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1. 分解因式 $x^4 -1$，正确的结果是 $\quad$（
A.$(x^2 +1)(x^2 -1)$
B.$(x-1)(x+1)(x^2 +1)$
C.$(x+1)^2(x-1)^2$
D.$(x-1)(x+1)^3$
B
）A.$(x^2 +1)(x^2 -1)$
B.$(x-1)(x+1)(x^2 +1)$
C.$(x+1)^2(x-1)^2$
D.$(x-1)(x+1)^3$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查因式分解的应用，解题思路如下：首先观察原式$x^4-1$，可变形为平方差的形式，优先使用平方差公式分解；其次要牢记因式分解的要求：必须分解到每个整式因式都不能再分解为止，不能中途停止分解。第一步先将$x^4-1$按平方差公式分解，再对得到的因式中还能分解的部分继续分解，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
解：对$x^4-1$进行因式分解：
1. 先将原式变形为平方差结构：$x^4-1=(x^2)^2-1^2$
2. 根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，第一次分解得：
$x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)$
3. 观察到因式$x^2-1$仍符合平方差结构，继续分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
4. 因式$x^2+1$在整式范围内无法再分解，因此最终分解结果为：
$x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；因式分解的基本要求
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点是分解不彻底，仅分解到第一步就误选A选项，解题时要注意确认最终得到的每个因式都不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
本题考查因式分解的应用，解题思路如下：首先观察原式$x^4-1$，可变形为平方差的形式，优先使用平方差公式分解；其次要牢记因式分解的要求：必须分解到每个整式因式都不能再分解为止，不能中途停止分解。第一步先将$x^4-1$按平方差公式分解，再对得到的因式中还能分解的部分继续分解，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
解：对$x^4-1$进行因式分解：
1. 先将原式变形为平方差结构：$x^4-1=(x^2)^2-1^2$
2. 根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，第一次分解得：
$x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)$
3. 观察到因式$x^2-1$仍符合平方差结构，继续分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
4. 因式$x^2+1$在整式范围内无法再分解，因此最终分解结果为：
$x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；因式分解的基本要求
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点是分解不彻底，仅分解到第一步就误选A选项，解题时要注意确认最终得到的每个因式都不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
2.分解因式：
(1)$4b^2c^2 - (b^2 + c^2)^2$；
(2)$x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$。
(1)$4b^2c^2 - (b^2 + c^2)^2$；
(2)$x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$。
答案
(1)原式$=(2bc+b^2+c^2)(2bc-b^2-c^2)$
$=-(b+c)^2(b-c)^2$.
(2)原式$=(x^2-4y^2)^2=(x+2y)^2(x-2y)^2$.
$=-(b+c)^2(b-c)^2$.
(2)原式$=(x^2-4y^2)^2=(x+2y)^2(x-2y)^2$.
