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1. 因式分解：
(1) $n^2m - 2nm$；
(2) $2x(a - b) + 3y(b - a)$；
(3) $x(x^2 - xy) - (4x^2 - 4xy)$。
(1) $n^2m - 2nm$；
(2) $2x(a - b) + 3y(b - a)$；
(3) $x(x^2 - xy) - (4x^2 - 4xy)$。
答案
(1) 原式$=mn(n-2)$.
(2) 原式$=2x(a-b)-3y(a-b)$
$=(a-b)(2x-3y)$.
(3) 原式$=x^2(x-y)-4x(x-y)$
$=x(x-y)(x-4)$.
(2) 原式$=2x(a-b)-3y(a-b)$
$=(a-b)(2x-3y)$.
(3) 原式$=x^2(x-y)-4x(x-y)$
$=x(x-y)(x-4)$.
解析
【分析】
这三道因式分解题均考查提公因式法的应用，解题思路如下：1. 先观察式子各项特征，确定公因式，若存在互为相反数的因式，先通过符号变形统一为公因式的形式；2. 提取公因式，将式子化为几个整式乘积的形式即可。具体各小题思考方向：(1) 观察两项可知公因式为mn，直接提取即可；(2) 式中(a-b)和(b-a)互为相反数，先将(b-a)转化为-(a-b)，再提取公因式(a-b)；(3) 先对原式两部分分别化简提公因式，得到相同的因式(x-y)后，再提取整体的公因式即可。
【解析】
(1) 提取公因式$mn$：
原式$=mn· n - mn·2 = mn(n-2)$
(2) 先将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，统一公因式：
原式$=2x(a-b) + 3y·[-(a-b)] = 2x(a-b) - 3y(a-b)$
提取公因式$(a-b)$：
$=(a-b)(2x-3y)$
(3) 先分别化简两部分，提取各自的公因式：
原式$=x· x(x-y) - 4x(x-y) = x^2(x-y) - 4x(x-y)$
提取公因式$x(x-y)$：
$=x(x-y)(x-4)$
【答案】
(1) $mn(n-2)$；(2) $(a-b)(2x-3y)$；(3) $x(x-y)(x-4)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定、符号恒等变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确识别公因式，遇到互为相反数的因式时要先统一形式，注意变形过程中符号不要出错，熟练掌握后可快速求解。
【难度系数】
0.8
这三道因式分解题均考查提公因式法的应用，解题思路如下：1. 先观察式子各项特征，确定公因式，若存在互为相反数的因式，先通过符号变形统一为公因式的形式；2. 提取公因式，将式子化为几个整式乘积的形式即可。具体各小题思考方向：(1) 观察两项可知公因式为mn，直接提取即可；(2) 式中(a-b)和(b-a)互为相反数，先将(b-a)转化为-(a-b)，再提取公因式(a-b)；(3) 先对原式两部分分别化简提公因式，得到相同的因式(x-y)后，再提取整体的公因式即可。
【解析】
(1) 提取公因式$mn$：
原式$=mn· n - mn·2 = mn(n-2)$
(2) 先将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，统一公因式：
原式$=2x(a-b) + 3y·[-(a-b)] = 2x(a-b) - 3y(a-b)$
提取公因式$(a-b)$：
$=(a-b)(2x-3y)$
(3) 先分别化简两部分，提取各自的公因式：
原式$=x· x(x-y) - 4x(x-y) = x^2(x-y) - 4x(x-y)$
提取公因式$x(x-y)$：
$=x(x-y)(x-4)$
【答案】
(1) $mn(n-2)$；(2) $(a-b)(2x-3y)$；(3) $x(x-y)(x-4)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定、符号恒等变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确识别公因式，遇到互为相反数的因式时要先统一形式，注意变形过程中符号不要出错，熟练掌握后可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 因式分解：
(1) $16a^2 - 1$；
(2) $m^2 - (2m + 3)^2$；
(3) $4(m + n)^2 - (m - n)^2$；
(4) $x^4 - 16y^4$。
(1) $16a^2 - 1$；
(2) $m^2 - (2m + 3)^2$；
(3) $4(m + n)^2 - (m - n)^2$；
(4) $x^4 - 16y^4$。
答案
(1) 原式$=(4a+1)(4a-1)$.
