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1. 妹妹:“哥哥,我有一种快速算出 $75 × 75$ 的方法,先用 $100 × 7 × 8$,再加上25,得到结果是5 625.”妹妹的话引发了哥哥的兴趣.他通过查阅资料,围绕速算“两个两位数相乘的积”的规律开展了一系列探究活动.
阅读材料:用$\overline{ab}$表示一个两位数,a代表十位上的数,b代表个位上的数,即$\overline{ab}=10a + b$.
请观察下列运算规律:
$15 × 15 = 100 × 1 × 2 + 5 × 5 = 225$,
$25 × 25 = 100 × 2 × 3 + 5 × 5 = 625$,
$35 × 35 = 100 × 3 × 4 + 5 × 5 = 1\ 225$,
……
(1)根据阅读材料,可知:$\overline{a5} = \_\_\_\_\_\_$;
(2)观察运算规律,猜想:$\overline{a5} × \overline{a5} = \_\_\_\_\_\_$;
(3)结合以上内容,请你证明(2)中的猜想;
(4)如果$b + c = 10$,类比上述探究过程,请你用一个式子表示速算$\overline{ab} × \overline{ac}$的方法,并证明你的结论.
阅读材料:用$\overline{ab}$表示一个两位数,a代表十位上的数,b代表个位上的数,即$\overline{ab}=10a + b$.
请观察下列运算规律:
$15 × 15 = 100 × 1 × 2 + 5 × 5 = 225$,
$25 × 25 = 100 × 2 × 3 + 5 × 5 = 625$,
$35 × 35 = 100 × 3 × 4 + 5 × 5 = 1\ 225$,
……
(1)根据阅读材料,可知:$\overline{a5} = \_\_\_\_\_\_$;
(2)观察运算规律,猜想:$\overline{a5} × \overline{a5} = \_\_\_\_\_\_$;
(3)结合以上内容,请你证明(2)中的猜想;
(4)如果$b + c = 10$,类比上述探究过程,请你用一个式子表示速算$\overline{ab} × \overline{ac}$的方法,并证明你的结论.
答案
(1)$10a+5$
(2)$100a(a+1)+5×5$
(3)证明:$\overline{a5}×\overline{a5}=(10a+5)(10a+5)=100a^2+100a+25=100a(a+1)+5×5.$
(4)解:当$b+c=10$时,$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc.$
证明:$\overline{ab}×\overline{ac}=(10a+b)(10a+c)=100a^2+10ab+10ac+bc=100a^2+10a(b+c)+bc.$
$\because b+c=10,$
$\therefore 100a^2+10a(b+c)+bc=100a^2+100a+bc=100a(a+1)+bc.$
故$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc.$
(2)$100a(a+1)+5×5$
(3)证明:$\overline{a5}×\overline{a5}=(10a+5)(10a+5)=100a^2+100a+25=100a(a+1)+5×5.$
(4)解:当$b+c=10$时,$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc.$
证明:$\overline{ab}×\overline{ac}=(10a+b)(10a+c)=100a^2+10ab+10ac+bc=100a^2+10a(b+c)+bc.$
$\because b+c=10,$
$\therefore 100a^2+10a(b+c)+bc=100a^2+100a+bc=100a(a+1)+bc.$
故$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc.$
解析
【分析】
（1）根据题目给出的两位数代数表示规则$\overline{ab}=10a+b$（a为十位数字，b为个位数字），$\overline{a5}$的十位是a、个位是5，直接代入定义即可求解。
（2）观察已知运算例子：十位为1时，结果为$100×1×2+25$；十位为2时，结果为$100×2×3+25$；十位为3时，结果为$100×3×4+25$，以此类推可总结出十位为a时的通用表达式。
（3）证明猜想时，先将$\overline{a5}$转化为$10a+5$的形式，利用整式乘法展开运算，整理为猜想的结构即可完成证明。
（4）类比前序探究思路，先把$\overline{ab}$、$\overline{ac}$分别表示为$10a+b$、$10a+c$，按多项式乘法法则展开后，代入$b+c=10$的条件化简，即可得到对应的速算规律。
【解析】
(1) 根据两位数的代数表示规则，十位数字为a、个位数字为5的两位数可表示为：$\overline{a5}=10a+5$。
(2) 观察已知运算规律，可猜想十位为a、个位为5的两位数的平方为：$\overline{a5} × \overline{a5} =100a(a+1)+5×5$。
(3) 证明：
$\overline{a5}×\overline{a5}=(10a+5)(10a+5)=100a^2+100a+25=100a(a+1)+5×5$，猜想成立。
(4) 速算方法：当$b+c=10$时，$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$。
证明：
