，说明在$-4＜x＜-3$区间内，函数值由负变正，必有另一个$x$使得$y=0$，即方程的另一个解在这个区间内。
【答案】
$-4＜x＜-3$或$-1＜x＜0$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性
【点评】
本题考查利用二次函数的性质估算一元二次方程的解，解题的关键是理解连续函数在函数值变号的区间内存在零点，同时需要灵活运用二次函数的对称性推导表格外的函数值符号，避免漏解。
【难度系数】
0.65

16. 如图，某校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，其一面利用教学楼的后墙(可利用墙长为 36 m)，其他几面用总长 70 m 的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个 1 m 的出口. 若要使车棚的总面积最大，则 AB 的长为 m.

16. 12.

【分析】
本题是二次函数解决实际最值的问题，解题思路如下：首先设AB的长度为x m，先结合栅栏总长、出口宽度的条件，表示出车棚平行于墙的总长度；再根据矩形面积公式写出总面积关于x的函数表达式，同时注意平行于墙的长度不能超过可利用墙长36m的限制；最后利用二次函数的性质求最值，验证取值符合限制条件即可得到结果。
【解析】
设AB的长为$ x $ m，车棚总面积为$ S $ $ \mathrm{m}^2 $。
由题意得，垂直于墙的栅栏共有3段，总长度为$ 3x $ m；因为左右各有1m宽的出口无需安装栅栏，因此车棚平行于墙的总长度为$ 70 - 3x + 2×1 = 72 - 3x $ m。
结合可利用墙长为36m，得不等式：$ 72 - 3x ≤ 36 $，解得$ x ≥ 12 $。
根据矩形面积公式，总面积$ S = x · (72 - 3x) = -3x^2 + 72x $，这是开口向下的二次函数，其对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{72}{2×(-3)} = 12 $。
当$ x=12 $时，平行于墙的长度为$ 72 - 3×12 = 36 $ m，符合墙长限制，此时S取得最大值。
【答案】
12
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数最值计算
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的最值应用，解题的关键是准确梳理栅栏长度、出口宽度、墙长之间的数量关系，正确列出函数表达式，需要注意验证所求的自变量取值是否符合实际限制条件，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.65

17. 如图，矩形ABCD的四个顶点在等腰直角三角形EFG的边上，$∠ FEG=90°$. 已知EF长为$3\sqrt{2}$，若设边长AB为x，则矩形ABCD的面积S的最大值为.

17. $\dfrac{9}{2}$.

【分析】
首先根据等腰直角三角形EFG的直角边边长求出底角度数，再结合矩形对边平行且邻边垂直的性质，推导得出△EDC、△FAD均为等腰直角三角形，用含x的代数式表示出矩形的宽AD，进而列出面积S关于x的二次函数，最后利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
解：
∵△EFG是等腰直角三角形，∠FEG=90°，EF=$3\sqrt{2}$
∴EG=EF=$3\sqrt{2}$，∠F=∠G=45°
∵四边形ABCD是矩形
∴DC=AB=x，DC//FG，AD⊥FG
∴△EDC为等腰直角三角形，可得$ED=\frac{DC}{\sqrt{2}}=\frac{x}{\sqrt{2}}$
∴$FD=EF-ED=3\sqrt{2}-\frac{x}{\sqrt{2}}$
又
∵△FAD中，∠F=45°，∠DAF=90°，故△FAD为等腰直角三角形
∴$AD=\frac{FD}{\sqrt{2}}=(3\sqrt{2}-\frac{x}{\sqrt{2}})÷\sqrt{2}=3-\frac{x}{2}$
则矩形面积$S=AB· AD=x(3-\frac{x}{2})=-\frac{1}{2}x^2+3x$（$0＜x＜6$）
该二次函数开口向下，顶点处取最大值，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2×(-\frac{1}{2})}=3$
将x=3代入得$S_{最大值}=-\frac{1}{2}×3^2+3×3=\frac{9}{2}$
【答案】
$\dfrac{9}{2}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，矩形的性质，二次函数的最值
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题核心是利用几何图形的性质找到矩形两边的数量关系，再转化为二次函数求最值问题，考查了学生综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6

18 定义：若一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，这样的点称为“倍值点”。例如，函数 $ y=3x+1 $ 图像上有倍值点$(-1,-2)$，它是一个倍值函数。有说法：①函数 $ y=2x+4 $ 是倍值函数；②函数 $ y=\frac{8}{x} $ 的图像上的倍值点是$(2,4)$和$(-2,-4)$；③如果关于 $ x $ 的函数 $ y=(m-1)x^2+mx+\frac{1}{4}m $ 的图像上有两个倍值点，那么 $ m $ 的取值范围是 $ m＜\frac{4}{3} $；④如果关于 $ x $ 的函数 $ y=x^2+(m-k+2)x+\frac{n}{4}-\frac{k}{2} $ 的图像上存在唯一的倍值点，且当$-1≤ m≤3$时，$ n $ 的最小值为 $ k $，那么 $ k $ 的值为$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。其中不正确的是。（填序号）