(2) 原式$=(m+2m+3)(m-2m-3)$
$=(3m+3)(-m-3)$
$=-3(m+1)(m+3)$.
(3) 原式$=[2(m+n)]^2-(m-n)^2$
$=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)$
$=(3m+n)(m+3n)$.
(4) 原式$=(x^2+4y^2)(x^2-4y^2)$
$=(x^2+4y^2)(x+2y)(x-2y)$.
(2) 原式$=(m+2m+3)(m-2m-3)$
$=(3m+3)(-m-3)$
$=-3(m+1)(m+3)$.
(3) 原式$=[2(m+n)]^2-(m-n)^2$
$=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)$
$=(3m+n)(m+3n)$.
(4) 原式$=(x^2+4y^2)(x^2-4y^2)$
$=(x^2+4y^2)(x+2y)(x-2y)$.
解析
【分析】
这4道因式分解题均适用平方差公式求解，解题思路为：首先判断式子是否符合“两个整式的平方相减”的结构，不符合的先变形为$a^2-b^2$的形式；再准确确定对应的$a$和$b$，套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$展开；最后检查展开后的结果，有公因式的提取公因式，还能继续分解的要继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 观察式子可得$16a^2=(4a)^2$，$1=1^2$，直接套用平方差公式：
原式$=(4a)^2 - 1^2=(4a+1)(4a-1)$
(2) 将$m$看作$a$，$(2m+3)$看作$b$，套用平方差公式：
原式$=[m+(2m+3)][m-(2m+3)]$
去括号合并同类项得：$=(3m+3)(-m-3)$
分别提取公因式3和-1得：$=-3(m+1)(m+3)$
(3) 先将$4(m+n)^2$变形为$[2(m+n)]^2$，把$2(m+n)$看作$a$，$(m-n)$看作$b$，套用公式：
原式$=[2(m+n)]^2 - (m-n)^2$
$=[2(m+n)+(m-n)][2(m+n)-(m-n)]$
去括号合并同类项得：$=(3m+n)(m+3n)$
(4) 先将$x^4$变形为$(x^2)^2$，$16y^4$变形为$(4y^2)^2$，第一次套用平方差公式：
原式$=(x^2)^2 - (4y^2)^2=(x^2+4y^2)(x^2-4y^2)$
观察得$x^2-4y^2$还可继续用平方差公式分解：
$=(x^2+4y^2)(x+2y)(x-2y)$
【答案】
(1) $(4a+1)(4a-1)$
(2) $-3(m+1)(m+3)$
(3) $(3m+n)(m+3n)$
(4) $(x^2+4y^2)(x+2y)(x-2y)$
【知识点】
平方差公式、提公因式法、因式分解
【点评】
这组题目是平方差公式在因式分解中的典型应用，解题核心是准确识别平方差的结构特征，找准公式中对应的两个整式，分解后要注意检查结果，确保每个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的问题。
【难度系数】
0.8
这4道因式分解题均适用平方差公式求解，解题思路为：首先判断式子是否符合“两个整式的平方相减”的结构，不符合的先变形为$a^2-b^2$的形式；再准确确定对应的$a$和$b$，套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$展开；最后检查展开后的结果，有公因式的提取公因式，还能继续分解的要继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 观察式子可得$16a^2=(4a)^2$，$1=1^2$，直接套用平方差公式：
原式$=(4a)^2 - 1^2=(4a+1)(4a-1)$
(2) 将$m$看作$a$，$(2m+3)$看作$b$，套用平方差公式：
原式$=[m+(2m+3)][m-(2m+3)]$
去括号合并同类项得：$=(3m+3)(-m-3)$
分别提取公因式3和-1得：$=-3(m+1)(m+3)$
(3) 先将$4(m+n)^2$变形为$[2(m+n)]^2$，把$2(m+n)$看作$a$，$(m-n)$看作$b$，套用公式：
原式$=[2(m+n)]^2 - (m-n)^2$
$=[2(m+n)+(m-n)][2(m+n)-(m-n)]$
去括号合并同类项得：$=(3m+n)(m+3n)$
(4) 先将$x^4$变形为$(x^2)^2$，$16y^4$变形为$(4y^2)^2$，第一次套用平方差公式：
原式$=(x^2)^2 - (4y^2)^2=(x^2+4y^2)(x^2-4y^2)$
