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5.分组分解是因式分解的一种复杂的方法,常规的分组分解有两种形式:二二分法或三一分法,例如:二二分法:$ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)$,我们把$ax$和$ay$分一组,$bx$和$by$分一组,逆用乘法分配律,两两相配,再提取公因式$(x+y)$,这种方法叫作分组后提公因式法;三一分法:$x^2-2xy+y^2-1=(x^2-2xy+y^2)-1=(x-y)^2-1^2=(x-y+1)(x-y-1)$.我们把有公式形式的分成一组,两次利用公式将该多项式分解因式,这种方法叫作分组后应用公式法.有时,我们可以综合利用这两种方法,对多项式进行因式分解.
请你利用上面所学方法将下列多项式分解因式:
(1)$2x^2-3xy+2x-3y$;
(2)$2xy-x^2-y^2+25$;
(3)$18a^2-18a-32b^2+24b$.
请你利用上面所学方法将下列多项式分解因式:
(1)$2x^2-3xy+2x-3y$;
(2)$2xy-x^2-y^2+25$;
(3)$18a^2-18a-32b^2+24b$.
答案
(1) 原式$=(2x^2+2x)+(-3xy-3y)$
$=2x(x+1)-3y(x+1)$
$=(x+1)(2x-3y)$.
(2) 原式$=(2xy-x^2-y^2)+25$
$=25-(x-y)^2$
$=(5+x-y)(5-x+y)$.
(3) 原式$=2(9a^2-16b^2-9a+12b)$
$=2[(9a^2-16b^2)-(9a-12b)]$
$=2[(3a+4b)(3a-4b)-3(3a-4b)]$
$=2(3a-4b)[(3a+4b)-3]$
$=2(3a-4b)(3a+4b-3)$.
$=2x(x+1)-3y(x+1)$
$=(x+1)(2x-3y)$.
(2) 原式$=(2xy-x^2-y^2)+25$
$=25-(x-y)^2$
$=(5+x-y)(5-x+y)$.
(3) 原式$=2(9a^2-16b^2-9a+12b)$
$=2[(9a^2-16b^2)-(9a-12b)]$
$=2[(3a+4b)(3a-4b)-3(3a-4b)]$
$=2(3a-4b)[(3a+4b)-3]$
$=2(3a-4b)(3a+4b-3)$.
解析
【分析】
解决分组分解类因式分解问题，核心是先观察多项式的项的特征，灵活选择二二分或三一分的分组方式：
1. 第(1)题是4项式，观察发现将含x的整式（$2x^2$、$2x$）分为一组，含y的整式（$-3xy$、$-3y$）分为一组，各组提取公因式后会出现相同的公因式$(x+1)$，再提取整体公因式即可；
2. 第(2)题是4项式，其中前三项$2xy-x^2-y^2$刚好符合完全平方公式的变形，因此用三一分法，将前三项分为一组凑完全平方，剩余常数25为一组，整体转化为平方差结构后再用公式分解；
3. 第(3)题先观察到所有项有公因数2，先提取公因式2，再对剩余多项式分组：将平方项$9a^2-16b^2$分为一组（可用平方差公式分解），一次项$-9a+12b$分为一组（提取公因式后会出现与前一组分解结果相同的公因式），最后再提取整体公因式即可，注意分解要彻底。
【解析】
(1) 原式$=(2x^2+2x)+(-3xy-3y)$
$=2x(x+1)-3y(x+1)$
$=(x+1)(2x-3y)$
(2) 原式$=(2xy-x^2-y^2)+25$
$=25-(x^2-2xy+y^2)$
$=25-(x-y)^2$
$=(5+x-y)(5-x+y)$
(3) 原式$=2(9a^2-16b^2-9a+12b)$
$=2[(9a^2-16b^2)-(9a-12b)]$
$=2[(3a+4b)(3a-4b)-3(3a-4b)]$
$=2(3a-4b)[(3a+4b)-3]$
$=2(3a-4b)(3a+4b-3)$
【答案】
(1) $\boxed{(x+1)(2x-3y)}$
(2) $\boxed{(5+x-y)(5-x+y)}$
(3) $\boxed{2(3a-4b)(3a+4b-3)}$
【知识点】
1. 分组分解法因式分解
2. 提公因式法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
本题需要结合多项式的结构特征合理选择分组方式，是因式分解综合应用的典型题型，解题时要注意先提取公因式，再分组分解，最终结果要保证不能再继续分解。
【难度系数】
0.7
解决分组分解类因式分解问题，核心是先观察多项式的项的特征，灵活选择二二分或三一分的分组方式：
1. 第(1)题是4项式，观察发现将含x的整式（$2x^2$、$2x$）分为一组，含y的整式（$-3xy$、$-3y$）分为一组，各组提取公因式后会出现相同的公因式$(x+1)$，再提取整体公因式即可；
2. 第(2)题是4项式，其中前三项$2xy-x^2-y^2$刚好符合完全平方公式的变形，因此用三一分法，将前三项分为一组凑完全平方，剩余常数25为一组，整体转化为平方差结构后再用公式分解；
3. 第(3)题先观察到所有项有公因数2，先提取公因式2，再对剩余多项式分组：将平方项$9a^2-16b^2$分为一组（可用平方差公式分解），一次项$-9a+12b$分为一组（提取公因式后会出现与前一组分解结果相同的公因式），最后再提取整体公因式即可，注意分解要彻底。
【解析】
(1) 原式$=(2x^2+2x)+(-3xy-3y)$
$=2x(x+1)-3y(x+1)$
$=(x+1)(2x-3y)$
(2) 原式$=(2xy-x^2-y^2)+25$
$=25-(x^2-2xy+y^2)$
$=25-(x-y)^2$
$=(5+x-y)(5-x+y)$
(3) 原式$=2(9a^2-16b^2-9a+12b)$
$=2[(9a^2-16b^2)-(9a-12b)]$
$=2[(3a+4b)(3a-4b)-3(3a-4b)]$
$=2(3a-4b)[(3a+4b)-3]$
$=2(3a-4b)(3a+4b-3)$
【答案】
(1) $\boxed{(x+1)(2x-3y)}$
(2) $\boxed{(5+x-y)(5-x+y)}$
(3) $\boxed{2(3a-4b)(3a+4b-3)}$
【知识点】
1. 分组分解法因式分解
2. 提公因式法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
本题需要结合多项式的结构特征合理选择分组方式，是因式分解综合应用的典型题型，解题时要注意先提取公因式，再分组分解，最终结果要保证不能再继续分解。
【难度系数】
0.7
6.阅读下面的问题.