18. ①③④. 提示：在函数$y=2x+4$中，令$y=2x$，则$2x=2x+4$. 无解，故函数$y=2x+4$不是倍值函数，①错误. 在函数$y=\dfrac{8}{x}$中，令$y=2x$，则$2x=\dfrac{8}{x}$. 解得$x_1=2$或$x_2=-2$. 经检验$x_1=2$和$x_2=-2$都是原方程的解. 故函数$y=\dfrac{8}{x}$的图像上的倍值点是$(2,4)$和$(-2,-4)$，②正确. 在$y=(m-1)x^2+mx+\dfrac{1}{4}m$中，令$y=2x$，则$2x=(m-1)x^2+mx+\dfrac{1}{4}m$. 整理得$(m-1)x^2+(m-2)x+\dfrac{1}{4}m=0$. 因为关于$x$的函数$y=(m-1)x^2+mx+\dfrac{1}{4}m$的图像上有两个倍值点，所以$\Delta=(m-2)^2-4(m-1)×\dfrac{1}{4}m＞0$且$m-1≠0$. 解得$m＜\dfrac{4}{3}$且$m≠1$，③错误. 在$y=x^2+(m-k+2)x+\dfrac{n}{4}-\dfrac{k}{2}$中，令$y=2x$，则$2x=x^2+(m-k+2)x+\dfrac{n}{4}-\dfrac{k}{2}$. 整理得$x^2+(m-k)x+\dfrac{n}{4}-\dfrac{k}{2}=0$. 因为该函数的图像上存在唯一的倍值点，所以$\Delta=(m-k)^2-4(\dfrac{n}{4}-\dfrac{k}{2})=0$. 整理得$n=(m-k)^2+2k$. 若$-1≤ k≤3$，则$n$有最小值$2k$. 由题意，$2k=k$. 此时$k=0$. 若$k＜-1$，则$n$在$m=-1$时有最小值$(1+k)^2+2k=k$. 解得$k=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}$或$k=\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$(舍去). 若$k＞3$，则$n$在$m=3$时有最小值$(3-k)^2+2k=k$. 无解. 故④错误.

【分析】
首先明确“倍值函数”“倍值点”的核心判定规则：若函数图像上存在点$(x,y)$满足$y=2x$，则该函数是倍值函数，对应点为倍值点。解题时对四个说法逐一验证：令各函数的$y=2x$，转化为关于$x$的方程，根据方程解的情况判断是否为倍值函数、求参数范围，涉及二次函数时需注意二次项系数不为0的隐含条件，求最值时要分类讨论对称轴和取值区间的位置关系。
【解析】
根据倍值点定义（满足$y=2x$）逐一分析：
① 对函数$y=2x+4$，令$y=2x$，得$2x=2x+4$，化简得$0=4$，方程无解，因此该函数不是倍值函数，①错误。
② 对函数$y=\frac{8}{x}$，令$y=2x$，得$2x=\frac{8}{x}$（$x≠0$），整理得$x^2=4$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$，经检验均为原方程的解，对应倍值点为$(2,4)$、$(-2,-4)$，②正确。
③ 对函数$y=(m-1)x^2+mx+\frac{1}{4}m$，令$y=2x$，整理得$(m-1)x^2+(m-2)x+\frac{1}{4}m=0$。
因为有两个倍值点，即方程有两个不等实根，需满足：
二次项系数不为0：$m-1≠0$，即$m≠1$；
判别式$\Delta＞0$：$\Delta=(m-2)^2-4×(m-1)×\frac{1}{4}m=-3m+4＞0$，解得$m＜\frac{4}{3}$。
综上$m$的取值范围是$m＜\frac{4}{3}$且$m≠1$，原说法遗漏$m≠1$的条件，③错误。
④ 对函数$y=x^2+(m-k+2)x+\frac{n}{4}-\frac{k}{2}$，令$y=2x$，整理得$x^2+(m-k)x+\frac{n}{4}-\frac{k}{2}=0$。
因为存在唯一倍值点，即方程有两个相等实根，故$\Delta=0$，化简得$n=(m-k)^2+2k$，这是开口向上、对称轴为$m=k$的二次函数，结合$-1≤ m≤3$分类讨论：
当$-1≤ k≤3$时，$n$最小值为$2k$，由$2k=k$得$k=0$；
当$k＜-1$时，$n$在$m=-1$处取最小值，代入得$(-1-k)^2+2k=k$，解得$k=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$（$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$不符合$k＜-1$舍去）；
当$k＞3$时，$n$在$m=3$处取最小值，代入得$(3-k)^2+2k=k$，方程无实根。
因此$k$的值为$0$或$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$，原说法不完整，④错误。
【答案】
$\boldsymbol{①③④}$
【知识点】
新定义问题，一元二次方程根的判别式，二次函数的最值
【点评】
本题结合新定义综合考查了各类函数的性质，以及一元二次方程根的判定、二次函数最值的分类讨论，解题关键是将新定义准确转化为方程问题，同时不要遗漏二次项系数不为0、对称轴和区间位置关系等隐含条件。
【难度系数】
0.3