解析
【分析】
对于因式分解类题目，首先观察式子的结构特征选择合适的方法：
(1) 题中原式是两个平方项作差的形式，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的结构，先套用平方差公式分解，再观察分解后得到的两个因式，发现均符合完全平方公式的结构，继续分解即可，注意符号的处理。
(2) 题中原式是三项式，首尾两项分别是$x^2$和$4y^2$的平方，中间项是这两个底数乘积的2倍的相反数，符合完全平方差公式的结构，先套用完全平方公式分解，再观察得到的因式还能利用平方差公式继续分解，要保证分解彻底。
【解析】
(1) 先将原式转化为平方差的形式：
原式$=(2bc)^2 - (b^2 + c^2)^2$
根据平方差公式分解得：
$=(2bc + b^2 + c^2)(2bc - b^2 - c^2)$
对两个因式分别整理，第一个因式符合完全平方和公式，第二个因式提取负号后符合完全平方差公式：
$=(b+c)^2·[-(b^2 - 2bc + c^2)]$
$=-(b+c)^2(b-c)^2$
(2) 观察原式符合完全平方差公式的结构：
原式$=(x^2)^2 - 2· x^2· 4y^2 + (4y^2)^2$
根据完全平方差公式分解得：
$=(x^2 - 4y^2)^2$
此时括号内的$x^2 - 4y^2$还能利用平方差公式继续分解：
$=[(x+2y)(x-2y)]^2$
展开后得：
$=(x+2y)^2(x-2y)^2$
【答案】
(1)$-(b+c)^2(b-c)^2$
(2)$(x+2y)^2(x-2y)^2$
【知识点】
平方差公式因式分解、完全平方公式因式分解、因式分解的彻底性
【点评】
本题考查公式法因式分解的综合运用，解题的关键是先观察式子的结构特征，匹配对应的乘法公式，分解过程中要注意符号的正误，最终结果要保证每个多项式因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
对于因式分解类题目，首先观察式子的结构特征选择合适的方法：
(1) 题中原式是两个平方项作差的形式，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的结构，先套用平方差公式分解，再观察分解后得到的两个因式，发现均符合完全平方公式的结构，继续分解即可，注意符号的处理。
(2) 题中原式是三项式，首尾两项分别是$x^2$和$4y^2$的平方，中间项是这两个底数乘积的2倍的相反数，符合完全平方差公式的结构，先套用完全平方公式分解，再观察得到的因式还能利用平方差公式继续分解，要保证分解彻底。
【解析】
(1) 先将原式转化为平方差的形式：
原式$=(2bc)^2 - (b^2 + c^2)^2$
根据平方差公式分解得：
$=(2bc + b^2 + c^2)(2bc - b^2 - c^2)$
对两个因式分别整理，第一个因式符合完全平方和公式，第二个因式提取负号后符合完全平方差公式：
$=(b+c)^2·[-(b^2 - 2bc + c^2)]$
$=-(b+c)^2(b-c)^2$
(2) 观察原式符合完全平方差公式的结构：
原式$=(x^2)^2 - 2· x^2· 4y^2 + (4y^2)^2$
根据完全平方差公式分解得：
$=(x^2 - 4y^2)^2$
此时括号内的$x^2 - 4y^2$还能利用平方差公式继续分解：
$=[(x+2y)(x-2y)]^2$
展开后得：
$=(x+2y)^2(x-2y)^2$
【答案】
(1)$-(b+c)^2(b-c)^2$
(2)$(x+2y)^2(x-2y)^2$
【知识点】
平方差公式因式分解、完全平方公式因式分解、因式分解的彻底性
【点评】
本题考查公式法因式分解的综合运用，解题的关键是先观察式子的结构特征，匹配对应的乘法公式，分解过程中要注意符号的正误，最终结果要保证每个多项式因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
3.甲、乙两位同学因式分解$-x^3 + x$的结果如下：
甲同学:原式$=-x(x+1)(x-1)$；
乙同学:原式$=x(1+x)(1-x)$。
下列判断正确的是 （
A.只有甲的结果正确
B.只有乙的结果正确
C.甲、乙的结果都正确
D.甲、乙的结果都不正确
甲同学:原式$=-x(x+1)(x-1)$；
乙同学:原式$=x(1+x)(1-x)$。
下列判断正确的是 （
C
）A.只有甲的结果正确
B.只有乙的结果正确
C.甲、乙的结果都正确
D.甲、乙的结果都不正确
答案
3.C
解析
【分析】
