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1. 下列多项式中，属于完全平方式的是（
A.$1 + 4a^2$
B.$4b^2 + 4b - 1$
C.$a^2 - 4a + 4$
D.$a^2 + ab + b^2$
C
）A.$1 + 4a^2$
B.$4b^2 + 4b - 1$
C.$a^2 - 4a + 4$
D.$a^2 + ab + b^2$
答案
1.C
解析
【分析】
解题前先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式是形如$m^2\pm2mn+n^2$的多项式，有3个核心特点：①共包含三项；②有两项分别是两个整式的平方（平方项符号均为正）；③第三项是这两个整式乘积的2倍，符号可正可负。解题时我们对照这3个特征，逐个排查选项即可。
【解析】
我们对照完全平方式的结构特征逐一分析选项：
A. $1+4a^2$仅包含两项，不符合完全平方式三项的要求，不属于完全平方式；
B. $4b^2+4b-1$的常数项为$-1$，不是某个整式的平方（平方项符号应为正），不符合完全平方式的结构，不属于完全平方式；
C. $a^2-4a+4$可变形为$a^2 - 2· a· 2 + 2^2$，完全符合$m^2-2mn+n^2$的完全平方式结构，可因式分解为$(a-2)^2$，属于完全平方式；
D. $a^2+ab+b^2$中，若平方项为$a^2$和$b^2$，中间项应为$\pm 2ab$，该项中间仅为$ab$，不满足“积的2倍”的要求，不属于完全平方式。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式的概念；完全平方公式分解因式
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对完全平方式结构特征的识别，牢记“首平方，尾平方，积的2倍在中央”的口诀，就能快速准确判断。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式是形如$m^2\pm2mn+n^2$的多项式，有3个核心特点：①共包含三项；②有两项分别是两个整式的平方（平方项符号均为正）；③第三项是这两个整式乘积的2倍，符号可正可负。解题时我们对照这3个特征，逐个排查选项即可。
【解析】
我们对照完全平方式的结构特征逐一分析选项：
A. $1+4a^2$仅包含两项，不符合完全平方式三项的要求，不属于完全平方式；
B. $4b^2+4b-1$的常数项为$-1$，不是某个整式的平方（平方项符号应为正），不符合完全平方式的结构，不属于完全平方式；
C. $a^2-4a+4$可变形为$a^2 - 2· a· 2 + 2^2$，完全符合$m^2-2mn+n^2$的完全平方式结构，可因式分解为$(a-2)^2$，属于完全平方式；
D. $a^2+ab+b^2$中，若平方项为$a^2$和$b^2$，中间项应为$\pm 2ab$，该项中间仅为$ab$，不满足“积的2倍”的要求，不属于完全平方式。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式的概念；完全平方公式分解因式
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对完全平方式结构特征的识别，牢记“首平方，尾平方，积的2倍在中央”的口诀，就能快速准确判断。
【难度系数】
0.8
2.加上下列单项式后，仍不能使$4x^2 +1$成为一个整式的完全平方式的是（
A.$4x^4$
B.$4x$
C.$-4x$
D.$2x$
D
）A.$4x^4$
B.$4x$
C.$-4x$
D.$2x$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要牢记整式完全平方式的结构：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即完全平方式满足两个平方项的和，加上或减去这两个平方项底数乘积的2倍。我们可以把已知的$4x^2+1$中的两项分别当作完全平方式中的两个平方项，或者把其中一项当作交叉项，逐个验证添加选项中的单项式后是否能构成完全平方式即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一验证选项：
1. 选项A：添加$4x^4$后，式子变为$4x^4+4x^2+1=(2x^2+1)^2$，是整式的完全平方式，不符合题意；
2. 选项B：添加$4x$后，式子变为$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，是整式的完全平方式，不符合题意；
3. 选项C：添加$-4x$后，式子变为$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$，是整式的完全平方式，不符合题意；
4. 选项D：添加$2x$后，式子变为$4x^2+2x+1$，无法写成某个整式的平方形式，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，完全平方式判定