观察得$x^2-4y^2$还可继续用平方差公式分解：
$=(x^2+4y^2)(x+2y)(x-2y)$
【答案】
(1) $(4a+1)(4a-1)$
(2) $-3(m+1)(m+3)$
(3) $(3m+n)(m+3n)$
(4) $(x^2+4y^2)(x+2y)(x-2y)$
【知识点】
平方差公式、提公因式法、因式分解
【点评】
这组题目是平方差公式在因式分解中的典型应用，解题核心是准确识别平方差的结构特征，找准公式中对应的两个整式，分解后要注意检查结果，确保每个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的问题。
【难度系数】
0.8
3. 因式分解：
(1)$x^2 + 14x + 49$;
(2)$\frac{1}{2}x^2 + 2xy + 2y^2$;
(3)$(x - 1)(x + 3) + 4$;
(4)$(a^2 + 1)^2 - 4a^2$.
(1)$x^2 + 14x + 49$;
(2)$\frac{1}{2}x^2 + 2xy + 2y^2$;
(3)$(x - 1)(x + 3) + 4$;
(4)$(a^2 + 1)^2 - 4a^2$.
答案
(1) 原式$=(x+7)^2$.
(2) 原式$=\frac{1}{2}(x^2+4xy+4y^2)=\frac{1}{2}(x+2y)^2$.
(3) 原式$=x^2+3x-x-3+4=x^2+2x+1$
$=(x+1)^2$.
(4) 原式$=(a^2+1+2a)(a^2+1-2a)$
$=(a+1)^2(a-1)^2$.
(2) 原式$=\frac{1}{2}(x^2+4xy+4y^2)=\frac{1}{2}(x+2y)^2$.
(3) 原式$=x^2+3x-x-3+4=x^2+2x+1$
$=(x+1)^2$.
(4) 原式$=(a^2+1+2a)(a^2+1-2a)$
$=(a+1)^2(a-1)^2$.
解析
【分析】
因式分解的核心思路是先观察式子特征，优先提取公因式，再判断剩余部分是否符合乘法公式（完全平方公式、平方差公式）的结构；若原式含有多项式乘积项，先展开合并同类项整理为标准多项式形式，再逐步分解，最终要分解到不能再分解为止。
(1) 观察到原式为三项式，首项是x的平方，末项是7的平方，中间项是x和7乘积的2倍，直接套用完全平方和公式即可；
(2) 各项含有公因式$\frac{1}{2}$，先提取公因式，再判断括号内的三项式符合完全平方和公式，继续分解；
(3) 原式为两个一次式的乘积加常数，先展开合并同类项得到二次三项式，再套用完全平方和公式分解；
(4) 原式为两个平方的差，先套用平方差公式分解，得到的两个因式各自符合完全平方公式，继续分解到最简即可。
【解析】
(1) 原式符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=x$，$b=7$，因此：
原式$=(x+7)^2$
(2) 先提取公因式$\frac{1}{2}$，再对括号内的多项式用完全平方和公式分解：
原式$=\frac{1}{2}(x^2+4xy+4y^2)=\frac{1}{2}(x+2y)^2$
(3) 先展开多项式乘法，合并同类项后再用完全平方和公式分解：
原式$=x^2+3x-x-3+4=x^2+2x+1=(x+1)^2$
(4) 先用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解，再对得到的两个因式分别用完全平方公式分解：
原式$=(a^2+1+2a)(a^2+1-2a)=(a+1)^2(a-1)^2$
【答案】
(1) $(x+7)^2$
(2) $\frac{1}{2}(x+2y)^2$
(3) $(x+1)^2$
(4) $(a+1)^2(a-1)^2$
【知识点】
因式分解；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，需要熟练掌握提公因式法和公式法的适用场景，注意分解要彻底，避免出现分解到一半就停止的错误。
【难度系数】
0.7
因式分解的核心思路是先观察式子特征，优先提取公因式，再判断剩余部分是否符合乘法公式（完全平方公式、平方差公式）的结构；若原式含有多项式乘积项，先展开合并同类项整理为标准多项式形式，再逐步分解，最终要分解到不能再分解为止。
(1) 观察到原式为三项式，首项是x的平方，末项是7的平方，中间项是x和7乘积的2倍，直接套用完全平方和公式即可；
(2) 各项含有公因式$\frac{1}{2}$，先提取公因式，再判断括号内的三项式符合完全平方和公式，继续分解；
(3) 原式为两个一次式的乘积加常数，先展开合并同类项得到二次三项式，再套用完全平方和公式分解；
