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11.[数学文化]小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：$x-y$，$a-b$，$2$，$x^2-y^2$，$a$，$x+y$，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)$因式分解，结果呈现的密码信息可能是（
A.爱我中华
B.我游中华
C.中华美
D.我爱游
A
）A.爱我中华
B.我游中华
C.中华美
D.我爱游
答案
11.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要对给定的多项式进行因式分解，因式分解要遵循“先提公因式，再用公式，分解到不能再分解为止”的原则，得到所有的因式后，将每个因式对应到题目给出的汉字，最后组合汉字匹配选项即可。
【解析】
第一步：提取公因式
观察多项式$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)$，两项都含有公因式$2(x^2-y^2)$，提取后得：
$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)=2(x^2-y^2)(a-b)$
第二步：用平方差公式继续分解
$x^2-y^2$符合平方差公式的形式，分解为$(x+y)(x-y)$，因此原式最终分解为：
$2(x+y)(x-y)(a-b)$
第三步：对应汉字匹配选项
根据题目给出的对应关系：$2$对应“爱”，$a-b$对应“我”，$x+y$对应“中”，$x-y$对应“华”，四个因式对应的汉字组合为“爱我中华”，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式；因式分解的应用
【点评】
本题结合密码文化考查因式分解的实际应用，趣味性较强，核心是熟练掌握因式分解的基本步骤，准确分解得到所有因式后对应文字即可求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要对给定的多项式进行因式分解，因式分解要遵循“先提公因式，再用公式，分解到不能再分解为止”的原则，得到所有的因式后，将每个因式对应到题目给出的汉字，最后组合汉字匹配选项即可。
【解析】
第一步：提取公因式
观察多项式$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)$，两项都含有公因式$2(x^2-y^2)$，提取后得：
$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)=2(x^2-y^2)(a-b)$
第二步：用平方差公式继续分解
$x^2-y^2$符合平方差公式的形式，分解为$(x+y)(x-y)$，因此原式最终分解为：
$2(x+y)(x-y)(a-b)$
第三步：对应汉字匹配选项
根据题目给出的对应关系：$2$对应“爱”，$a-b$对应“我”，$x+y$对应“中”，$x-y$对应“华”，四个因式对应的汉字组合为“爱我中华”，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式；因式分解的应用
【点评】
本题结合密码文化考查因式分解的实际应用，趣味性较强，核心是熟练掌握因式分解的基本步骤，准确分解得到所有因式后对应文字即可求解。
【难度系数】
0.7
12. 对于任意整数$n$，多项式$(4n+5)^2 -9$都能
（
A.被6整除
B.被7整除
C.被8整除
D.被6或8整除
（
C
）A.被6整除
B.被7整除
C.被8整除
D.被6或8整除
答案
12.C
解析
【分析】
要判断多项式能被哪个数整除，核心思路是先将多项式因式分解，再分析分解后因式的整数特征。观察式子$(4n+5)^2 -9$，9是$3^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的结构，因此先用平方差公式分解因式，再化简每个因式，最终判断乘积的公共因数即可。
【解析】
首先利用平方差公式对多项式因式分解：
$\begin{aligned}(4n+5)^2 -9&=(4n+5)^2 - 3^2\\&=(4n+5-3)(4n+5+3)\\&=(4n+2)(4n+8)\end{aligned}$
再对两个因式分别提取公因数：
$4n+2=2(2n+1)$，$4n+8=4(n+2)$
因此原式可化为：
$2(2n+1) × 4(n+2) = 8(2n+1)(n+2)$
因为$n$是整数，所以$(2n+1)$和$(n+2)$均为整数，即整个多项式是8的整数倍，因此该多项式一定能被8整除。
验证其他选项：当$n=0$时，原式$=25-9=16$，16不能被6、7整除，排除A、B、D。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解、整除的性质
【点评】
本题是因式分解的典型应用类题目，解题的关键是识别出式子的平方差结构，通过因式分解将多项式转化为几个整式乘积的形式，再结合整数的性质判断整除性即可。
【难度系数】
0.7
