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24. 某商品的进价为每件 40 元. 市场调查反映，按现在每件 60 元的售价，每星期可以卖出 300 件；如果调整价格，那么每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件. 商场决定在不亏本的前提下降价销售.
（1）若每件商品降价 $ x $ 元销售，写出该商品每星期的销售利润 $ y $（单位：元）关于 $ x $ 的函数表达式，并确定自变量 $ x $ 的取值范围.
（2）设某星期的销售利润为 5720 元，求该商品这星期的实际售价.
（3）如何定价才能使销售利润最大？
（1）若每件商品降价 $ x $ 元销售，写出该商品每星期的销售利润 $ y $（单位：元）关于 $ x $ 的函数表达式，并确定自变量 $ x $ 的取值范围.
（2）设某星期的销售利润为 5720 元，求该商品这星期的实际售价.
（3）如何定价才能使销售利润最大？
答案
24.（1）$y=-20x^2+100x+6000(0≤ x≤20)$. （2）53元. （3）定价为每件57.5元时销售利润最大.
解析
【分析】
解题核心是利用“销售总利润=单件利润×销售量”的数量关系列式：
1. 第一问先确定降价x元后的单件利润和销售量，再结合“不亏本（售价≥进价）”“降价销售（x≥0）”确定自变量范围；
2. 第二问将利润值代入第一问的函数表达式，解一元二次方程后舍去不符合取值范围的解，再计算实际售价；
3. 第三问利用二次函数的性质，开口向下的抛物线顶点处取最大值，用顶点公式计算对应x值后求定价即可。
【解析】
（1）降价x元后，单件商品的利润为：$60-40-x=(20-x)$元，
每星期的销售量为：$300+20x$件，
因此总利润$y=(20-x)(300+20x)$，展开整理得：
$y=-20x^2+100x+6000$。
由“不亏本”得$60-x≥40$，解得$x≤20$，结合降价销售的前提$x≥0$，得自变量取值范围为$0≤ x≤20$。
（2）令$y=5720$，代入函数表达式得：
$-20x^2+100x+6000=5720$，
整理得$x^2-5x-14=0$，
因式分解得$(x-7)(x+2)=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=-2$（不符合$x≥0$的要求，舍去），
因此实际售价为$60-7=53$元。
（3）函数$y=-20x^2+100x+6000$中，$a=-20＜0$，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，
顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-20)}=2.5$，
对应售价为$60-2.5=57.5$元，此时销售利润最大。
【答案】
（1）$y=-20x^2+100x+6000(0≤ x≤20)$；（2）53元；（3）定价为每件57.5元时销售利润最大
【知识点】
销售利润问题；二次函数的应用；一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，核心是梳理清楚各数量间的关系，求解时要注意结合实际意义筛选结果，同时熟练掌握二次函数求最值的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题核心是利用“销售总利润=单件利润×销售量”的数量关系列式：
1. 第一问先确定降价x元后的单件利润和销售量，再结合“不亏本（售价≥进价）”“降价销售（x≥0）”确定自变量范围；
2. 第二问将利润值代入第一问的函数表达式，解一元二次方程后舍去不符合取值范围的解，再计算实际售价；
3. 第三问利用二次函数的性质，开口向下的抛物线顶点处取最大值，用顶点公式计算对应x值后求定价即可。
【解析】
（1）降价x元后，单件商品的利润为：$60-40-x=(20-x)$元，
每星期的销售量为：$300+20x$件，
因此总利润$y=(20-x)(300+20x)$，展开整理得：
$y=-20x^2+100x+6000$。
由“不亏本”得$60-x≥40$，解得$x≤20$，结合降价销售的前提$x≥0$，得自变量取值范围为$0≤ x≤20$。
（2）令$y=5720$，代入函数表达式得：
$-20x^2+100x+6000=5720$，
整理得$x^2-5x-14=0$，
因式分解得$(x-7)(x+2)=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=-2$（不符合$x≥0$的要求，舍去），
因此实际售价为$60-7=53$元。
（3）函数$y=-20x^2+100x+6000$中，$a=-20＜0$，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，
顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-20)}=2.5$，
对应售价为$60-2.5=57.5$元，此时销售利润最大。
【答案】
（1）$y=-20x^2+100x+6000(0≤ x≤20)$；（2）53元；（3）定价为每件57.5元时销售利润最大
【知识点】
销售利润问题；二次函数的应用；一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，核心是梳理清楚各数量间的关系，求解时要注意结合实际意义筛选结果，同时熟练掌握二次函数求最值的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
25. 如图，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像与x轴分别交于点$A(-1,0)$、$B(3,0)$，与y轴交于点$C(0,-3)$。P、Q为抛物线上的两点。
（备用图）
（1）求该二次函数的表达式。
（2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，$△ OPQ$是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标。
（3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为$m+1$，试探究：$△ OPQ$的面积S是否存在最小值？ 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
（备用图）
（1）求该二次函数的表达式。
（2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，$△ OPQ$是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标。
（3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为$m+1$，试探究：$△ OPQ$的面积S是否存在最小值？ 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
答案
25.（1）$y=x^2-2x-3$.