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，解题时要注意完全平方式有“和的平方”“差的平方”两种形式，还要考虑已知项作为交叉项的情况，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要牢记整式完全平方式的结构：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即完全平方式满足两个平方项的和，加上或减去这两个平方项底数乘积的2倍。我们可以把已知的$4x^2+1$中的两项分别当作完全平方式中的两个平方项，或者把其中一项当作交叉项，逐个验证添加选项中的单项式后是否能构成完全平方式即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一验证选项：
1. 选项A：添加$4x^4$后，式子变为$4x^4+4x^2+1=(2x^2+1)^2$，是整式的完全平方式，不符合题意；
2. 选项B：添加$4x$后，式子变为$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，是整式的完全平方式，不符合题意；
3. 选项C：添加$-4x$后，式子变为$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$，是整式的完全平方式，不符合题意；
4. 选项D：添加$2x$后，式子变为$4x^2+2x+1$，无法写成某个整式的平方形式，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，完全平方式判定
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，解题时要注意完全平方式有“和的平方”“差的平方”两种形式，还要考虑已知项作为交叉项的情况，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】
0.7
3. 对多项式$x^2 - 2xy + y^2$进行因式分解，正确的是（
A.$x^2 - 2xy + y^2 = x(x - 2y) + y^2$
B.$x^2 - 2xy + y^2 = (x + y)^2$
C.$x^2 - 2xy + y^2 = (x - 2y)^2$
D.$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
D
）A.$x^2 - 2xy + y^2 = x(x - 2y) + y^2$
B.$x^2 - 2xy + y^2 = (x + y)^2$
C.$x^2 - 2xy + y^2 = (x - 2y)^2$
D.$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
答案
3.D
解析
【分析】
首先要明确两个解题依据：一是因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式；二是完全平方差公式的结构特征：两个数的平方和减去这两个数乘积的2倍，等于这两个数差的平方，即$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。解题时先根据因式分解的定义排除不符合形式的选项，再将剩余选项展开和原式对比，或者直接套用公式计算，就能选出正确答案。
【解析】
1. 先明确因式分解的要求：结果必须是若干个整式相乘的形式，选项A右边是$x(x-2y)+y^2$，属于加法运算，不符合因式分解的要求，直接排除A。
2. 回忆完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，反过来用于因式分解可得$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
3. 对应原式$x^2-2xy+y^2$，可将$x$看作公式里的$a$，$y$看作公式里的$b$，直接套用公式得$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$。
4. 验证其余选项：
选项B：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，中间项符号与原式不符，错误；
选项C：$(x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2$，各项均和原式不匹配，错误；
选项D符合计算结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于基础题，核心考查完全平方公式的结构特征，解题时要注意区分完全平方和与完全平方差的中间项符号，同时牢记因式分解的结果要求，避免出现形式错误。
【难度系数】
0.9
首先要明确两个解题依据：一是因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式；二是完全平方差公式的结构特征：两个数的平方和减去这两个数乘积的2倍，等于这两个数差的平方，即$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。解题时先根据因式分解的定义排除不符合形式的选项，再将剩余选项展开和原式对比，或者直接套用公式计算，就能选出正确答案。
【解析】
1. 先明确因式分解的要求：结果必须是若干个整式相乘的形式，选项A右边是$x(x-2y)+y^2$，属于加法运算，不符合因式分解的要求，直接排除A。
2. 回忆完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，反过来用于因式分解可得$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