要判断甲乙两位同学的因式分解结果是否正确，需遵循因式分解的两个判断标准：①分解后的各整式乘积与原式恒等；②分解要彻底，即每个因式都不能再分解。我们可以先自行对原式因式分解，再对比两人的结果，也可以直接验证两人结果是否满足上述两个标准，同时注意公因式符号不同时，最终结果的形式可能不同，但只要等价就是正确的。
【解析】
我们对原式$-x^3 + x$进行因式分解：
方法一：提取公因式$-x$
$\begin{aligned}-x^3 + x&=-x(x^2 - 1)\\&=-x(x+1)(x-1) \quad (\mathrm{利用平方差公式}a^2-b^2=(a+b)(a-b))\end{aligned}$
该结果与甲同学的结果一致，故甲的结果正确。
方法二：提取公因式$x$
$\begin{aligned}-x^3 + x&=x(1 - x^2)\\&=x(1+x)(1-x) \quad (\mathrm{利用平方差公式}a^2-b^2=(a+b)(a-b))\end{aligned}$
该结果与乙同学的结果一致，故乙的结果正确。
进一步验证两个结果的等价性：甲的结果$-x(x+1)(x-1)=-x(x+1)×[-(1-x)]=x(x+1)(1-x)$，和乙的结果完全相等，且两个结果都已经分解到不能再分解的整式乘积形式，因此甲乙的结果都正确。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；因式分解的判定
【点评】
本题考查因式分解的正误判断，需注意提取公因式时选择的公因式符号不同，最终分解结果的表达形式会有差异，只要结果满足与原式恒等、分解彻底的要求，就是正确的，不要仅因形式不同误判错误。
【难度系数】
0.8
要判断甲乙两位同学的因式分解结果是否正确，需遵循因式分解的两个判断标准：①分解后的各整式乘积与原式恒等；②分解要彻底，即每个因式都不能再分解。我们可以先自行对原式因式分解，再对比两人的结果，也可以直接验证两人结果是否满足上述两个标准，同时注意公因式符号不同时，最终结果的形式可能不同，但只要等价就是正确的。
【解析】
我们对原式$-x^3 + x$进行因式分解：
方法一：提取公因式$-x$
$\begin{aligned}-x^3 + x&=-x(x^2 - 1)\\&=-x(x+1)(x-1) \quad (\mathrm{利用平方差公式}a^2-b^2=(a+b)(a-b))\end{aligned}$
该结果与甲同学的结果一致，故甲的结果正确。
方法二：提取公因式$x$
$\begin{aligned}-x^3 + x&=x(1 - x^2)\\&=x(1+x)(1-x) \quad (\mathrm{利用平方差公式}a^2-b^2=(a+b)(a-b))\end{aligned}$
该结果与乙同学的结果一致，故乙的结果正确。
进一步验证两个结果的等价性：甲的结果$-x(x+1)(x-1)=-x(x+1)×[-(1-x)]=x(x+1)(1-x)$，和乙的结果完全相等，且两个结果都已经分解到不能再分解的整式乘积形式，因此甲乙的结果都正确。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；因式分解的判定
【点评】
本题考查因式分解的正误判断，需注意提取公因式时选择的公因式符号不同，最终分解结果的表达形式会有差异，只要结果满足与原式恒等、分解彻底的要求，就是正确的，不要仅因形式不同误判错误。
【难度系数】
0.8
4. 下列各式中不是多项式$a^2b - 4b$的因式的是（
A.$b$
B.$a+2$
C.$a-2$
D.$a-4$
D
）A.$b$
B.$a+2$
C.$a-2$
D.$a-4$
答案
4.D
解析
【分析】
要判断哪个选项不是多项式$a^2b - 4b$的因式，解题思路是先对该多项式进行完整的因式分解，因式分解遵循“先提公因式，再用公式法”的顺序，分解完成后得到所有因式，再和选项逐一对比，即可找出不属于因式的选项。
【解析】
对多项式$a^2b - 4b$因式分解：
1. 提取公因式：观察发现两项都含有公因式$b$，提取$b$后得：
$a^2b - 4b = b(a^2 - 4)$
2. 用平方差公式继续分解：括号内的$a^2 - 4$符合平方差形式$a^2 - 2^2$，根据平方差公式$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，可得：
$a^2 - 4 = (a+2)(a-2)$
3. 综上，原多项式因式分解的最终结果为：
$a^2b - 4b = b(a+2)(a-2)$
因此该多项式的因式有$b$、$a+2$、$a-2$，$a-4$不是它的因式，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，因式的概念
【点评】
