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三、解答题
19. 已知抛物线$y=2x^2+8x-6$.
（1）确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（2）当$x$在什么范围内变化时，$y$随$x$的增大而增大？
19. 已知抛物线$y=2x^2+8x-6$.
（1）确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（2）当$x$在什么范围内变化时，$y$随$x$的增大而增大？
答案
19.（1）开口向上，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,-14)$. （2）当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大.
解析
【分析】
本题考查二次函数的基本性质，解题思路如下：
（1）判断抛物线开口方向只需看二次项系数的符号，系数为正则开口向上，为负则开口向下；求对称轴和顶点坐标可采用配方法将一般式转化为顶点式，也可直接用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，再将对称轴对应的x值代入解析式求y值，即可得到顶点坐标。
（2）二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定：开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大，左侧y随x增大而减小；开口向下时规律相反，结合第一问得到的开口方向和对称轴即可确定对应取值范围。
【解析】
（1）在抛物线解析式$y=2x^2+8x-6$中，二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上。
用配方法将一般式转化为顶点式：
$y=2x^2+8x-6=2(x^2+4x)-6$
$=2(x^2+4x+4-4)-6$
$=2(x+2)^2-8-6$
$=2(x+2)^2-14$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，可得该抛物线对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,-14)$。
也可使用公式法计算：对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×2}=-2$，将$x=-2$代入解析式得$y=2×(-2)^2+8×(-2)-6=-14$，同样可得顶点坐标$(-2,-14)$。
（2）由（1）可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，即$x＞-2$时，y随x的增大而增大。
【答案】
（1）开口向上，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,-14)$；
（2）当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
二次函数图像性质，对称轴与顶点计算，二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，重点考察对二次函数基本性质的理解和应用，熟练掌握配方法或顶点公式即可快速求解，是后续学习二次函数综合应用的基础。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数的基本性质，解题思路如下：
（1）判断抛物线开口方向只需看二次项系数的符号，系数为正则开口向上，为负则开口向下；求对称轴和顶点坐标可采用配方法将一般式转化为顶点式，也可直接用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，再将对称轴对应的x值代入解析式求y值，即可得到顶点坐标。
（2）二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定：开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大，左侧y随x增大而减小；开口向下时规律相反，结合第一问得到的开口方向和对称轴即可确定对应取值范围。
【解析】
（1）在抛物线解析式$y=2x^2+8x-6$中，二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上。
用配方法将一般式转化为顶点式：
$y=2x^2+8x-6=2(x^2+4x)-6$
$=2(x^2+4x+4-4)-6$
$=2(x+2)^2-8-6$
$=2(x+2)^2-14$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，可得该抛物线对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,-14)$。
也可使用公式法计算：对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×2}=-2$，将$x=-2$代入解析式得$y=2×(-2)^2+8×(-2)-6=-14$，同样可得顶点坐标$(-2,-14)$。
（2）由（1）可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，即$x＞-2$时，y随x的增大而增大。
【答案】
（1）开口向上，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,-14)$；
（2）当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
二次函数图像性质，对称轴与顶点计算，二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，重点考察对二次函数基本性质的理解和应用，熟练掌握配方法或顶点公式即可快速求解，是后续学习二次函数综合应用的基础。
【难度系数】
0.85
20. 已知二次函数图像的对称轴为直线 $ x=2 $，在 $ x $ 轴上截得的线段长为 6，与 $ y $ 轴的交点为 $ (0,-2) $，求此二次函数的表达式.
答案
20. $y=\dfrac{2}{5}x^2-\dfrac{8}{5}x-2$.