要判断多项式能被哪个数整除，核心思路是先将多项式因式分解，再分析分解后因式的整数特征。观察式子$(4n+5)^2 -9$，9是$3^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的结构，因此先用平方差公式分解因式，再化简每个因式，最终判断乘积的公共因数即可。
【解析】
首先利用平方差公式对多项式因式分解：
$\begin{aligned}(4n+5)^2 -9&=(4n+5)^2 - 3^2\\&=(4n+5-3)(4n+5+3)\\&=(4n+2)(4n+8)\end{aligned}$
再对两个因式分别提取公因数：
$4n+2=2(2n+1)$，$4n+8=4(n+2)$
因此原式可化为：
$2(2n+1) × 4(n+2) = 8(2n+1)(n+2)$
因为$n$是整数，所以$(2n+1)$和$(n+2)$均为整数，即整个多项式是8的整数倍，因此该多项式一定能被8整除。
验证其他选项：当$n=0$时，原式$=25-9=16$，16不能被6、7整除，排除A、B、D。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解、整除的性质
【点评】
本题是因式分解的典型应用类题目，解题的关键是识别出式子的平方差结构，通过因式分解将多项式转化为几个整式乘积的形式，再结合整数的性质判断整除性即可。
【难度系数】
0.7
13.已知$n$为正整数，某学习小组在用代入法求代数式$n^3 - n$的值时，出现四个答案，请问以下答案可能正确的是（
A.1 713
B.1 714
C.1 715
D.1 716
D
）A.1 713
B.1 714
C.1 715
D.1 716
答案
13.D
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先对代数式因式分解，分析其取值的整除特性，再利用整除特性排除错误选项。首先对$n^3-n$进行因式分解，可得到三个连续正整数的乘积，根据连续正整数的性质，三个连续正整数的乘积一定是6的倍数，因此只需判断四个选项中哪个是6的倍数，即可得到正确答案。
【解析】
第一步：对代数式因式分解
$\begin{aligned}n^3 - n &= n(n^2 - 1) \\&= n(n-1)(n+1) \\&= (n-1)n(n+1)\end{aligned}$
第二步：分析乘积的性质
因为$n$是正整数，所以$(n-1)$、$n$、$(n+1)$是三个连续的正整数：
① 三个连续整数中必有1个偶数，因此乘积能被2整除；
② 三个连续整数中必有1个是3的倍数，因此乘积能被3整除；
综上，$(n-1)n(n+1)$能同时被2和3整除，即能被6整除。
第三步：结合选项判断
能被2整除的数是偶数，先排除奇数选项A（1713）、C（1715）；
能被3整除的数各位数字之和是3的倍数：
选项B：$1+7+1+4=13$，13不是3的倍数，故1714不能被3整除，排除；
选项D：$1+7+1+6=15$，15是3的倍数，故1716能同时被2和3整除，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的应用；2、3的整除特征；连续整数的性质
【点评】
本题无需计算$n$的具体取值，通过因式分解将代数式转化为三个连续整数的乘积，结合数的整除特征即可快速排除错误选项，是因式分解简化代数问题的典型应用。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是先对代数式因式分解，分析其取值的整除特性，再利用整除特性排除错误选项。首先对$n^3-n$进行因式分解，可得到三个连续正整数的乘积，根据连续正整数的性质，三个连续正整数的乘积一定是6的倍数，因此只需判断四个选项中哪个是6的倍数，即可得到正确答案。
【解析】
第一步：对代数式因式分解
$\begin{aligned}n^3 - n &= n(n^2 - 1) \\&= n(n-1)(n+1) \\&= (n-1)n(n+1)\end{aligned}$
第二步：分析乘积的性质
因为$n$是正整数，所以$(n-1)$、$n$、$(n+1)$是三个连续的正整数：
① 三个连续整数中必有1个偶数，因此乘积能被2整除；
② 三个连续整数中必有1个是3的倍数，因此乘积能被3整除；
综上，$(n-1)n(n+1)$能同时被2和3整除，即能被6整除。
第三步：结合选项判断
能被2整除的数是偶数，先排除奇数选项A（1713）、C（1715）；
能被3整除的数各位数字之和是3的倍数：
选项B：$1+7+1+4=13$，13不是3的倍数，故1714不能被3整除，排除；
选项D：$1+7+1+6=15$，15是3的倍数，故1716能同时被2和3整除，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的应用；2、3的整除特征；连续整数的性质
【点评】
本题无需计算$n$的具体取值，通过因式分解将代数式转化为三个连续整数的乘积，结合数的整除特征即可快速排除错误选项，是因式分解简化代数问题的典型应用。
【难度系数】
0.7
14.已知$xy=8$，$x-y=2$，求代数式$\frac{1}{2}x^3y - x^2y^2 + \frac{1}{2}xy^3$的值。
答案
解:$\because xy=8,x-y=2$,
$\therefore$原式$=\frac{1}{2}xy(x^2-2xy+y^2)=\frac{1}{2}xy(x-y)^2$
$=\frac{1}{2}×8×2^2=16$.