（2）$(\dfrac{2}{3},-\dfrac{35}{9})$. 提示：抛物线的对称轴为直线$x=1$. 因为P、C两点关于抛物线对称轴对称，所以点P的坐标为$(2,-3)$. 设点Q的坐标为$(m,m^2-2m-3)$. 因为$∠ OPQ=90°$，所以$OP^2+PQ^2=OQ^2$，即$[(0-2)^2+(0+3)^2]+[(2-m)^2+(-3-m^2+2m+3)^2]=(0-m)^2+(0-m^2+2m+3)^2$. 整理得，$3m^2-8m+4=0$. 解得，$m_1=\dfrac{2}{3}$，$m_2=2$.
（3）存在，最小值为$\dfrac{11}{8}$. 提示：点P的坐标为$(m,m^2-2m-3)$，点Q的坐标为$(m+1,m^2-4)$. 当$m^2-2m-3=m^2-4$，即$m=\dfrac{1}{2}$时，PQ平行于x轴，此时可得$S_{△ OPQ}=\dfrac{15}{8}$. 当$m≠\dfrac{1}{2}$时，直线PQ的方程为$y=(2m-1)x - m^2 - m - 3$. 直线PQ交x轴于点$X(\dfrac{m^2+m+3}{2m-1},0)$，交y轴于点$Y(0,-m^2-m-3)$. 于是$△ OPQ$在边PQ上的高等于$△ OXY$在边XY上的高，即
$\dfrac{\left|\dfrac{m^2 + m + 3}{2m - 1}\right||-m^2 - m - 3|}{XY}.$
于是，
$S^2=\dfrac{1}{4}PQ^2 ( \dfrac{\left|\dfrac{m^2 + m + 3}{2m - 1}\right||-m^2 - m - 3|}{XY} )^2=\dfrac{\dfrac{1}{4}[1+(2m-1)^2](m^2+m+3)^4}{(2m-1)^2[(m^2+m+3)^2+(\dfrac{m^2+m+3}{2m-1})^2]}=[\dfrac{1}{2}(m^2+m+3)]^2.$
因为$\dfrac{1}{2}(m^2+m+3)=\dfrac{1}{2}(m+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{11}{8}≥\dfrac{11}{8}＞0$，所以$S=\dfrac{1}{2}(m^2+m+3)=\dfrac{1}{2}(m+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{11}{8}≥\dfrac{11}{8}$，即S存在最小值$\dfrac{11}{8}$.
（2）$(\dfrac{2}{3},-\dfrac{35}{9})$. 提示：抛物线的对称轴为直线$x=1$. 因为P、C两点关于抛物线对称轴对称，所以点P的坐标为$(2,-3)$. 设点Q的坐标为$(m,m^2-2m-3)$. 因为$∠ OPQ=90°$，所以$OP^2+PQ^2=OQ^2$，即$[(0-2)^2+(0+3)^2]+[(2-m)^2+(-3-m^2+2m+3)^2]=(0-m)^2+(0-m^2+2m+3)^2$. 整理得，$3m^2-8m+4=0$. 解得，$m_1=\dfrac{2}{3}$，$m_2=2$.
