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22. 已知二次函数的图像经过点$A(-1,-6)$、$B(2,-3)$、$C(0,-3)$.
（1）求该二次函数的表达式.
（2）将该二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后得到的抛物线的表达式.
（3）直接写出当$-2≤ x≤ 3$时，平移后得到的抛物线对应的二次函数的最大值与最小值.
（1）求该二次函数的表达式.
（2）将该二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后得到的抛物线的表达式.
（3）直接写出当$-2≤ x≤ 3$时，平移后得到的抛物线对应的二次函数的最大值与最小值.
答案
22.（1）$y=-x^2+2x-3$. （2）$y=-x^2-2x-6$. （3）最大值为$-5$，最小值为$-21$.
解析
【分析】
（1）已知二次函数经过三个普通点，选择一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将三点坐标代入得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
（2）二次函数平移遵循“左加右减，上加下减”的规则：向左平移2个单位将$x$替换为$x+2$，向下平移3个单位将解析式整体减3，代入化简即可得到平移后的表达式。
（3）求给定区间的二次函数最值，先将平移后的解析式化为顶点式，确定开口方向和对称轴，判断对称轴是否在区间内：开口向下时顶点处取最大值，区间端点中距离对称轴更远的点处取最小值，代入计算即可。
【解析】
（1）设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将$C(0,-3)$代入得：$c=-3$，
将$A(-1,-6)$、$c=-3$代入得：$a-b-3=-6$，即$a-b=-3$ ①，
将$B(2,-3)$、$c=-3$代入得：$4a+2b-3=-3$，即$2a+b=0$ ②，
联立①②，①+②得$3a=-3$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入②得：$b=2$，
∴该二次函数的表达式为$y=-x^2+2x-3$。
（2）根据平移规则，平移后的解析式为：
$y=-(x+2)^2+2(x+2)-3-3$
展开化简：
$y=-x^2-4x-4+2x+4-6$
合并同类项得：$y=-x^2-2x-6$。
（3）将平移后的解析式配方得：$y=-(x+1)^2-5$，
∵$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，
∵$-1\in[-2,3]$，
∴当$x=-1$时，函数取得最大值$-5$，
比较端点到对称轴的距离：$\vert-2-(-1)\vert=1$，$\vert3-(-1)\vert=4$，$4＞1$，
∴当$x=3$时函数取最小值，代入得$y=-3^2-2×3-6=-21$。
【答案】
（1）$y=-x^2+2x-3$；（2）$y=-x^2-2x-6$；（3）最大值为$-5$，最小值为$-21$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象平移，二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，覆盖了二次函数三个核心基础考点，解题的关键是熟练掌握待定系数法、平移规则和结合开口方向、对称轴判断最值的方法，能够有效巩固二次函数的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）已知二次函数经过三个普通点，选择一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将三点坐标代入得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
（2）二次函数平移遵循“左加右减，上加下减”的规则：向左平移2个单位将$x$替换为$x+2$，向下平移3个单位将解析式整体减3，代入化简即可得到平移后的表达式。
（3）求给定区间的二次函数最值，先将平移后的解析式化为顶点式，确定开口方向和对称轴，判断对称轴是否在区间内：开口向下时顶点处取最大值，区间端点中距离对称轴更远的点处取最小值，代入计算即可。
【解析】
（1）设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将$C(0,-3)$代入得：$c=-3$，
将$A(-1,-6)$、$c=-3$代入得：$a-b-3=-6$，即$a-b=-3$ ①，
将$B(2,-3)$、$c=-3$代入得：$4a+2b-3=-3$，即$2a+b=0$ ②，
联立①②，①+②得$3a=-3$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入②得：$b=2$，
∴该二次函数的表达式为$y=-x^2+2x-3$。
（2）根据平移规则，平移后的解析式为：
$y=-(x+2)^2+2(x+2)-3-3$
展开化简：
$y=-x^2-4x-4+2x+4-6$
合并同类项得：$y=-x^2-2x-6$。
（3）将平移后的解析式配方得：$y=-(x+1)^2-5$，
∵$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，
∵$-1\in[-2,3]$，
∴当$x=-1$时，函数取得最大值$-5$，
比较端点到对称轴的距离：$\vert-2-(-1)\vert=1$，$\vert3-(-1)\vert=4$，$4＞1$，
∴当$x=3$时函数取最小值，代入得$y=-3^2-2×3-6=-21$。
【答案】
（1）$y=-x^2+2x-3$；（2）$y=-x^2-2x-6$；（3）最大值为$-5$，最小值为$-21$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象平移，二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，覆盖了二次函数三个核心基础考点，解题的关键是熟练掌握待定系数法、平移规则和结合开口方向、对称轴判断最值的方法，能够有效巩固二次函数的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
23. 已知二次函数 $y=x^2-(m-2)x+m-3$（$m$ 是常数）.