本题是因式分解的基础应用类题目，核心考查因式分解的常规步骤，只要掌握先提公因式、再套用合适公式的分解顺序，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项不是多项式$a^2b - 4b$的因式，解题思路是先对该多项式进行完整的因式分解，因式分解遵循“先提公因式，再用公式法”的顺序，分解完成后得到所有因式，再和选项逐一对比，即可找出不属于因式的选项。
【解析】
对多项式$a^2b - 4b$因式分解：
1. 提取公因式：观察发现两项都含有公因式$b$，提取$b$后得：
$a^2b - 4b = b(a^2 - 4)$
2. 用平方差公式继续分解：括号内的$a^2 - 4$符合平方差形式$a^2 - 2^2$，根据平方差公式$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，可得：
$a^2 - 4 = (a+2)(a-2)$
3. 综上，原多项式因式分解的最终结果为：
$a^2b - 4b = b(a+2)(a-2)$
因此该多项式的因式有$b$、$a+2$、$a-2$，$a-4$不是它的因式，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，因式的概念
【点评】
本题是因式分解的基础应用类题目，核心考查因式分解的常规步骤，只要掌握先提公因式、再套用合适公式的分解顺序，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 计算 $200 × 51^2 - 200 × 49^2$ 的结果是
40 000
。答案
5.40 000
解析
【分析】
观察待计算的式子，两项都含有公共因数200，可先提取公因式简化式子；提取公因式后剩余部分为$51^2-49^2$，恰好符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，利用平方差公式因式分解后再计算，可避免直接计算大数平方，大幅降低计算难度，最后按顺序计算得到结果即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}200 × 51^2 - 200 × 49^2&=200×(51^2 - 49^2)\\&=200×(51+49)×(51-49)\\&=200×100×2\\&=40000\end{aligned}$
【答案】
40000
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题是因式分解用于简便运算的典型题型，通过先提公因式、再套用公式的方式化简计算，能有效减少计算量，降低出错概率，需要熟练掌握提公因式和乘法公式的灵活运用。
【难度系数】
0.8
观察待计算的式子，两项都含有公共因数200，可先提取公因式简化式子；提取公因式后剩余部分为$51^2-49^2$，恰好符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，利用平方差公式因式分解后再计算，可避免直接计算大数平方，大幅降低计算难度，最后按顺序计算得到结果即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}200 × 51^2 - 200 × 49^2&=200×(51^2 - 49^2)\\&=200×(51+49)×(51-49)\\&=200×100×2\\&=40000\end{aligned}$
【答案】
40000
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题是因式分解用于简便运算的典型题型，通过先提公因式、再套用公式的方式化简计算，能有效减少计算量，降低出错概率，需要熟练掌握提公因式和乘法公式的灵活运用。
【难度系数】
0.8
6. 把下列各式分解因式：
(1)$x^3 -9x$；
(2)$-3xy^3 +12xy$；
(3)$(3x+1)^2 - (x-3)^2$.
(1)$x^3 -9x$；
(2)$-3xy^3 +12xy$；
(3)$(3x+1)^2 - (x-3)^2$.
答案
(1)原式$=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)$.
(2)原式$=-3xy(y^2-4)=-3xy(y+2)(y-2)$.
(3)原式$=(3x+1+x-3)(3x+1-x+3)$
$=(4x-2)(2x+4)=4(2x-1)(x+2)$.
(2)原式$=-3xy(y^2-4)=-3xy(y+2)(y-2)$.
(3)原式$=(3x+1+x-3)(3x+1-x+3)$
$=(4x-2)(2x+4)=4(2x-1)(x+2)$.