（3）存在，最小值为$\dfrac{11}{8}$. 提示：点P的坐标为$(m,m^2-2m-3)$，点Q的坐标为$(m+1,m^2-4)$. 当$m^2-2m-3=m^2-4$，即$m=\dfrac{1}{2}$时，PQ平行于x轴，此时可得$S_{△ OPQ}=\dfrac{15}{8}$. 当$m≠\dfrac{1}{2}$时，直线PQ的方程为$y=(2m-1)x - m^2 - m - 3$. 直线PQ交x轴于点$X(\dfrac{m^2+m+3}{2m-1},0)$，交y轴于点$Y(0,-m^2-m-3)$. 于是$△ OPQ$在边PQ上的高等于$△ OXY$在边XY上的高，即
$\dfrac{\left|\dfrac{m^2 + m + 3}{2m - 1}\right||-m^2 - m - 3|}{XY}.$
于是，
$S^2=\dfrac{1}{4}PQ^2 ( \dfrac{\left|\dfrac{m^2 + m + 3}{2m - 1}\right||-m^2 - m - 3|}{XY} )^2=\dfrac{\dfrac{1}{4}[1+(2m-1)^2](m^2+m+3)^4}{(2m-1)^2[(m^2+m+3)^2+(\dfrac{m^2+m+3}{2m-1})^2]}=[\dfrac{1}{2}(m^2+m+3)]^2.$
因为$\dfrac{1}{2}(m^2+m+3)=\dfrac{1}{2}(m+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{11}{8}≥\dfrac{11}{8}＞0$，所以$S=\dfrac{1}{2}(m^2+m+3)=\dfrac{1}{2}(m+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{11}{8}≥\dfrac{11}{8}$，即S存在最小值$\dfrac{11}{8}$.
解析
【分析】
（1）已知二次函数与x轴的两个交点坐标，可优先设交点式求解解析式，代入y轴交点坐标即可求出参数a，整理得到二次函数表达式。
（2）先根据抛物线与x轴交点求出对称轴，结合点C坐标及对称性质得到点P坐标；设出点Q的坐标，根据直角顶点为P的直角三角形满足勾股定理$OP^2+PQ^2=OQ^2$列方程求解，舍去与P重合的解即可得到Q的坐标。
（3）先根据P、Q的横坐标写出两点的坐标，利用坐标法表示出$△ OPQ$的面积，将面积整理为关于m的二次函数，通过配方求二次函数的最小值即可。
【解析】
（1）
∵二次函数图像与x轴交于$A(-1,0)$、$B(3,0)$，
∴设二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-3)(a≠0)$，
将$C(0,-3)$代入表达式得：$a×1×(-3)=-3$，
解得$a=1$，
∴二次函数的表达式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$。
（2）抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，
∵点P、C关于对称轴对称，$C(0,-3)$，
∴点P的横坐标为$2×1-0=2$，纵坐标为-3，即$P(2,-3)$，
设点Q的坐标为$(t,t^2-2t-3)$，
∵$△ OPQ$是以P为直角顶点的直角三角形，
∴$OP^2 + PQ^2 = OQ^2$，
分别计算各线段长度的平方：
$OP^2=(2-0)^2+(-3-0)^2=4+9=13$，
$PQ^2=(t-2)^2 + (t^2-2t-3+3)^2=(t-2)^2 + (t^2-2t)^2$，
$OQ^2=t^2 + (t^2-2t-3)^2$，
代入等式展开化简得：$3t^2-8t+4=0$，
解得$t_1=2$，$t_2=\frac{2}{3}$，
当$t=2$时，点Q与点P重合，舍去，
将$t=\frac{2}{3}$代入抛物线表达式得$y=(\frac{2}{3})^2 -2×\frac{2}{3} -3=-\frac{35}{9}$，
即点Q的坐标为$(\frac{2}{3},-\frac{35}{9})$。
（3）存在最小值，理由如下：
由题意得，点P的坐标为$(m,m^2-2m-3)$，点Q的坐标为$(m+1,(m+1)^2-2(m+1)-3)$，
化简Q的纵坐标得$m^2-4$，即$Q(m+1,m^2-4)$，
根据坐标求三角形面积公式，$△ OPQ$的面积$S=\frac{1}{2}|x_Py_Q - x_Qy_P|$，
代入坐标化简得：
$S=\frac{1}{2}|m(m^2-4) - (m+1)(m^2-2m-3)|=\frac{1}{2}|m^2+m+3|$，
∵$m^2+m+3=(m+\frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}＞0$恒成立，
∴$S=\frac{1}{2}(m^2+m+3)=\frac{1}{2}(m+\frac{1}{2})^2 + \frac{11}{8}$，
∵$\frac{1}{2}＞0$，