3. 对应原式$x^2-2xy+y^2$，可将$x$看作公式里的$a$，$y$看作公式里的$b$，直接套用公式得$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$。
4. 验证其余选项：
选项B：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，中间项符号与原式不符，错误；
选项C：$(x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2$，各项均和原式不匹配，错误；
选项D符合计算结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于基础题，核心考查完全平方公式的结构特征，解题时要注意区分完全平方和与完全平方差的中间项符号，同时牢记因式分解的结果要求，避免出现形式错误。
【难度系数】
0.9
4.分解因式：
(1)$m^2 -12m +36$；
(2)$(a - b)^2 -2(a - b)b + b^2$。
(1)$m^2 -12m +36$；
(2)$(a - b)^2 -2(a - b)b + b^2$。
答案
4. 解：(1)原式$=m^2 -2m×6 +6^2=(m-6)^2$。
(2)原式$=(a-b-b)^2=(a-2b)^2$。
(2)原式$=(a-b-b)^2=(a-2b)^2$。
解析
【分析】
首先回忆用完全平方公式分解因式的公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题时先判断多项式是否符合完全平方式的结构特征：为三项式，其中两项是同号的平方项，剩余一项是两个平方项底数乘积的2倍。
对于(1)，观察三项可知，首项$m^2$是$m$的平方，末项36是$6^2$且符号为正，中间项$-12m$恰好是$-2× m×6$，符合完全平方差公式的结构，直接套用公式即可。
对于(2)，可将$(a-b)$看作一个整体，当作公式中的“$a$”，原式中的$b$当作公式中的“$b$”，此时多项式符合$a^2-2ab+b^2$的结构，套用公式后化简即可得到结果。
【解析】
(1) 把原式整理为完全平方差公式的标准形式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=m^2 - 2· m·6 + 6^2\\&=(m-6)^2\end{aligned}$
(2) 将$(a-b)$视作整体套用完全平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(a-b)-b]^2\\&=(a-b-b)^2\\&=(a-2b)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(m-6)^2}$；(2) $\boldsymbol{(a-2b)^2}$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 整体代换思想
【点评】
本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题核心是熟练掌握完全平方式的结构特征，第二题运用整体思想可以简化运算，避免展开多项式后再分解的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
首先回忆用完全平方公式分解因式的公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题时先判断多项式是否符合完全平方式的结构特征：为三项式，其中两项是同号的平方项，剩余一项是两个平方项底数乘积的2倍。
对于(1)，观察三项可知，首项$m^2$是$m$的平方，末项36是$6^2$且符号为正，中间项$-12m$恰好是$-2× m×6$，符合完全平方差公式的结构，直接套用公式即可。
对于(2)，可将$(a-b)$看作一个整体，当作公式中的“$a$”，原式中的$b$当作公式中的“$b$”，此时多项式符合$a^2-2ab+b^2$的结构，套用公式后化简即可得到结果。
【解析】
(1) 把原式整理为完全平方差公式的标准形式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=m^2 - 2· m·6 + 6^2\\&=(m-6)^2\end{aligned}$
(2) 将$(a-b)$视作整体套用完全平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(a-b)-b]^2\\&=(a-b-b)^2\\&=(a-2b)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(m-6)^2}$；(2) $\boldsymbol{(a-2b)^2}$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 整体代换思想
【点评】
本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题核心是熟练掌握完全平方式的结构特征，第二题运用整体思想可以简化运算，避免展开多项式后再分解的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
5. 已知$x$是有理数，则多项式$2x - 1 - x^2$的值
（