解析
【分析】
解题时首先利用二次函数的对称性，结合对称轴和x轴上截得的线段长，先求出二次函数与x轴的两个交点坐标。已知3个点的坐标后，可选择设交点式（两点式）来求解函数解析式，相比一般式计算更简便，最后代入已知点求出系数即可得到表达式。
【解析】
解：
∵ 二次函数的对称轴为直线$x=2$，且在x轴上截得的线段长为6，
∴ 二次函数与x轴的两个交点关于对称轴$x=2$对称，每个交点到对称轴的距离为$6÷2=3$，
∴ 两个交点的横坐标分别为$2-3=-1$，$2+3=5$，即与x轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(5,0)$。
设二次函数的交点式为$y=a(x+1)(x-5)$（$a≠0$），
将与y轴的交点$(0,-2)$代入解析式得：
$a×(0+1)×(0-5)=-2$，
即$-5a=-2$，解得$a=\dfrac{2}{5}$。
将$a=\dfrac{2}{5}$代入交点式展开得：
$y=\dfrac{2}{5}(x+1)(x-5)=\dfrac{2}{5}(x^2-4x-5)=\dfrac{2}{5}x^2-\dfrac{8}{5}x-2$。
【答案】
$y=\dfrac{2}{5}x^2-\dfrac{8}{5}x-2$
【知识点】
二次函数对称性，二次函数交点式，二次函数解析式求解
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性求出与x轴的交点坐标，选择交点式求解能有效简化计算过程，要熟练掌握二次函数不同解析式形式的特点，根据已知条件灵活选择最优的求解方式。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用二次函数的对称性，结合对称轴和x轴上截得的线段长，先求出二次函数与x轴的两个交点坐标。已知3个点的坐标后，可选择设交点式（两点式）来求解函数解析式，相比一般式计算更简便，最后代入已知点求出系数即可得到表达式。
【解析】
解：
∵ 二次函数的对称轴为直线$x=2$，且在x轴上截得的线段长为6，
∴ 二次函数与x轴的两个交点关于对称轴$x=2$对称，每个交点到对称轴的距离为$6÷2=3$，
∴ 两个交点的横坐标分别为$2-3=-1$，$2+3=5$，即与x轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(5,0)$。
设二次函数的交点式为$y=a(x+1)(x-5)$（$a≠0$），
将与y轴的交点$(0,-2)$代入解析式得：
$a×(0+1)×(0-5)=-2$，
即$-5a=-2$，解得$a=\dfrac{2}{5}$。
将$a=\dfrac{2}{5}$代入交点式展开得：
$y=\dfrac{2}{5}(x+1)(x-5)=\dfrac{2}{5}(x^2-4x-5)=\dfrac{2}{5}x^2-\dfrac{8}{5}x-2$。
【答案】
$y=\dfrac{2}{5}x^2-\dfrac{8}{5}x-2$
【知识点】
二次函数对称性，二次函数交点式，二次函数解析式求解
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性求出与x轴的交点坐标，选择交点式求解能有效简化计算过程，要熟练掌握二次函数不同解析式形式的特点，根据已知条件灵活选择最优的求解方式。
【难度系数】
0.6
21. 已知二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图像经过点 $ P(2,7) $ 和 $ Q(0,-5) $。
（1）确定 $ b $、$ c $ 的值。
（2）设该二次函数的图像与 $ x $ 轴交于 $ A $、$ B $ 两点（其中点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧），求 $ △ PAB $ 的面积。
（1）确定 $ b $、$ c $ 的值。
（2）设该二次函数的图像与 $ x $ 轴交于 $ A $、$ B $ 两点（其中点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧），求 $ △ PAB $ 的面积。
答案
21.（1）$b=4$，$c=-5$. （2）21.
解析
【分析】
（1）二次函数图象过已知点，可采用待定系数法，将两点坐标分别代入函数解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值；（2）先根据第一问结果写出完整二次函数解析式，令y=0求解一元二次方程，得到与x轴交点A、B的横坐标，计算AB的长度，由于AB在x轴上，△PAB的高等于点P纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）将点$P(2,7)$和$Q(0,-5)$代入二次函数$y=x^2+bx+c$中：
把$x=0$，$y=-5$代入得：$c=-5$；
把$x=2$，$y=7$，$c=-5$代入得：$2^2 + 2b - 5 =7$，
化简得：$4 + 2b -5 =7$，即$2b=8$，解得$b=4$。
（2）由（1）得二次函数解析式为$y=x^2 +4x -5$，
令$y=0$，即$x^2 +4x -5=0$，
因式分解得：$(x+5)(x-1)=0$，
解得$x_1=-5$，$x_2=1$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-5,0)$，$B(1,0)$，
∴$AB$的长度为$1 - (-5)=6$，
∵点$P$的纵坐标为7，AB在x轴上，
∴△PAB的高为7，
∴$S_{△ PAB}=\frac{1}{2} × AB × 高=\frac{1}{2} ×6 ×7=21$。
【答案】
（1）$b=4$，$c=-5$；（2）$21$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数与一元二次方程
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，侧重考察基础方法的应用，熟练掌握待定系数法、二次函数与坐标轴交点的求解方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）二次函数图象过已知点，可采用待定系数法，将两点坐标分别代入函数解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值；（2）先根据第一问结果写出完整二次函数解析式，令y=0求解一元二次方程，得到与x轴交点A、B的横坐标，计算AB的长度，由于AB在x轴上，△PAB的高等于点P纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）将点$P(2,7)$和$Q(0,-5)$代入二次函数$y=x^2+bx+c$中：
把$x=0$，$y=-5$代入得：$c=-5$；
把$x=2$，$y=7$，$c=-5$代入得：$2^2 + 2b - 5 =7$，
化简得：$4 + 2b -5 =7$，即$2b=8$，解得$b=4$。
（2）由（1）得二次函数解析式为$y=x^2 +4x -5$，
令$y=0$，即$x^2 +4x -5=0$，
因式分解得：$(x+5)(x-1)=0$，
解得$x_1=-5$，$x_2=1$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-5,0)$，$B(1,0)$，
∴$AB$的长度为$1 - (-5)=6$，
∵点$P$的纵坐标为7，AB在x轴上，
∴△PAB的高为7，
∴$S_{△ PAB}=\frac{1}{2} × AB × 高=\frac{1}{2} ×6 ×7=21$。
【答案】
（1）$b=4$，$c=-5$；（2）$21$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数与一元二次方程
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，侧重考察基础方法的应用，熟练掌握待定系数法、二次函数与坐标轴交点的求解方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