（1）求证：无论 $m$ 为何值，该二次函数图像与 $x$ 轴一定有交点.
（2）已知该二次函数的图像与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点，且 $AB=2$，求 $m$ 的值.
（1）求证：无论 $m$ 为何值，该二次函数图像与 $x$ 轴一定有交点.
（2）已知该二次函数的图像与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点，且 $AB=2$，求 $m$ 的值.
答案
23.（1）略. （2）$m=6$或$m=2$.
解析
【分析】
（1）要证明二次函数图像与x轴总有交点，可转化为证明该二次函数对应的一元二次方程总有实数根，只需计算判别式Δ，证明Δ恒大于等于0即可。
（2）已知A、B是函数与x轴的交点，AB为两点横坐标差的绝对值，可结合第一问求出的Δ，利用两交点距离公式$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$（a为二次项系数）列方程求解m的值，也可通过韦达定理计算两根的差的绝对值求解。
【解析】
（1）证明：二次函数$y=x^2-(m-2)x+m-3$对应的一元二次方程为$x^2-(m-2)x+m-3=0$，
其中$a=1$，$b=-(m-2)$，$c=m-3$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(m-2)]^2 - 4×1×(m-3)$
$= m^2-4m+4-4m+12$
$= m^2-8m+16=(m-4)^2$，
∵无论m取何值，$(m-4)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴无论m为何值，该一元二次方程总有实数根，即二次函数图像与x轴一定有交点。
（2）解：设A、B两点的横坐标为$x_1$、$x_2$，则$x_1$、$x_2$是方程$x^2-(m-2)x+m-3=0$的两个实根，
由题意得$AB=|x_1-x_2|=2$，
∵$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$，$a=1$，$\Delta=(m-4)^2$，
∴$\sqrt{(m-4)^2}=2$，即$|m-4|=2$，
则$m-4=2$或$m-4=-2$，
解得$m=6$或$m=2$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$m=6$或$m=2$
【知识点】
根的判别式的应用，二次函数与一元二次方程的联系，韦达定理
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，第一问核心是利用判别式判断二次函数与x轴的交点情况，第二问考查二次函数与x轴两交点距离的计算，解题方法灵活，既可以用判别式直接推导，也可以求根或者用韦达定理计算，需要熟练掌握二次函数和一元二次方程的关联知识。
【难度系数】
0.75
（1）要证明二次函数图像与x轴总有交点，可转化为证明该二次函数对应的一元二次方程总有实数根，只需计算判别式Δ，证明Δ恒大于等于0即可。
（2）已知A、B是函数与x轴的交点，AB为两点横坐标差的绝对值，可结合第一问求出的Δ，利用两交点距离公式$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$（a为二次项系数）列方程求解m的值，也可通过韦达定理计算两根的差的绝对值求解。
【解析】
（1）证明：二次函数$y=x^2-(m-2)x+m-3$对应的一元二次方程为$x^2-(m-2)x+m-3=0$，
其中$a=1$，$b=-(m-2)$，$c=m-3$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(m-2)]^2 - 4×1×(m-3)$
$= m^2-4m+4-4m+12$
$= m^2-8m+16=(m-4)^2$，
∵无论m取何值，$(m-4)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴无论m为何值，该一元二次方程总有实数根，即二次函数图像与x轴一定有交点。
（2）解：设A、B两点的横坐标为$x_1$、$x_2$，则$x_1$、$x_2$是方程$x^2-(m-2)x+m-3=0$的两个实根，
由题意得$AB=|x_1-x_2|=2$，
∵$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$，$a=1$，$\Delta=(m-4)^2$，
∴$\sqrt{(m-4)^2}=2$，即$|m-4|=2$，
则$m-4=2$或$m-4=-2$，
解得$m=6$或$m=2$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$m=6$或$m=2$
【知识点】
根的判别式的应用，二次函数与一元二次方程的联系，韦达定理
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，第一问核心是利用判别式判断二次函数与x轴的交点情况，第二问考查二次函数与x轴两交点距离的计算，解题方法灵活，既可以用判别式直接推导，也可以求根或者用韦达定理计算，需要熟练掌握二次函数和一元二次方程的关联知识。
【难度系数】
0.75