$\therefore$原式$=\frac{1}{2}xy(x^2-2xy+y^2)=\frac{1}{2}xy(x-y)^2$
$=\frac{1}{2}×8×2^2=16$.
解析
【分析】
求解本题时，若先通过已知条件计算x、y的具体值再代入代数式，运算过程较繁琐。我们可以先观察待求代数式的结构特征：代数式每一项都含有公因式$\frac{1}{2}xy$，因此第一步先提取公因式，提取后剩余的多项式为$x^2-2xy+y^2$，恰好符合完全平方差公式的结构，可分解为$(x-y)^2$，此时待求式就转化为仅含已知条件$xy$和$x-y$的形式，直接整体代入数值计算即可简化运算。
【解析】
$\because xy=8$，$x-y=2$，
$\therefore$原式$=\frac{1}{2}xy(x^2-2xy+y^2)$
$=\frac{1}{2}xy(x-y)^2$
$=\frac{1}{2}×8×2^2$
$=4×4=16$
【答案】
16
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题重点考查因式分解在代数式求值中的应用，解题时要先观察待求式的结构，优先将其转化为含已知条件的整体形式，可有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
求解本题时，若先通过已知条件计算x、y的具体值再代入代数式，运算过程较繁琐。我们可以先观察待求代数式的结构特征：代数式每一项都含有公因式$\frac{1}{2}xy$，因此第一步先提取公因式，提取后剩余的多项式为$x^2-2xy+y^2$，恰好符合完全平方差公式的结构，可分解为$(x-y)^2$，此时待求式就转化为仅含已知条件$xy$和$x-y$的形式，直接整体代入数值计算即可简化运算。
【解析】
$\because xy=8$，$x-y=2$，
$\therefore$原式$=\frac{1}{2}xy(x^2-2xy+y^2)$
$=\frac{1}{2}xy(x-y)^2$
$=\frac{1}{2}×8×2^2$
$=4×4=16$
【答案】
16
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题重点考查因式分解在代数式求值中的应用，解题时要先观察待求式的结构，优先将其转化为含已知条件的整体形式，可有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
15.已知$2^{32} -1$可以被10到20之间的两个整数整除，求这两个整数.
答案
解:原式$=(2^{16}+1)(2^{16}-1)$
$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1)$
$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)$
$=(2^{16}+1)×(2^8+1)×17×15$,
$\therefore$这两个整数为17和15.