$\overline{ab}×\overline{ac}=(10a+b)(10a+c)=100a^2+10ab+10ac+bc=100a^2+10a(b+c)+bc$
$\because b+c=10$
$\therefore 100a^2+10a(b+c)+bc=100a^2+100a+bc=100a(a+1)+bc$
故$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$，结论成立。
【答案】
(1)$10a+5$
(2)$100a(a+1)+5×5$
(3)证明见解析
(4)$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$，证明见解析
【知识点】
1. 两位数的代数式表示
2. 整式乘法运算
3. 数字规律探究
【点评】
本题以数字速算为探究载体，引导学生经历从特殊到一般的推理过程，既考查整式运算的基础应用，也锻炼归纳猜想、类比迁移的能力，掌握该类规律可有效提升特定乘法运算的效率。
【难度系数】
0.7
（1）根据题目给出的两位数代数表示规则$\overline{ab}=10a+b$（a为十位数字，b为个位数字），$\overline{a5}$的十位是a、个位是5，直接代入定义即可求解。
（2）观察已知运算例子：十位为1时，结果为$100×1×2+25$；十位为2时，结果为$100×2×3+25$；十位为3时，结果为$100×3×4+25$，以此类推可总结出十位为a时的通用表达式。
（3）证明猜想时，先将$\overline{a5}$转化为$10a+5$的形式，利用整式乘法展开运算，整理为猜想的结构即可完成证明。
（4）类比前序探究思路，先把$\overline{ab}$、$\overline{ac}$分别表示为$10a+b$、$10a+c$，按多项式乘法法则展开后，代入$b+c=10$的条件化简，即可得到对应的速算规律。
【解析】
(1) 根据两位数的代数表示规则，十位数字为a、个位数字为5的两位数可表示为：$\overline{a5}=10a+5$。
(2) 观察已知运算规律，可猜想十位为a、个位为5的两位数的平方为：$\overline{a5} × \overline{a5} =100a(a+1)+5×5$。
(3) 证明：
$\overline{a5}×\overline{a5}=(10a+5)(10a+5)=100a^2+100a+25=100a(a+1)+5×5$，猜想成立。
(4) 速算方法：当$b+c=10$时，$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$。
证明：
$\overline{ab}×\overline{ac}=(10a+b)(10a+c)=100a^2+10ab+10ac+bc=100a^2+10a(b+c)+bc$
$\because b+c=10$
$\therefore 100a^2+10a(b+c)+bc=100a^2+100a+bc=100a(a+1)+bc$
故$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$，结论成立。
【答案】
(1)$10a+5$
(2)$100a(a+1)+5×5$
(3)证明见解析
(4)$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$，证明见解析
【知识点】
1. 两位数的代数式表示
2. 整式乘法运算
3. 数字规律探究
【点评】
本题以数字速算为探究载体，引导学生经历从特殊到一般的推理过程，既考查整式运算的基础应用，也锻炼归纳猜想、类比迁移的能力，掌握该类规律可有效提升特定乘法运算的效率。
【难度系数】
0.7
2.在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如生日，连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了.某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 $x^3 - x$ 因式分解的结果为 $x(x - 1)(x + 1)$，当 $x = 10$ 时，$x - 1 = 9$，$x + 1 = 11$，此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码091011.
(1)根据上述方法，小明同学设置了智学网登录密码：多项式 $x^3 - xy^2$ 分解因式后利用 $x,y$ 的数值设置密码，当 $x = 9,y = 3$ 时，请破解小明的密码是多少；
(2)学校管理员设置了一个密码，一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底分别为不同的整数 $x,y$，请你破解出由多项式 $x^3 - 4xy^2$ 分解因式后得到的密码；
(3)若多项式 $x^3 + (m - 2n)x^2 + 5nx$ 因式分解后，利用前面的方法，当 $x = 24$ 时，可以得到密码为242932，求 $m,n$ 的值.
(1)根据上述方法，小明同学设置了智学网登录密码：多项式 $x^3 - xy^2$ 分解因式后利用 $x,y$ 的数值设置密码，当 $x = 9,y = 3$ 时，请破解小明的密码是多少；
(2)学校管理员设置了一个密码，一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底分别为不同的整数 $x,y$，请你破解出由多项式 $x^3 - 4xy^2$ 分解因式后得到的密码；
(3)若多项式 $x^3 + (m - 2n)x^2 + 5nx$ 因式分解后，利用前面的方法，当 $x = 24$ 时，可以得到密码为242932，求 $m,n$ 的值.