(4) 原式为两个平方的差，先套用平方差公式分解，得到的两个因式各自符合完全平方公式，继续分解到最简即可。
【解析】
(1) 原式符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=x$，$b=7$，因此：
原式$=(x+7)^2$
(2) 先提取公因式$\frac{1}{2}$，再对括号内的多项式用完全平方和公式分解：
原式$=\frac{1}{2}(x^2+4xy+4y^2)=\frac{1}{2}(x+2y)^2$
(3) 先展开多项式乘法，合并同类项后再用完全平方和公式分解：
原式$=x^2+3x-x-3+4=x^2+2x+1=(x+1)^2$
(4) 先用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解，再对得到的两个因式分别用完全平方公式分解：
原式$=(a^2+1+2a)(a^2+1-2a)=(a+1)^2(a-1)^2$
【答案】
(1) $(x+7)^2$
(2) $\frac{1}{2}(x+2y)^2$
(3) $(x+1)^2$
(4) $(a+1)^2(a-1)^2$
【知识点】
因式分解；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，需要熟练掌握提公因式法和公式法的适用场景，注意分解要彻底，避免出现分解到一半就停止的错误。
【难度系数】
0.7
4.［阅读理解题］阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$，得$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$。利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。
例如：将式子$x^2+3x+2$分解因式。
分析：这个式子的常数项$2=1×2$，一次项系数$3=1+2$，所以$x^2+3x+2=x^2+(1+2)x+1×2$。
解：$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$。
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)将多项式$x^2+3x-18$分解因式，结果正确的是
A.$(x-6)(x+3)$
B.$(x-9)(x+2)$
C.$(x+6)(x-3)$
D.$(x+9)(x-2)$
(2)填空：$x^2+2x-8=x^2+[\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_]x+\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)(x+\_\_\_\_\_\_)$；
(3)仿照上面的方法分解因式：
①$x^2-5x-24$；
②$3x^2-12x+9$。
整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$，得$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$。利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。
例如：将式子$x^2+3x+2$分解因式。
分析：这个式子的常数项$2=1×2$，一次项系数$3=1+2$，所以$x^2+3x+2=x^2+(1+2)x+1×2$。
解：$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$。
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)将多项式$x^2+3x-18$分解因式，结果正确的是
C
；(填字母序号)A.$(x-6)(x+3)$
B.$(x-9)(x+2)$
C.$(x+6)(x-3)$
D.$(x+9)(x-2)$
(2)填空：$x^2+2x-8=x^2+[\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_]x+\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)(x+\_\_\_\_\_\_)$；
(3)仿照上面的方法分解因式：
①$x^2-5x-24$；
②$3x^2-12x+9$。
答案
(1)C
(2)(-2) 4 (-2) 4 2 4
(3)①原式$=x^2+(3-8)x+3×(-8)$
$=(x+3)(x-8)$.
②原式$=3(x^2-4x+3)$
$=3[x^2+(-3-1)x+(-3)×(-1)]$
$=3(x-3)(x-1)$.