∴当$m=-\frac{1}{2}$时，S取得最小值，最小值为$\frac{11}{8}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$
（2）$\boldsymbol{(\dfrac{2}{3},-\dfrac{35}{9})}$
（3）存在，最小值为$\boldsymbol{\dfrac{11}{8}}$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 直角三角形的性质
3. 二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数综合题，涵盖了二次函数的基本性质、对称变换、直角三角形存在性、面积最值探究等考点，解题时需要灵活运用函数与方程思想，将几何问题转化为代数运算，对综合运用知识解决问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
（1）已知二次函数与x轴的两个交点坐标，可优先设交点式求解解析式，代入y轴交点坐标即可求出参数a，整理得到二次函数表达式。
（2）先根据抛物线与x轴交点求出对称轴，结合点C坐标及对称性质得到点P坐标；设出点Q的坐标，根据直角顶点为P的直角三角形满足勾股定理$OP^2+PQ^2=OQ^2$列方程求解，舍去与P重合的解即可得到Q的坐标。
（3）先根据P、Q的横坐标写出两点的坐标，利用坐标法表示出$△ OPQ$的面积，将面积整理为关于m的二次函数，通过配方求二次函数的最小值即可。
【解析】
（1）
∵二次函数图像与x轴交于$A(-1,0)$、$B(3,0)$，
∴设二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-3)(a≠0)$，
将$C(0,-3)$代入表达式得：$a×1×(-3)=-3$，
解得$a=1$，
∴二次函数的表达式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$。
（2）抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，
∵点P、C关于对称轴对称，$C(0,-3)$，
∴点P的横坐标为$2×1-0=2$，纵坐标为-3，即$P(2,-3)$，
设点Q的坐标为$(t,t^2-2t-3)$，
∵$△ OPQ$是以P为直角顶点的直角三角形，
∴$OP^2 + PQ^2 = OQ^2$，
分别计算各线段长度的平方：
$OP^2=(2-0)^2+(-3-0)^2=4+9=13$，
$PQ^2=(t-2)^2 + (t^2-2t-3+3)^2=(t-2)^2 + (t^2-2t)^2$，
$OQ^2=t^2 + (t^2-2t-3)^2$，
代入等式展开化简得：$3t^2-8t+4=0$，
解得$t_1=2$，$t_2=\frac{2}{3}$，
当$t=2$时，点Q与点P重合，舍去，
将$t=\frac{2}{3}$代入抛物线表达式得$y=(\frac{2}{3})^2 -2×\frac{2}{3} -3=-\frac{35}{9}$，
即点Q的坐标为$(\frac{2}{3},-\frac{35}{9})$。
（3）存在最小值，理由如下：
由题意得，点P的坐标为$(m,m^2-2m-3)$，点Q的坐标为$(m+1,(m+1)^2-2(m+1)-3)$，
化简Q的纵坐标得$m^2-4$，即$Q(m+1,m^2-4)$，
根据坐标求三角形面积公式，$△ OPQ$的面积$S=\frac{1}{2}|x_Py_Q - x_Qy_P|$，
代入坐标化简得：
$S=\frac{1}{2}|m(m^2-4) - (m+1)(m^2-2m-3)|=\frac{1}{2}|m^2+m+3|$，
∵$m^2+m+3=(m+\frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}＞0$恒成立，
∴$S=\frac{1}{2}(m^2+m+3)=\frac{1}{2}(m+\frac{1}{2})^2 + \frac{11}{8}$，
∵$\frac{1}{2}＞0$，
∴当$m=-\frac{1}{2}$时，S取得最小值，最小值为$\frac{11}{8}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$
（2）$\boldsymbol{(\dfrac{2}{3},-\dfrac{35}{9})}$
（3）存在，最小值为$\boldsymbol{\dfrac{11}{8}}$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 直角三角形的性质
3. 二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数综合题，涵盖了二次函数的基本性质、对称变换、直角三角形存在性、面积最值探究等考点，解题时需要灵活运用函数与方程思想，将几何问题转化为代数运算，对综合运用知识解决问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