A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.可能是正数或负数或零
（
B
）A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.可能是正数或负数或零
答案
5.B
解析
【分析】
要判断多项式$2x - 1 - x^2$的值的符号，首先可以通过整式变形，将其转化为可利用非负性判断的形式。解题思路为：第一步先将多项式按$x$的降幂排列，提取负号后，观察发现括号内的式子符合完全平方公式的结构，用完全平方公式因式分解，再结合平方的非负性判断整个式子的取值范围即可。
【解析】
先对多项式进行变形：
$2x - 1 - x^2 = -x^2 + 2x - 1$
提取负号得：
$= -(x^2 - 2x + 1)$
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可知$x^2-2x+1=(x-1)^2$，因此：
$= -(x-1)^2$
∵ 任何有理数的平方都是非负数，即$(x-1)^2 ≥ 0$
∴ $-(x-1)^2 ≤ 0$，即该多项式的值小于等于0，不可能为正数。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式因式分解；平方的非负性；整式化简
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题型，解题核心是通过合理变形将多项式转化为含平方项的形式，再借助平方的非负性判断代数式的取值范围，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断多项式$2x - 1 - x^2$的值的符号，首先可以通过整式变形，将其转化为可利用非负性判断的形式。解题思路为：第一步先将多项式按$x$的降幂排列，提取负号后，观察发现括号内的式子符合完全平方公式的结构，用完全平方公式因式分解，再结合平方的非负性判断整个式子的取值范围即可。
【解析】
先对多项式进行变形：
$2x - 1 - x^2 = -x^2 + 2x - 1$
提取负号得：
$= -(x^2 - 2x + 1)$
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可知$x^2-2x+1=(x-1)^2$，因此：
$= -(x-1)^2$
∵ 任何有理数的平方都是非负数，即$(x-1)^2 ≥ 0$
∴ $-(x-1)^2 ≤ 0$，即该多项式的值小于等于0，不可能为正数。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式因式分解；平方的非负性；整式化简
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题型，解题核心是通过合理变形将多项式转化为含平方项的形式，再借助平方的非负性判断代数式的取值范围，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6.已知$(m+2n)^2 + 2m + 4n + 1 = 0$，则$(m+2n)^{2024}$的值为（
A.$-1$
B.$-2$
C.$1$
D.$2$
C
）A.$-1$
B.$-2$
C.$1$
D.$2$
答案
6.C
解析
【分析】
观察已知等式的结构，发现等式中多次出现(m+2n)相关的项，其中2m+4n可变形为2(m+2n)，因此可将(m+2n)看作一个整体，将原式转化为符合完全平方公式的形式，再利用偶次方的非负性求出(m+2n)的值，最后代入所求式子计算即可。
【解析】
首先对已知等式变形：
∵ 2m + 4n = 2(m + 2n)
∴ 原等式可化为：$(m+2n)^2 + 2(m+2n) + 1 = 0$
将(m+2n)看作整体，利用完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$因式分解，得：
$[(m+2n) + 1]^2 = 0$，即$(m+2n+1)^2 = 0$
根据偶次方的非负性可知，只有当底数为0时，平方的结果为0，因此：
$m + 2n + 1 = 0$，解得$m + 2n = -1$
将$m + 2n = -1$代入$(m+2n)^{2024}$得：
$(-1)^{2024} = 1$（负数的偶次幂为正数）
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式分解因式；偶次方的非负性；有理数乘方运算
【点评】
本题重点考查整体思想在代数运算中的应用，解题的核心是识别出式子中重复出现的结构，将其作为整体进行因式分解，再结合非负数的性质求解，是因式分解应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
观察已知等式的结构，发现等式中多次出现(m+2n)相关的项，其中2m+4n可变形为2(m+2n)，因此可将(m+2n)看作一个整体，将原式转化为符合完全平方公式的形式，再利用偶次方的非负性求出(m+2n)的值，最后代入所求式子计算即可。
【解析】
首先对已知等式变形：
∵ 2m + 4n = 2(m + 2n)
∴ 原等式可化为：$(m+2n)^2 + 2(m+2n) + 1 = 0$
将(m+2n)看作整体，利用完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$因式分解，得：