答案
(1)$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)$,
当 $x=9,y=3$ 时,$x-y=9-3=6$,$x+y=9+3=12$,
$\therefore$ 小明的密码是 060912.
(2)$\because$ 一个等腰三角形的周长是 12,其中腰和底分别为不同的整数 $x,y$,
$\therefore 2x+y=12.$
$\because x,y$ 都为整数,
$\therefore \begin{cases} x=5,\\ y=2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=4,\\ y=4 \end{cases}$(不合题意,舍去).
$x^3 - 4xy^2 = x(x^2 - 4y^2) = x(x + 2y)(x - 2y).$
当 $x=5,y=2$ 时,$x+2y=5+2×2=9$,
$x-2y=5-2×2=1$,
$\therefore$ 多项式 $x^3 - 4xy^2$ 分解因式后得到的密码是 010509.
(3)$x^3 + (m - 2n)x^2 + 5nx = x[x^2 + (m - 2n)x + 5n].$
设 $x[x^2 + (m - 2n)x + 5n] = x(x + a)(x + b) = x[x^2 + (a + b)x + ab].$
$\because$ 当 $x=24$ 时,可以得到密码为 242932,
$\therefore x+a=29,x+b=32. \therefore a=5,b=8.$
$\therefore a+b=13,ab=40.$
$\therefore \begin{cases} m - 2n = 13,\\ 5n = 40. \end{cases}$
$\therefore m=29,n=8.$
当 $x=9,y=3$ 时,$x-y=9-3=6$,$x+y=9+3=12$,
$\therefore$ 小明的密码是 060912.
(2)$\because$ 一个等腰三角形的周长是 12,其中腰和底分别为不同的整数 $x,y$,
$\therefore 2x+y=12.$
$\because x,y$ 都为整数,
$\therefore \begin{cases} x=5,\\ y=2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=4,\\ y=4 \end{cases}$(不合题意,舍去).
$x^3 - 4xy^2 = x(x^2 - 4y^2) = x(x + 2y)(x - 2y).$
当 $x=5,y=2$ 时,$x+2y=5+2×2=9$,
$x-2y=5-2×2=1$,
$\therefore$ 多项式 $x^3 - 4xy^2$ 分解因式后得到的密码是 010509.
(3)$x^3 + (m - 2n)x^2 + 5nx = x[x^2 + (m - 2n)x + 5n].$
设 $x[x^2 + (m - 2n)x + 5n] = x(x + a)(x + b) = x[x^2 + (a + b)x + ab].$
$\because$ 当 $x=24$ 时,可以得到密码为 242932,
$\therefore x+a=29,x+b=32. \therefore a=5,b=8.$
$\therefore a+b=13,ab=40.$
$\therefore \begin{cases} m - 2n = 13,\\ 5n = 40. \end{cases}$
$\therefore m=29,n=8.$
解析
【分析】
本题围绕因式分解生成密码的规则展开，解题核心是先对多项式因式分解得到若干一次因式的乘积，再结合给定条件求出各因式对应的值，按从小到大排列（不足两位补0）得到密码，第三问还需逆向利用密码反推因式的常数项，结合多项式恒等求解参数。
(1) 第一问先对多项式$x^3-xy^2$因式分解，先提公因式$x$，再用平方差公式分解为$x(x-y)(x+y)$，代入$x=9$、$y=3$计算三个因式的值，排序补0即可得到密码。
(2) 第二问先根据等腰三角形周长公式得到$2x+y=12$，再结合三角形三边关系、边长为正整数、腰和底数值不同的条件筛选出符合要求的$x$、$y$；再对多项式$x^3-4xy^2$因式分解，代入数值排序补0得到密码。
(3) 第三问先对多项式提公因式$x$，得到$x$与一个二次三项式的乘积；已知$x=24$时密码为24、29、32，可得另外两个一次因式当$x=24$时的值为29和32，求出两个一次因式的常数项；再根据多项式恒等对应系数相等，列方程组求解$m$、$n$即可。
【解析】
(1) 对多项式因式分解：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)$
当$x=9,y=3$时，$x-y=9-3=6$，$x+y=9+3=12$，
将三个因式的值从小到大排序为6、9、12，不足两位补0，可得密码为060912。
(2) 由等腰三角形周长为12，腰为$x$、底为$y$，可得：
$2x+y=12$，且满足三角形三边关系$2x＞y$，$x＞0$，$y＞0$，$x≠y$，$x,y$为整数，