解析
【分析】
因式分解需遵循“一提、二套、三查”的解题思路：第一步先观察多项式是否含有公因式，若有则优先提取公因式；第二步判断提取公因式后（或原式无公因式时）的式子是否符合平方差、完全平方等公式的结构，若符合则套用对应公式继续分解；第三步最终检查所有因式是否都无法再分解，保证分解彻底。
针对3个小题的具体思考路径：
(1) 先提取公因式x，剩余的$x^2-9$是典型的平方差结构，可继续用平方差公式分解；
(2) 先提取公因式$-3xy$（注意首项为负时要同步提取负号），剩余的$y^2-4$符合平方差结构，继续分解即可；
(3) 原式本身就是两个平方项作差的结构，直接把$(3x+1)$和$(x-3)$分别看作平方差公式中的a和b，套用公式展开后合并同类项，再提取公因式保证分解彻底。
【解析】
(1) 先提取公因式$x$，再对剩余部分用平方差公式分解：
原式$=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)$
(2) 先提取公因式$-3xy$，再对剩余部分用平方差公式分解：
原式$=-3xy(y^2-4)=-3xy(y+2)(y-2)$
(3) 直接套用平方差公式展开，合并同类项后提取公因式化简：
原式$=(3x+1+x-3)(3x+1-x+3)$
$=(4x-2)(2x+4)=4(2x-1)(x+2)$
【答案】
(1)$x(x-3)(x+3)$
(2)$-3xy(y+2)(y-2)$
(3)$4(2x-1)(x+2)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，重点考查因式分解基本步骤的应用，解题时注意提取公因式不要漏项、套用公式时准确对应公式结构，最后务必检查是否分解到不能再分解即可。
【难度系数】
0.8
因式分解需遵循“一提、二套、三查”的解题思路：第一步先观察多项式是否含有公因式，若有则优先提取公因式；第二步判断提取公因式后（或原式无公因式时）的式子是否符合平方差、完全平方等公式的结构，若符合则套用对应公式继续分解；第三步最终检查所有因式是否都无法再分解，保证分解彻底。
针对3个小题的具体思考路径：
(1) 先提取公因式x，剩余的$x^2-9$是典型的平方差结构，可继续用平方差公式分解；
(2) 先提取公因式$-3xy$（注意首项为负时要同步提取负号），剩余的$y^2-4$符合平方差结构，继续分解即可；
(3) 原式本身就是两个平方项作差的结构，直接把$(3x+1)$和$(x-3)$分别看作平方差公式中的a和b，套用公式展开后合并同类项，再提取公因式保证分解彻底。
【解析】
(1) 先提取公因式$x$，再对剩余部分用平方差公式分解：
原式$=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)$
(2) 先提取公因式$-3xy$，再对剩余部分用平方差公式分解：
原式$=-3xy(y^2-4)=-3xy(y+2)(y-2)$
(3) 直接套用平方差公式展开，合并同类项后提取公因式化简：
原式$=(3x+1+x-3)(3x+1-x+3)$
$=(4x-2)(2x+4)=4(2x-1)(x+2)$
【答案】
(1)$x(x-3)(x+3)$
(2)$-3xy(y+2)(y-2)$
(3)$4(2x-1)(x+2)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，重点考查因式分解基本步骤的应用，解题时注意提取公因式不要漏项、套用公式时准确对应公式结构，最后务必检查是否分解到不能再分解即可。
【难度系数】
0.8
7. 下列将多项式$3a^2 -6a +3$因式分解正确的是（
A.$3a(a-2)+3$
B.$3(a^2 -2a +1)$
C.$3(a-1)(a+1)$
D.$3(a-1)^2$
D
）A.$3a(a-2)+3$
B.$3(a^2 -2a +1)$
C.$3(a-1)(a+1)$
D.$3(a-1)^2$
答案
7.D
解析
【分析】
解决这道题首先要明确因式分解的要求：最终结果必须是几个整式乘积的形式，且要分解到不能再分解为止。解题思路分两步：第一步先观察多项式的公因式，优先提取公因式；第二步再判断提取公因式后的式子是否符合乘法公式的特征，继续分解，最后对比选项判断正误即可。
【解析】
对多项式$3a^2 -6a +3$进行因式分解：
1. 提取公因式：多项式每一项都含有公因式3，提取后可得：
$3a^2 -6a +3=3(a^2 -2a +1)$
2. 公式法继续分解：括号内的$a^2 -2a +1$符合完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，此处$m=a$，$n=1$，因此$a^2 -2a +1=(a-1)^2$。
综上，原式因式分解的最终结果为$3(a-1)^2$。
逐一排查选项：
A选项结果为和的形式，不符合因式分解是整式乘积的要求，错误；