$[(m+2n) + 1]^2 = 0$，即$(m+2n+1)^2 = 0$
根据偶次方的非负性可知，只有当底数为0时，平方的结果为0，因此：
$m + 2n + 1 = 0$，解得$m + 2n = -1$
将$m + 2n = -1$代入$(m+2n)^{2024}$得：
$(-1)^{2024} = 1$（负数的偶次幂为正数）
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式分解因式；偶次方的非负性；有理数乘方运算
【点评】
本题重点考查整体思想在代数运算中的应用，解题的核心是识别出式子中重复出现的结构，将其作为整体进行因式分解，再结合非负数的性质求解，是因式分解应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
7.已知$a≠c$，若$M=a^2 - ac$，$N=ac - c^2$，则$M$与$N$的大小关系是（
A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.不能确定
A
）A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.不能确定
答案
7.A
解析
【分析】比较两个代数式的大小，通常采用作差法：将两个代数式相减，判断差的正负性即可得到大小关系：若差＞0，则被减数更大；若差=0，则两式相等；若差＜0，则减数更大。本题先计算M-N，再对结果因式分解，结合已知条件a≠c判断差的符号即可。
【解析】利用作差法比较M和N的大小：
第一步：计算$M - N$，代入M、N的表达式：
$M - N = (a^2 - ac) - (ac - c^2)$
第二步：去括号、合并同类项：
$M - N = a^2 - ac - ac + c^2 = a^2 - 2ac + c^2$
第三步：用完全平方差公式因式分解：
$M - N = (a - c)^2$
第四步：判断差的符号：
已知$a ≠ c$，因此$a - c ≠ 0$，根据平方的非负性，非零实数的平方为正数，可得$(a - c)^2 ＞ 0$，即$M - N ＞ 0$，因此$M ＞ N$。
【答案】A
【知识点】作差法比较大小；完全平方公式；平方的非负性
【点评】本题是代数式大小比较的基础题，解题关键是熟练掌握作差比较法的步骤，能正确运用完全平方公式对差式进行因式分解，结合平方的性质判断符号即可快速得出结论。
【难度系数】0.8
【解析】利用作差法比较M和N的大小：
第一步：计算$M - N$，代入M、N的表达式：
$M - N = (a^2 - ac) - (ac - c^2)$
第二步：去括号、合并同类项：
$M - N = a^2 - ac - ac + c^2 = a^2 - 2ac + c^2$
第三步：用完全平方差公式因式分解：
$M - N = (a - c)^2$
第四步：判断差的符号：
已知$a ≠ c$，因此$a - c ≠ 0$，根据平方的非负性，非零实数的平方为正数，可得$(a - c)^2 ＞ 0$，即$M - N ＞ 0$，因此$M ＞ N$。
【答案】A
【知识点】作差法比较大小；完全平方公式；平方的非负性
【点评】本题是代数式大小比较的基础题，解题关键是熟练掌握作差比较法的步骤，能正确运用完全平方公式对差式进行因式分解，结合平方的性质判断符号即可快速得出结论。
【难度系数】0.8
8. 如果多项式$x^2 - 3(m - 2)x + 36$能用完全平方公式分解因式，那么$m$的值为
6或－2
。答案
8. 6或－2
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确完全平方式的结构特征：完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$，可分解为$(a\pm b)^2$。我们先把给定的多项式和完全平方式的结构对应：首尾两项分别是$x^2$和$36=6^2$，对应$a^2$和$b^2$，其中$a=x$，$b=6$。那么中间项应该等于$\pm2ab=\pm12x$，据此列方程求解$m$即可，注意完全平方式有和、差两种形式，要分两种情况计算，避免漏解。
【解析】
解：能运用完全平方公式分解因式的多项式是完全平方式，形式为$a^2\pm2ab+b^2$。
已知多项式$x^2 - 3(m - 2)x + 36$是完全平方式，其中$x^2=(x)^2$，$36=6^2$，因此中间项满足：
$-3(m-2) = \pm2×1×6$
分两种情况计算：
① 当$-3(m-2)=12$时，
两边同时除以$-3$得：$m-2=-4$，解得$m=-2$；
② 当$-3(m-2)=-12$时，
两边同时除以$-3$得：$m-2=4$，解得$m=6$。
综上，$m$的值为6或-2。
【答案】
6或－2
【知识点】
完全平方式的特征，解一元一次方程
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构应用，解题的关键是明确完全平方式包含和的平方、差的平方两种形式，切勿只考虑一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确完全平方式的结构特征：完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$，可分解为$(a\pm b)^2$。我们先把给定的多项式和完全平方式的结构对应：首尾两项分别是$x^2$和$36=6^2$，对应$a^2$和$b^2$，其中$a=x$，$b=6$。那么中间项应该等于$\pm2ab=\pm12x$，据此列方程求解$m$即可，注意完全平方式有和、差两种形式，要分两种情况计算，避免漏解。