解得$\begin{cases} x=5\\ y=2 \end{cases}$（$\begin{cases} x=4\\ y=4 \end{cases}$腰底相等不符合题意，舍去）。
对多项式因式分解：
$x^3 - 4xy^2 = x(x^2 - 4y^2) = x(x + 2y)(x - 2y)$
当$x=5,y=2$时，$x+2y=5+2×2=9$，$x-2y=5-2×2=1$，
将三个因式的值从小到大排序为1、5、9，不足两位补0，可得密码为010509。
(3) 对多项式因式分解：
$x^3 + (m - 2n)x^2 + 5nx = x[x^2 + (m - 2n)x + 5n]$
设$x[x^2 + (m - 2n)x + 5n] = x(x + a)(x + b) = x[x^2 + (a + b)x + ab]$，
因为$x=24$时得到密码242932，所以$x+a=29$，$x+b=32$，
解得$a=29-24=5$，$b=32-24=8$，
因此$a+b=13$，$ab=40$，
根据多项式恒等对应系数相等可得：
$\begin{cases} m - 2n = 13\\ 5n = 40 \end{cases}$
解得$n=8$，代入第一个方程得$m=13+2×8=29$。
【答案】
(1) $\boxed{060912}$
(2) $\boxed{010509}$
(3) $\boxed{m=29,n=8}$
【知识点】
因式分解的应用、等腰三角形的性质、二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合生活中密码设置的实际场景，将因式分解、等腰三角形三边关系、方程组求解等知识融合考查，既注重基础公式的应用，又锻炼了学生逆向推导和知识迁移的能力，实用性较强。
【难度系数】
0.6
本题围绕因式分解生成密码的规则展开，解题核心是先对多项式因式分解得到若干一次因式的乘积，再结合给定条件求出各因式对应的值，按从小到大排列（不足两位补0）得到密码，第三问还需逆向利用密码反推因式的常数项，结合多项式恒等求解参数。
(1) 第一问先对多项式$x^3-xy^2$因式分解，先提公因式$x$，再用平方差公式分解为$x(x-y)(x+y)$，代入$x=9$、$y=3$计算三个因式的值，排序补0即可得到密码。
(2) 第二问先根据等腰三角形周长公式得到$2x+y=12$，再结合三角形三边关系、边长为正整数、腰和底数值不同的条件筛选出符合要求的$x$、$y$；再对多项式$x^3-4xy^2$因式分解，代入数值排序补0得到密码。
(3) 第三问先对多项式提公因式$x$，得到$x$与一个二次三项式的乘积；已知$x=24$时密码为24、29、32，可得另外两个一次因式当$x=24$时的值为29和32，求出两个一次因式的常数项；再根据多项式恒等对应系数相等，列方程组求解$m$、$n$即可。
【解析】
(1) 对多项式因式分解：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)$
当$x=9,y=3$时，$x-y=9-3=6$，$x+y=9+3=12$，
将三个因式的值从小到大排序为6、9、12，不足两位补0，可得密码为060912。
(2) 由等腰三角形周长为12，腰为$x$、底为$y$，可得：
$2x+y=12$，且满足三角形三边关系$2x＞y$，$x＞0$，$y＞0$，$x≠y$，$x,y$为整数，
解得$\begin{cases} x=5\\ y=2 \end{cases}$（$\begin{cases} x=4\\ y=4 \end{cases}$腰底相等不符合题意，舍去）。
对多项式因式分解：
$x^3 - 4xy^2 = x(x^2 - 4y^2) = x(x + 2y)(x - 2y)$
当$x=5,y=2$时，$x+2y=5+2×2=9$，$x-2y=5-2×2=1$，
将三个因式的值从小到大排序为1、5、9，不足两位补0，可得密码为010509。
(3) 对多项式因式分解：
$x^3 + (m - 2n)x^2 + 5nx = x[x^2 + (m - 2n)x + 5n]$
设$x[x^2 + (m - 2n)x + 5n] = x(x + a)(x + b) = x[x^2 + (a + b)x + ab]$，
因为$x=24$时得到密码242932，所以$x+a=29$，$x+b=32$，
解得$a=29-24=5$，$b=32-24=8$，
因此$a+b=13$，$ab=40$，
根据多项式恒等对应系数相等可得：
$\begin{cases} m - 2n = 13\\ 5n = 40 \end{cases}$
解得$n=8$，代入第一个方程得$m=13+2×8=29$。
【答案】
(1) $\boxed{060912}$
(2) $\boxed{010509}$
(3) $\boxed{m=29,n=8}$
【知识点】
因式分解的应用、等腰三角形的性质、二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合生活中密码设置的实际场景，将因式分解、等腰三角形三边关系、方程组求解等知识融合考查，既注重基础公式的应用，又锻炼了学生逆向推导和知识迁移的能力，实用性较强。
【难度系数】
0.6
