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1. 下列多项式不能使用平方差公式分解因式的是（
A.$-m^2 -n^2$
B.$-16x^2 + y^2$
C.$b^2 -a^2$
D.$4a^2 -49n^2$
A
）A.$-m^2 -n^2$
B.$-16x^2 + y^2$
C.$b^2 -a^2$
D.$4a^2 -49n^2$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先明确平方差公式分解因式的适用条件：①多项式为二项式；②两项都可以表示为某个整式的平方形式；③两项的符号相反。我们只需将各选项逐一对照该条件判断即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，逐一分析选项：
A. $-m^2 -n^2 = -(m^2 + n^2)$，两项$m^2$、$n^2$符号相同，不满足平方差公式两项异号的要求，不能用平方差公式分解因式；
B. $-16x^2 + y^2 = y^2 - (4x)^2$，两项均为平方形式且符号相反，可分解为$(y+4x)(y-4x)$，符合要求；
C. $b^2 - a^2$，两项均为平方形式且符号相反，可分解为$(b+a)(b-a)$，符合要求；
D. $4a^2 - 49n^2 = (2a)^2 - (7n)^2$，两项均为平方形式且符号相反，可分解为$(2a+7n)(2a-7n)$，符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式分解因式，乘方的运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握平方差公式分解因式的结构特征，只要熟练记住“二项、平方、异号”三个判断要点，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先明确平方差公式分解因式的适用条件：①多项式为二项式；②两项都可以表示为某个整式的平方形式；③两项的符号相反。我们只需将各选项逐一对照该条件判断即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，逐一分析选项：
A. $-m^2 -n^2 = -(m^2 + n^2)$，两项$m^2$、$n^2$符号相同，不满足平方差公式两项异号的要求，不能用平方差公式分解因式；
B. $-16x^2 + y^2 = y^2 - (4x)^2$，两项均为平方形式且符号相反，可分解为$(y+4x)(y-4x)$，符合要求；
C. $b^2 - a^2$，两项均为平方形式且符号相反，可分解为$(b+a)(b-a)$，符合要求；
D. $4a^2 - 49n^2 = (2a)^2 - (7n)^2$，两项均为平方形式且符号相反，可分解为$(2a+7n)(2a-7n)$，符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式分解因式，乘方的运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握平方差公式分解因式的结构特征，只要熟练记住“二项、平方、异号”三个判断要点，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2.(上海中考)分解因式:$n^2 -9=$
$(n+3)(n-3)$
.答案
2.$(n+3)(n-3)$
解析
【分析】
分解因式时首先观察式子特征：本题式子是两项，且两项没有公因式，进一步观察发现$n^2$是n的平方，9是3的平方，两项符号相反，刚好符合平方差公式分解因式的结构$a^2-b^2$，因此可以直接套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$求解，其中对应公式中的a为n，b为3，代入公式即可得到分解结果。
【解析】
解：先将原式改写为平方差的形式：
$n^2 -9 = n^2 - 3^2$
根据平方差分解因式公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，将$a=n$、$b=3$代入公式得：
$n^2 -3^2=(n+3)(n-3)$
【答案】
$(n+3)(n-3)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对平方差公式结构的识别与应用，熟练掌握平方差公式的形式是解题的关键，这类题型是因式分解部分的常见考点。
【难度系数】
0.9
分解因式时首先观察式子特征：本题式子是两项，且两项没有公因式，进一步观察发现$n^2$是n的平方，9是3的平方，两项符号相反，刚好符合平方差公式分解因式的结构$a^2-b^2$，因此可以直接套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$求解，其中对应公式中的a为n，b为3，代入公式即可得到分解结果。
【解析】
解：先将原式改写为平方差的形式：
$n^2 -9 = n^2 - 3^2$
根据平方差分解因式公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，将$a=n$、$b=3$代入公式得：
$n^2 -3^2=(n+3)(n-3)$
【答案】
$(n+3)(n-3)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对平方差公式结构的识别与应用，熟练掌握平方差公式的形式是解题的关键，这类题型是因式分解部分的常见考点。
【难度系数】
0.9
3.分解因式：
(1)$-4m^2 + 25n^2$；
(2)$9(m + n)^2 - (m - n)^2$。
(1)$-4m^2 + 25n^2$；
(2)$9(m + n)^2 - (m - n)^2$。
答案
3.解:(1)原式$=(5n)^2-(2m)^2$
$=(5n+2m)(5n-2m).$
(2)原式$=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)$
$=(4m+2n)(2m+4n)$
$=4(2m+n)(m+2n).$
$=(5n+2m)(5n-2m).$
(2)原式$=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)$