B选项没有分解彻底，括号内的式子还可继续分解，错误；
C选项展开后为$3a^2-3$，与原式不相等，错误；
D选项符合分解结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，因式分解的原则
【点评】
本题是因式分解的基础考查题，解题时要牢记因式分解的常规步骤：先提公因式，再用对应公式分解，最终结果需满足是整式乘积、分解彻底两个要求，避免出现分解不彻底、形式不符合要求的错误。
【难度系数】
0.75
解决这道题首先要明确因式分解的要求：最终结果必须是几个整式乘积的形式，且要分解到不能再分解为止。解题思路分两步：第一步先观察多项式的公因式，优先提取公因式；第二步再判断提取公因式后的式子是否符合乘法公式的特征，继续分解，最后对比选项判断正误即可。
【解析】
对多项式$3a^2 -6a +3$进行因式分解：
1. 提取公因式：多项式每一项都含有公因式3，提取后可得：
$3a^2 -6a +3=3(a^2 -2a +1)$
2. 公式法继续分解：括号内的$a^2 -2a +1$符合完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，此处$m=a$，$n=1$，因此$a^2 -2a +1=(a-1)^2$。
综上，原式因式分解的最终结果为$3(a-1)^2$。
逐一排查选项：
A选项结果为和的形式，不符合因式分解是整式乘积的要求，错误；
B选项没有分解彻底，括号内的式子还可继续分解，错误；
C选项展开后为$3a^2-3$，与原式不相等，错误；
D选项符合分解结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，因式分解的原则
【点评】
本题是因式分解的基础考查题，解题时要牢记因式分解的常规步骤：先提公因式，再用对应公式分解，最终结果需满足是整式乘积、分解彻底两个要求，避免出现分解不彻底、形式不符合要求的错误。
【难度系数】
0.75
8.已知$ab=2$，$a+b=3$，则$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3=$
18
答案
8.18
解析
【分析】观察待求代数式的结构，每一项都含有公因式ab，因此先提取公因式ab，提取后剩余的多项式符合完全平方公式的特征，可进一步因式分解为(a+b)²的形式，即可将待求式转化为用已知条件ab和a+b表示的式子，最后代入数值计算即可，无需单独求解a、b的具体值，简化运算。
【解析】
对$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$进行因式分解：
1. 提取公因式$ab$：
$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3=ab(a^2 + 2ab + b^2)$
2. 根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，化简得：
原式$=ab(a+b)^2$
将$ab=2$，$a+b=3$代入上式计算：
$ab(a+b)^2=2×3^2=2×9=18$
【答案】
18
【知识点】
因式分解，完全平方公式，代数式求值
【点评】本题考查因式分解在代数式求值中的应用，将待求式因式分解转化为含已知条件的形式，可避免求解单个字母的值，降低运算难度，是代数式求值的常用技巧。
【难度系数】
0.7
【解析】
对$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$进行因式分解：
1. 提取公因式$ab$：
$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3=ab(a^2 + 2ab + b^2)$
2. 根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，化简得：
原式$=ab(a+b)^2$
将$ab=2$，$a+b=3$代入上式计算：
$ab(a+b)^2=2×3^2=2×9=18$
【答案】
18
【知识点】
因式分解，完全平方公式，代数式求值
【点评】本题考查因式分解在代数式求值中的应用，将待求式因式分解转化为含已知条件的形式，可避免求解单个字母的值，降低运算难度，是代数式求值的常用技巧。
【难度系数】
0.7
9.(教材习题变式)把下列各式分解因式:
(1)$-2ax^2 + 4axy - 2ay^2$；
(2)$4x^2y - 4xy^2 - x^3$。
(1)$-2ax^2 + 4axy - 2ay^2$；
(2)$4x^2y - 4xy^2 - x^3$。
答案
(1)原式$=-2a(x^2-2xy+y^2)=-2a(x-y)^2$.
(2)原式$=-x(-4xy+4y^2+x^2)=-x(x-2y)^2$.
(2)原式$=-x(-4xy+4y^2+x^2)=-x(x-2y)^2$.