【解析】
解：能运用完全平方公式分解因式的多项式是完全平方式，形式为$a^2\pm2ab+b^2$。
已知多项式$x^2 - 3(m - 2)x + 36$是完全平方式，其中$x^2=(x)^2$，$36=6^2$，因此中间项满足：
$-3(m-2) = \pm2×1×6$
分两种情况计算：
① 当$-3(m-2)=12$时，
两边同时除以$-3$得：$m-2=-4$，解得$m=-2$；
② 当$-3(m-2)=-12$时，
两边同时除以$-3$得：$m-2=4$，解得$m=6$。
综上，$m$的值为6或-2。
【答案】
6或－2
【知识点】
完全平方式的特征，解一元一次方程
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构应用，解题的关键是明确完全平方式包含和的平方、差的平方两种形式，切勿只考虑一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
9.若a,b,c是△ABC的三边，且$a^2 + b^2 + c^2 + 50 = 6a + 8b + 10c$，则△ABC的周长为
12
。答案
9. 12
解析
【分析】
本题已知三角形三边满足的等式，求周长，解题思路如下：首先对等式进行移项变形，将含a、b、c的一次项全部移到等号左侧，再把常数50拆分成3个合适的常数，分别和a²、b²、c²及对应的一次项凑成完全平方式，再根据平方的非负性，几个非负数的和为0时每个非负数都为0，即可求出a、b、c的长度，最后将三边相加得到三角形周长。
【解析】
对原式移项得：
$a^2 - 6a + b^2 - 8b + c^2 - 10c + 50 = 0$
将50拆分为$9+16+25$，分组凑完全平方：
$(a^2 - 6a + 9) + (b^2 - 8b + 16) + (c^2 - 10c + 25) = 0$
由完全平方公式化简得：
$(a-3)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 0$
∵平方数具有非负性，即$(a-3)^2≥0$，$(b-4)^2≥0$，$(c-5)^2≥0$，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0
∴$a-3=0$，$b-4=0$，$c-5=0$
解得$a=3$，$b=4$，$c=5$
∴△ABC的周长为$a+b+c=3+4+5=12$
【答案】
12
【知识点】
完全平方公式因式分解、非负数的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是因式分解在几何中的典型应用，解题核心是掌握配方法构造完全平方式，结合非负数的性质求三角形三边长，是代数与几何结合的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
本题已知三角形三边满足的等式，求周长，解题思路如下：首先对等式进行移项变形，将含a、b、c的一次项全部移到等号左侧，再把常数50拆分成3个合适的常数，分别和a²、b²、c²及对应的一次项凑成完全平方式，再根据平方的非负性，几个非负数的和为0时每个非负数都为0，即可求出a、b、c的长度，最后将三边相加得到三角形周长。
【解析】
对原式移项得：
$a^2 - 6a + b^2 - 8b + c^2 - 10c + 50 = 0$
将50拆分为$9+16+25$，分组凑完全平方：
$(a^2 - 6a + 9) + (b^2 - 8b + 16) + (c^2 - 10c + 25) = 0$
由完全平方公式化简得：
$(a-3)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 0$
∵平方数具有非负性，即$(a-3)^2≥0$，$(b-4)^2≥0$，$(c-5)^2≥0$，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0
∴$a-3=0$，$b-4=0$，$c-5=0$
解得$a=3$，$b=4$，$c=5$
∴△ABC的周长为$a+b+c=3+4+5=12$
【答案】
12
【知识点】
完全平方公式因式分解、非负数的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是因式分解在几何中的典型应用，解题核心是掌握配方法构造完全平方式，结合非负数的性质求三角形三边长，是代数与几何结合的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
10. 利用因式分解进行简便运算：$99^2 + 202 × 99 + 101^2$
答案
10. 解:$99^2 +202×99 +101^2$
$=99^2 +2×101×99 +101^2$
$=(99+101)^2=200^2=40000$。
$=99^2 +2×101×99 +101^2$
$=(99+101)^2=200^2=40000$。
解析
【分析】
首先观察待计算的式子结构，发现包含两个正的平方项$99^2$、$101^2$，剩余一项为$202×99$，联想到完全平方和公式的结构$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，先尝试将中间项变形：202可拆为$2×101$，此时中间项恰好为$2×99×101$，式子完全符合完全平方和公式的形式，套用公式即可避免复杂的大数乘法运算，实现简便计算。