$=(4m+2n)(2m+4n)$
$=4(2m+n)(m+2n).$
解析
【分析】
这两道因式分解题均适用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$求解，解题思路如下：
1. 先判断多项式结构：平方差公式适用于两项式、两项符号相反、且两项都可以写成某个整式的平方的形式。
2. 第(1)题先调整两项顺序，将原式转化为平方差的标准形式，明确公式中对应$a=5n$、$b=2m$，直接代入公式即可。
3. 第(2)题要用整体思想，把$3(m+n)$看作公式里的$a$，$m-n$看作公式里的$b$，代入公式后先化简每个括号内的整式，再提取公因式，保证因式分解彻底。
【解析】
(1) 先将原式变形为平方差的标准形式：
$-4m^2 +25n^2 = 25n^2 -4m^2=(5n)^2-(2m)^2$
根据平方差公式分解得：
$=(5n+2m)(5n-2m)$
(2) 先将原式改写为平方差形式：
$9(m + n)^2 - (m - n)^2 = [3(m+n)]^2 - (m-n)^2$
代入平方差公式得：
$=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]$
分别化简两个括号内的式子：
第一个括号：$3(m+n)+(m-n)=3m+3n+m-n=4m+2n$
第二个括号：$3(m+n)-(m-n)=3m+3n-m+n=2m+4n$
提取每个括号内的公因式并整理：
$=(4m+2n)(2m+4n)=2(2m+n)×2(m+2n)=4(2m+n)(m+2n)$
【答案】
(1) $\boxed{(5n+2m)(5n-2m)}$
(2) $\boxed{4(2m+n)(m+2n)}$
【知识点】
平方差公式因式分解，提公因式法，整体思想
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，运用整体代换代入公式后，要注意化简整式，最后需检查分解结果是否彻底，确保没有公因式、不能再继续分解。
【难度系数】
0.7
这两道因式分解题均适用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$求解，解题思路如下：
1. 先判断多项式结构：平方差公式适用于两项式、两项符号相反、且两项都可以写成某个整式的平方的形式。
2. 第(1)题先调整两项顺序，将原式转化为平方差的标准形式，明确公式中对应$a=5n$、$b=2m$，直接代入公式即可。
3. 第(2)题要用整体思想，把$3(m+n)$看作公式里的$a$，$m-n$看作公式里的$b$，代入公式后先化简每个括号内的整式，再提取公因式，保证因式分解彻底。
【解析】
(1) 先将原式变形为平方差的标准形式：
$-4m^2 +25n^2 = 25n^2 -4m^2=(5n)^2-(2m)^2$
根据平方差公式分解得：
$=(5n+2m)(5n-2m)$
(2) 先将原式改写为平方差形式：
$9(m + n)^2 - (m - n)^2 = [3(m+n)]^2 - (m-n)^2$
代入平方差公式得：
$=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]$
分别化简两个括号内的式子：
第一个括号：$3(m+n)+(m-n)=3m+3n+m-n=4m+2n$
第二个括号：$3(m+n)-(m-n)=3m+3n-m+n=2m+4n$
提取每个括号内的公因式并整理：
$=(4m+2n)(2m+4n)=2(2m+n)×2(m+2n)=4(2m+n)(m+2n)$
【答案】
(1) $\boxed{(5n+2m)(5n-2m)}$
(2) $\boxed{4(2m+n)(m+2n)}$
【知识点】
平方差公式因式分解，提公因式法，整体思想
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，运用整体代换代入公式后，要注意化简整式，最后需检查分解结果是否彻底，确保没有公因式、不能再继续分解。
【难度系数】
0.7
4.若$x^2 - y^2 = 30$，且$x - y = -5$，则$x + y$的值是（
A.5
B.6
C.-6
D.-5
C
）A.5
B.6
C.-6
D.-5
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先观察到已知条件里的$x^2-y^2$符合平方差公式的结构特征，因此先利用平方差公式对其因式分解，分解后会出现已知的$x-y$因式，再将$x-y$的值整体代入，通过除法运算即可求出$x+y$的值。
【解析】
解：根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
已知$x^2 - y^2 = 30$，$x - y = -5$，将上述条件代入等式得：
$-5(x + y) = 30$
等式两边同时除以$-5$，计算得：
$x + y = 30÷(-5) = -6$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.平方差公式分解因式 2.整体代入求值
【点评】
本题属于因式分解的基础应用题型，核心是掌握平方差公式的结构特征，学会用整体代入的思想简化代数式的计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到已知条件里的$x^2-y^2$符合平方差公式的结构特征，因此先利用平方差公式对其因式分解，分解后会出现已知的$x-y$因式，再将$x-y$的值整体代入，通过除法运算即可求出$x+y$的值。
【解析】
解：根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
已知$x^2 - y^2 = 30$，$x - y = -5$，将上述条件代入等式得：
$-5(x + y) = 30$
等式两边同时除以$-5$，计算得：
$x + y = 30÷(-5) = -6$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.平方差公式分解因式 2.整体代入求值
【点评】
本题属于因式分解的基础应用题型，核心是掌握平方差公式的结构特征，学会用整体代入的思想简化代数式的计算。
【难度系数】
0.7
5.计算：$75^2 - 25^2 =$ （