解析
【分析】
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式，注意若多项式首项为负，通常将负号一同提取，使括号内首项为正；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合平方差或完全平方公式的形式，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果，确保每个因式都不能再分解。
对于(1)：先找公因式，各项都含有公因式-2a，提取后剩余的多项式是二次三项式，符合完全平方差公式的结构，可继续分解。
对于(2)：先提取公因式-x，剩余的多项式整理后符合完全平方差公式的结构，可继续分解。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$-2a$，得：
原式$=-2a(x^2-2xy+y^2)$
观察括号内的$x^2-2xy+y^2$符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，代入得：
$=-2a(x-y)^2$
(2) 第一步提取公因式$-x$，得：
原式$=-x(-4xy+4y^2+x^2)$
将括号内的式子按降幂排列为$x^2-4xy+4y^2$，符合完全平方差公式，代入得：
$=-x(x-2y)^2$
【答案】
(1)$-2a(x-y)^2$
(2)$-x(x-2y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查因式分解的基本步骤，需要注意提取公因式时负号的处理，以及提取公因式后要确认剩余多项式是否还能套用公式继续分解，保证分解彻底。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式，注意若多项式首项为负，通常将负号一同提取，使括号内首项为正；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合平方差或完全平方公式的形式，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果，确保每个因式都不能再分解。
对于(1)：先找公因式，各项都含有公因式-2a，提取后剩余的多项式是二次三项式，符合完全平方差公式的结构，可继续分解。
对于(2)：先提取公因式-x，剩余的多项式整理后符合完全平方差公式的结构，可继续分解。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$-2a$，得：
原式$=-2a(x^2-2xy+y^2)$
观察括号内的$x^2-2xy+y^2$符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，代入得：
$=-2a(x-y)^2$
(2) 第一步提取公因式$-x$，得：
原式$=-x(-4xy+4y^2+x^2)$
将括号内的式子按降幂排列为$x^2-4xy+4y^2$，符合完全平方差公式，代入得：
$=-x(x-2y)^2$
【答案】
(1)$-2a(x-y)^2$
(2)$-x(x-2y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查因式分解的基本步骤，需要注意提取公因式时负号的处理，以及提取公因式后要确认剩余多项式是否还能套用公式继续分解，保证分解彻底。
【难度系数】
0.8
10. 利用因式分解进行简算：
$40× 3.5^2 + 80× 3.5× 1.5 + 40× 1.5^2.$
$40× 3.5^2 + 80× 3.5× 1.5 + 40× 1.5^2.$
答案
原式$=40×(3.5^2+2×3.5×1.5+1.5^2)$
$=40×(3.5+1.5)^2=40×25=1 000$.
$=40×(3.5+1.5)^2=40×25=1 000$.
解析
【分析】
首先观察算式结构，发现每一项都含有公因数40，因此第一步先提取公因式40；提取后括号内的式子为$3.5^2 + 2×3.5×1.5 + 1.5^2$，恰好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，因此可以利用完全平方公式对括号内的部分因式分解，最后再进行有理数计算，即可快速得到结果，避免直接计算乘方、乘法的繁琐步骤。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&\;\;\;\;\;40× 3.5^2 + 80× 3.5× 1.5 + 40× 1.5^2\\&=40×(3.5^2 + 2×3.5×1.5 + 1.5^2)\\&=40×(3.5 + 1.5)^2\\&=40×5^2\\&=40×25\\&=1000\end{aligned}$
【答案】
$1000$
【知识点】
提取公因式，完全平方公式，因式分解简算
【点评】
本题考查因式分解在简便运算中的应用，解题时需先观察式子的结构特征，优先提取公因式，再结合乘法公式完成因式分解，可大幅降低计算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
首先观察算式结构，发现每一项都含有公因数40，因此第一步先提取公因式40；提取后括号内的式子为$3.5^2 + 2×3.5×1.5 + 1.5^2$，恰好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，因此可以利用完全平方公式对括号内的部分因式分解，最后再进行有理数计算，即可快速得到结果，避免直接计算乘方、乘法的繁琐步骤。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&\;\;\;\;\;40× 3.5^2 + 80× 3.5× 1.5 + 40× 1.5^2\\&=40×(3.5^2 + 2×3.5×1.5 + 1.5^2)\\&=40×(3.5 + 1.5)^2\\&=40×5^2\\&=40×25\\&=1000\end{aligned}$
【答案】
$1000$
【知识点】
提取公因式，完全平方公式，因式分解简算
【点评】
本题考查因式分解在简便运算中的应用，解题时需先观察式子的结构特征，优先提取公因式，再结合乘法公式完成因式分解，可大幅降低计算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