【解析】
解：$99^2 +202×99 +101^2$
$=99^2 +2×101×99 +101^2$
根据完全平方和公式可得：
$=(99+101)^2$
$=200^2$
$=40000$
【答案】
$40000$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 有理数简便运算
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题的关键是准确观察式子特点，将中间项合理变形后凑出完全平方的结构，能有效简化运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
首先观察待计算的式子结构，发现包含两个正的平方项$99^2$、$101^2$，剩余一项为$202×99$，联想到完全平方和公式的结构$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，先尝试将中间项变形：202可拆为$2×101$，此时中间项恰好为$2×99×101$，式子完全符合完全平方和公式的形式，套用公式即可避免复杂的大数乘法运算，实现简便计算。
【解析】
解：$99^2 +202×99 +101^2$
$=99^2 +2×101×99 +101^2$
根据完全平方和公式可得：
$=(99+101)^2$
$=200^2$
$=40000$
【答案】
$40000$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 有理数简便运算
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题的关键是准确观察式子特点，将中间项合理变形后凑出完全平方的结构，能有效简化运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
11.下面是某同学对多项式$(x^2 -4x +2)(x^2 -4x +6)+4$进行因式分解的过程.
以上方法叫作“换元法”. 请你模仿以上方法对$(x^2 -2x)(x^2 -2x +2)+1$进行因式分解.
以上方法叫作“换元法”. 请你模仿以上方法对$(x^2 -2x)(x^2 -2x +2)+1$进行因式分解.
答案
11. 解:设$x^2 -2x=y$,则
原式$=y(y+2)+1=y^2 +2y +1=(y+1)^2$
$=(x^2 -2x +1)^2=(x-1)^4$。
原式$=y(y+2)+1=y^2 +2y +1=(y+1)^2$
$=(x^2 -2x +1)^2=(x-1)^4$。
解析
【分析】
观察待因式分解的多项式，可发现两个相乘的因式中都含有相同的整式$x^2-2x$，我们可以采用换元法简化计算：第一步将重复出现的$x^2-2x$设为新元$y$，把原式转化为关于$y$的简单多项式；第二步对关于$y$的多项式利用完全平方公式分解因式；第三步将$y$替换回$x^2-2x$，再次利用完全平方公式分解，直到所有因式都不能再分解即可。
【解析】
解：设$x^2 -2x=y$，则
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=y(y+2)+1\\&=y^2 +2y +1\\&=(y+1)^2\end{aligned}$
将$y=x^2-2x$代回，得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2 -2x +1)^2\\&=[(x-1)^2]^2\\&=(x-1)^4\end{aligned}$
【答案】
$(x-1)^4$
【知识点】
换元法因式分解，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题重点考查换元法在因式分解中的应用，通过替换重复出现的整式可以简化多项式结构，降低运算出错的概率，解题时需注意因式分解要彻底，必须分解到每个因式都无法再分解为止。
【难度系数】
0.7
观察待因式分解的多项式，可发现两个相乘的因式中都含有相同的整式$x^2-2x$，我们可以采用换元法简化计算：第一步将重复出现的$x^2-2x$设为新元$y$，把原式转化为关于$y$的简单多项式；第二步对关于$y$的多项式利用完全平方公式分解因式；第三步将$y$替换回$x^2-2x$，再次利用完全平方公式分解，直到所有因式都不能再分解即可。
【解析】
解：设$x^2 -2x=y$，则
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=y(y+2)+1\\&=y^2 +2y +1\\&=(y+1)^2\end{aligned}$
将$y=x^2-2x$代回，得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2 -2x +1)^2\\&=[(x-1)^2]^2\\&=(x-1)^4\end{aligned}$
【答案】
$(x-1)^4$
【知识点】
换元法因式分解，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题重点考查换元法在因式分解中的应用，通过替换重复出现的整式可以简化多项式结构，降低运算出错的概率，解题时需注意因式分解要彻底，必须分解到每个因式都无法再分解为止。
【难度系数】
0.7