(2)(-2) 4 (-2) 4 2 4
(3)①原式$=x^2+(3-8)x+3×(-8)$
$=(x+3)(x-8)$.
②原式$=3(x^2-4x+3)$
$=3[x^2+(-3-1)x+(-3)×(-1)]$
$=3(x-3)(x-1)$.
解析
【分析】
本题考查十字相乘法分解因式，核心思路是利用题中给出的规律：对二次项系数为1的二次三项式$x^2+bx+c$，找到两个数$m、n$，满足$m+n=b$，$mn=c$，即可将原式分解为$(x+m)(x+n)$。解题时：(1)先找乘积为-18、和为3的两个数，匹配对应选项；(2)找乘积为-8、和为2的两个数，按要求填空；(3)①直接找符合条件的数分解；②先提取公因式3，再对剩余的二次三项式用十字相乘法分解即可。
【解析】
(1) 对$x^2+3x-18$，常数项$-18=6×(-3)$，一次项系数$3=6+(-3)$，因此$x^2+3x-18=(x+6)(x-3)$，故选C。
(2) 对$x^2+2x-8$，常数项$-8=(-2)×4$，一次项系数$2=(-2)+4$，因此$x^2+2x-8=x^2+[(-2)+4]x+(-2)×4=(x-2)(x+4)$，依次填入对应数值即可。
(3) ① 对$x^2-5x-24$，常数项$-24=3×(-8)$，一次项系数$-5=3+(-8)$，代入规律分解即可。
② 对$3x^2-12x+9$，先提取公因式3，再对剩余的$x^2-4x+3$找符合条件的数分解：常数项$3=(-3)×(-1)$，一次项系数$-4=(-3)+(-1)$，代入规律分解即可。
【答案】
(1)C
(2)$-2$；$4$；$-2$；$4$；$2$；$4$
(3)①$(x+3)(x-8)$；②$3(x-3)(x-1)$
【知识点】
提公因式法因式分解，十字相乘法因式分解
【点评】
本题为阅读理解型题目，可直接结合题干给出的因式分解规律解题，解题时注意若多项式有公因式要先提取公因式，再对剩余部分分解，分解后可通过整式乘法验证结果是否正确，避免出错。
【难度系数】
0.7
本题考查十字相乘法分解因式，核心思路是利用题中给出的规律：对二次项系数为1的二次三项式$x^2+bx+c$，找到两个数$m、n$，满足$m+n=b$，$mn=c$，即可将原式分解为$(x+m)(x+n)$。解题时：(1)先找乘积为-18、和为3的两个数，匹配对应选项；(2)找乘积为-8、和为2的两个数，按要求填空；(3)①直接找符合条件的数分解；②先提取公因式3，再对剩余的二次三项式用十字相乘法分解即可。
【解析】
(1) 对$x^2+3x-18$，常数项$-18=6×(-3)$，一次项系数$3=6+(-3)$，因此$x^2+3x-18=(x+6)(x-3)$，故选C。
(2) 对$x^2+2x-8$，常数项$-8=(-2)×4$，一次项系数$2=(-2)+4$，因此$x^2+2x-8=x^2+[(-2)+4]x+(-2)×4=(x-2)(x+4)$，依次填入对应数值即可。
(3) ① 对$x^2-5x-24$，常数项$-24=3×(-8)$，一次项系数$-5=3+(-8)$，代入规律分解即可。
② 对$3x^2-12x+9$，先提取公因式3，再对剩余的$x^2-4x+3$找符合条件的数分解：常数项$3=(-3)×(-1)$，一次项系数$-4=(-3)+(-1)$，代入规律分解即可。
【答案】
(1)C
(2)$-2$；$4$；$-2$；$4$；$2$；$4$
(3)①$(x+3)(x-8)$；②$3(x-3)(x-1)$
【知识点】
提公因式法因式分解，十字相乘法因式分解
【点评】
本题为阅读理解型题目，可直接结合题干给出的因式分解规律解题，解题时注意若多项式有公因式要先提取公因式，再对剩余部分分解，分解后可通过整式乘法验证结果是否正确，避免出错。
【难度系数】
0.7