分解因式:$x^2+2x-3$.
解:原式$=x^2+2x+1-1-3$
$=(x^2+2x+1)-4$
$=(x+1)^2-4$
$=(x+1+2)(x+1-2)$
$=(x+3)(x-1)$.
上述因式分解的方法称为配方法.请体会配方法的特点,用配方法分解因式:
(1)$x^2-4x+3$;
(2)$4x^2+12x-7$.
分解因式:$x^2+2x-3$.
解:原式$=x^2+2x+1-1-3$
$=(x^2+2x+1)-4$
$=(x+1)^2-4$
$=(x+1+2)(x+1-2)$
$=(x+3)(x-1)$.
上述因式分解的方法称为配方法.请体会配方法的特点,用配方法分解因式:
(1)$x^2-4x+3$;
(2)$4x^2+12x-7$.
答案
(1) 原式$=x^2-4x+4-4+3=(x-2)^2-1$
$=(x-2+1)(x-2-1)=(x-1)(x-3)$.
(2) 原式$=4x^2+12x+9-9-7=(2x+3)^2-16$
$=(2x+3+4)(2x+3-4)$
$=(2x+7)(2x-1)$.
$=(x-2+1)(x-2-1)=(x-1)(x-3)$.
(2) 原式$=4x^2+12x+9-9-7=(2x+3)^2-16$
$=(2x+3+4)(2x+3-4)$
$=(2x+7)(2x-1)$.
解析
【分析】
解题时参照题干给出的配方法思路即可：第一步先观察二次项和一次项，将二者凑成完全平方的结构，二次项系数为1时，加一次项系数一半的平方即可凑完全平方；二次项系数不为1时，将二次项、一次项看成整体凑完全平方。第二步为了保证原式的值不变，凑完全平方时加的数要额外减去，将原式整理为“完全平方-常数”的平方差结构。第三步利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解为整式乘积的形式即可。
(1) 式子$x^2-4x+3$二次项系数为1，一次项系数为-4，配$(-4÷2)^2=4$即可凑完全平方，再整理分解即可。
(2) 式子$4x^2+12x-7$中$4x^2=(2x)^2$，$12x=2×2x×3$，配$3^2=9$即可凑完全平方，再整理分解即可。
【解析】
(1) 原式$=x^2-4x+4-4+3$
$=(x-2)^2-1$
$=(x-2+1)(x-2-1)$
$=(x-1)(x-3)$
(2) 原式$=4x^2+12x+9-9-7$
$=(2x+3)^2-16$
$=(2x+3+4)(2x+3-4)$
$=(2x+7)(2x-1)$
【答案】
(1) $(x-1)(x-3)$
(2) $(2x+7)(2x-1)$
【知识点】
配方法因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是材料阅读类因式分解题，核心是理解配方法“凑项变形”的本质，凑完全平方时要注意增减的常数项数值准确，保证变形前后式子的值不变，再结合平方差公式完成分解即可。
【难度系数】
0.7
解题时参照题干给出的配方法思路即可：第一步先观察二次项和一次项，将二者凑成完全平方的结构，二次项系数为1时，加一次项系数一半的平方即可凑完全平方；二次项系数不为1时，将二次项、一次项看成整体凑完全平方。第二步为了保证原式的值不变，凑完全平方时加的数要额外减去，将原式整理为“完全平方-常数”的平方差结构。第三步利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解为整式乘积的形式即可。
(1) 式子$x^2-4x+3$二次项系数为1，一次项系数为-4，配$(-4÷2)^2=4$即可凑完全平方，再整理分解即可。
(2) 式子$4x^2+12x-7$中$4x^2=(2x)^2$，$12x=2×2x×3$，配$3^2=9$即可凑完全平方，再整理分解即可。
【解析】
(1) 原式$=x^2-4x+4-4+3$
$=(x-2)^2-1$
$=(x-2+1)(x-2-1)$
$=(x-1)(x-3)$
(2) 原式$=4x^2+12x+9-9-7$
$=(2x+3)^2-16$
$=(2x+3+4)(2x+3-4)$
$=(2x+7)(2x-1)$
【答案】
(1) $(x-1)(x-3)$
(2) $(2x+7)(2x-1)$
【知识点】
配方法因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是材料阅读类因式分解题，核心是理解配方法“凑项变形”的本质，凑完全平方时要注意增减的常数项数值准确，保证变形前后式子的值不变，再结合平方差公式完成分解即可。
【难度系数】
0.7