$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1)$
$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)$
$=(2^{16}+1)×(2^8+1)×17×15$,
$\therefore$这两个整数为17和15.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确若一个数能被某两个整数整除，则这两个整数是该数的因数。观察式子$2^{32}-1$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此可多次运用平方差公式对原式因式分解，直到分解出10到20之间的整数因数即可。
【解析】
利用平方差公式逐步因式分解：
原式$=(2^{16}+1)(2^{16}-1)$
对$2^{16}-1$继续用平方差公式分解：
$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1)$
对$2^8-1$继续用平方差公式分解：
$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)$
计算得$2^4=16$，因此$2^4+1=17$，$2^4-1=15$，二者均在10到20之间，即：
$=(2^{16}+1)×(2^8+1)×17×15$
因此$2^{32}-1$可以被15和17整除。
【答案】
15和17
【知识点】
平方差公式，因式分解，整除判定
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，通过多次运用公式将高次多项式拆分为多个因式的乘积，再根据题目要求的范围筛选出对应因数即可。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确若一个数能被某两个整数整除，则这两个整数是该数的因数。观察式子$2^{32}-1$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此可多次运用平方差公式对原式因式分解，直到分解出10到20之间的整数因数即可。
【解析】
利用平方差公式逐步因式分解：
原式$=(2^{16}+1)(2^{16}-1)$
对$2^{16}-1$继续用平方差公式分解：
$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1)$
对$2^8-1$继续用平方差公式分解：
$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)$
计算得$2^4=16$，因此$2^4+1=17$，$2^4-1=15$，二者均在10到20之间，即：
$=(2^{16}+1)×(2^8+1)×17×15$
因此$2^{32}-1$可以被15和17整除。
【答案】
15和17
【知识点】
平方差公式，因式分解，整除判定
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，通过多次运用公式将高次多项式拆分为多个因式的乘积，再根据题目要求的范围筛选出对应因数即可。
【难度系数】
0.7
16. 对于多项式$x^3 -5x^2 +x +10$，我们把$x=2$代入此多项式，发现$x=2$能使多项式$x^3 -5x^2 +x +10$的值为0，由此可以断定多项式$x^3 -5x^2 +x +10$中有因式$(x-2)$[注：把$x=a$代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式$(x-a)$]，于是我们可以把多项式写成：$x^3 -5x^2 +x +10=(x-2)(x^2 +mx +n)$，分别求出$m,n$后再代入$x^3 -5x^2 +x +10=(x-2)(x^2 +mx +n)$，就可以把多项式$x^3 -5x^2 +x +10$因式分解。
(1)求式子中$m,n$的值；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式$x^3 +5x^2 +8x +4$。
(1)求式子中$m,n$的值；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式$x^3 +5x^2 +8x +4$。
答案
解:(1)在等式$x^3 -5x^2 +x +10=(x-2)(x^2 +mx +n)$中，分别令$x=0,x=1$，即可求出$m=-3,n=-5$.
(2)解法一:把$x=-1$代入$x^3 +5x^2 +8x +4$,得其值为0，则多项式可分解为$(x+1)(x^2 +ax +b)$的形式，用上述方法可求得$a=4,b=4$，所以$x^3 +5x^2 +8x +4=(x+1)(x^2 +4x +4)=(x+1)(x+2)^2$.
解法二:把$x=-2$代入$x^3 +5x^2 +8x +4$,得其值为0，则多项式可分解为$(x+2)(x^2 +ax +b)$的形式，用上述方法可求得$a=3,b=2$，所以$x^3 +5x^2 +8x +4=(x+2)(x^2 +3x +2)=(x+1)(x+2)^2$.
(2)解法一:把$x=-1$代入$x^3 +5x^2 +8x +4$,得其值为0，则多项式可分解为$(x+1)(x^2 +ax +b)$的形式，用上述方法可求得$a=4,b=4$，所以$x^3 +5x^2 +8x +4=(x+1)(x^2 +4x +4)=(x+1)(x+2)^2$.
解法二:把$x=-2$代入$x^3 +5x^2 +8x +4$,得其值为0，则多项式可分解为$(x+2)(x^2 +ax +b)$的形式，用上述方法可求得$a=3,b=2$，所以$x^3 +5x^2 +8x +4=(x+2)(x^2 +3x +2)=(x+1)(x+2)^2$.
解析
【分析】
(1) 求m、n的思路：已知等式$x^3 -5x^2 +x +10=(x-2)(x^2 +mx +n)$对任意x都成立，可通过两种方法求解：一是将右边多项式乘法展开，根据等式左右同类项系数相等列方程求解；二是给x代入特殊值，得到关于m、n的方程后解方程即可。
(2) 用试根法分解多项式的思路：首先试取常数项的整数因数代入多项式，找到能使多项式值为0的$x=a$，确定多项式含有因式$(x-a)$；再将多项式写成$(x-a)$与二次三项式的乘积形式，用相同方法求出二次三项式的系数，最后将二次三项式分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 用赋值法求解：
因为等式对任意x均成立，
令$x=0$，左边$=0-0+0+10=10$，右边$=(0-2)(0+0+n)=-2n$，可得$10=-2n$，解得$n=-5$；
令$x=1$，左边$=1-5+1+10=7$，右边$=(1-2)(1+m+n)=-(1+m-5)=4-m$，可得$7=4-m$，解得$m=-3$。
也可通过展开右侧多项式，对应同类项系数求解，结果一致。
(2) 第一步试根：多项式$x^3 +5x^2 +8x +4$的常数项为4，可能的整数根为$\pm1、\pm2、\pm4$。
将$x=-1$代入多项式：$(-1)^3+5×(-1)^2+8×(-1)+4=-1+5-8+4=0$，因此多项式含有因式$(x+1)$。
设$x^3 +5x^2 +8x +4=(x+1)(x^2+ax+b)$，展开右侧得：
$x^3+ax^2+bx+x^2+ax+b=x^3+(a+1)x^2+(a+b)x+b$
对应同类项系数相等：$a+1=5$，解得$a=4$；$b=4$。
二次三项式$x^2+4x+4$用完全平方公式分解得$(x+2)^2$，因此原式分解结果为$(x+1)(x+2)^2$。若选择$x=-2$作为试根，最终结果一致。
【答案】
(1) $m=-3$，$n=-5$
(2) $x^3 +5x^2 +8x +4=(x+1)(x+2)^2$
【知识点】
1. 多项式恒等性质
2. 试根法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的拓展题型，核心是理解试根法的原理，会利用多项式恒等的性质求未知系数，需要注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止，是提升因式分解能力的典型练习题。
【难度系数】
0.6
(1) 求m、n的思路：已知等式$x^3 -5x^2 +x +10=(x-2)(x^2 +mx +n)$对任意x都成立，可通过两种方法求解：一是将右边多项式乘法展开，根据等式左右同类项系数相等列方程求解；二是给x代入特殊值，得到关于m、n的方程后解方程即可。
(2) 用试根法分解多项式的思路：首先试取常数项的整数因数代入多项式，找到能使多项式值为0的$x=a$，确定多项式含有因式$(x-a)$；再将多项式写成$(x-a)$与二次三项式的乘积形式，用相同方法求出二次三项式的系数，最后将二次三项式分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 用赋值法求解：
因为等式对任意x均成立，
令$x=0$，左边$=0-0+0+10=10$，右边$=(0-2)(0+0+n)=-2n$，可得$10=-2n$，解得$n=-5$；
令$x=1$，左边$=1-5+1+10=7$，右边$=(1-2)(1+m+n)=-(1+m-5)=4-m$，可得$7=4-m$，解得$m=-3$。
也可通过展开右侧多项式，对应同类项系数求解，结果一致。
(2) 第一步试根：多项式$x^3 +5x^2 +8x +4$的常数项为4，可能的整数根为$\pm1、\pm2、\pm4$。
将$x=-1$代入多项式：$(-1)^3+5×(-1)^2+8×(-1)+4=-1+5-8+4=0$，因此多项式含有因式$(x+1)$。
设$x^3 +5x^2 +8x +4=(x+1)(x^2+ax+b)$，展开右侧得：
$x^3+ax^2+bx+x^2+ax+b=x^3+(a+1)x^2+(a+b)x+b$
对应同类项系数相等：$a+1=5$，解得$a=4$；$b=4$。
二次三项式$x^2+4x+4$用完全平方公式分解得$(x+2)^2$，因此原式分解结果为$(x+1)(x+2)^2$。若选择$x=-2$作为试根，最终结果一致。
【答案】
(1) $m=-3$，$n=-5$
(2) $x^3 +5x^2 +8x +4=(x+1)(x+2)^2$
【知识点】
1. 多项式恒等性质
2. 试根法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的拓展题型，核心是理解试根法的原理，会利用多项式恒等的性质求未知系数，需要注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止，是提升因式分解能力的典型练习题。
【难度系数】
0.6