A.50
B.500
C.5 000
D.7 100
C
）A.50
B.500
C.5 000
D.7 100
答案
5.C
解析
【分析】
观察算式是两个数的平方作差的形式，符合平方差公式的结构特征，因此可以利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对式子进行因式分解，再计算结果，比直接计算两个数的平方再相减更简便。首先确定公式中$a=75$，$b=25$，分别代入计算两数的和与差，再将和与差相乘即可得到最终结果。
【解析】
根据平方差公式分解因式计算：
$\begin{aligned}75^2 - 25^2&=(75+25)×(75-25)\\&=100×50\\&=5000\end{aligned}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式、有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，利用平方差公式可以大幅简化计算过程，避免直接计算较大数的平方，解题关键是准确识别平方差的公式结构，熟练代入公式计算。
【难度系数】
0.9
观察算式是两个数的平方作差的形式，符合平方差公式的结构特征，因此可以利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对式子进行因式分解，再计算结果，比直接计算两个数的平方再相减更简便。首先确定公式中$a=75$，$b=25$，分别代入计算两数的和与差，再将和与差相乘即可得到最终结果。
【解析】
根据平方差公式分解因式计算：
$\begin{aligned}75^2 - 25^2&=(75+25)×(75-25)\\&=100×50\\&=5000\end{aligned}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式、有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，利用平方差公式可以大幅简化计算过程，避免直接计算较大数的平方，解题关键是准确识别平方差的公式结构，熟练代入公式计算。
【难度系数】
0.9
6. 如图，已知$R=6.75$，$r=3.25$，则图中阴影部分的面积为 （
A.$3.5π$
B.$12.25π$
C.$27π$
D.$35π$
D
）A.$3.5π$
B.$12.25π$
C.$27π$
D.$35π$
答案
6.D
解析
【分析】
首先观察图形可知阴影部分是圆环，圆环面积等于外圆面积减去内圆面积，即$S_{阴影}=π R^2 - π r^2$。若直接计算$R^2$和$r^2$运算量较大，观察式子符合平方差公式的结构特征，因此可以先利用平方差公式对式子因式分解，再代入数值计算，可简化运算过程，降低计算出错概率。
【解析】
阴影部分为圆环，其面积为外圆面积与内圆面积的差：
$S_{阴影} = S_{外圆} - S_{内圆} = π R^2 - π r^2$
提取公因式$π$后，利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解可得：
$S_{阴影} = π(R^2 - r^2) = π(R+r)(R-r)$
将$R=6.75$，$r=3.25$代入式子计算：
$R+r=6.75+3.25=10$，$R-r=6.75-3.25=3.5$
因此$S_{阴影}=π × 10 × 3.5 = 35π$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】
圆环面积计算，平方差公式，因式分解应用
【点评】
本题结合几何面积计算与代数因式分解知识，考查对平方差公式的灵活运用能力，巧用因式分解可避免复杂的乘方运算，有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知阴影部分是圆环，圆环面积等于外圆面积减去内圆面积，即$S_{阴影}=π R^2 - π r^2$。若直接计算$R^2$和$r^2$运算量较大，观察式子符合平方差公式的结构特征，因此可以先利用平方差公式对式子因式分解，再代入数值计算，可简化运算过程，降低计算出错概率。
【解析】
阴影部分为圆环，其面积为外圆面积与内圆面积的差：
$S_{阴影} = S_{外圆} - S_{内圆} = π R^2 - π r^2$
提取公因式$π$后，利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解可得：
$S_{阴影} = π(R^2 - r^2) = π(R+r)(R-r)$
将$R=6.75$，$r=3.25$代入式子计算：
$R+r=6.75+3.25=10$，$R-r=6.75-3.25=3.5$
因此$S_{阴影}=π × 10 × 3.5 = 35π$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】
圆环面积计算，平方差公式，因式分解应用
【点评】
本题结合几何面积计算与代数因式分解知识，考查对平方差公式的灵活运用能力，巧用因式分解可避免复杂的乘方运算，有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
7. 小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式$x^2 - □ y^2$（“$□$”表示漏抄的部分）中$y^2$前的式子，若该二项式能因式分解，则“$□$”不可能是（
A.$x$
B.4
C.$-4$
D.9
C
）A.$x$
B.4
C.$-4$
D.9
答案
7.C
解析
【分析】
要判断“”不可能是哪个值，需结合因式分解的常用方法（提公因式法、平方差公式法），逐一代入选项验证二项式是否能因式分解。首先明确平方差公式分解因式的条件：两项均为平方项，且符号相反；若二项式存在公因式，也可先提公因式完成分解。
【解析】
我们逐个代入选项验证：
1. 若“”为选项A的$x$，二项式为$x^2 - xy^2$，可提取公因式$x$，分解为$x(x - y^2)$，能因式分解，不符合题意；
2. 若“”为选项B的$4$，二项式为$x^2 - 4y^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，分解为$(x+2y)(x-2y)$，能因式分解，不符合题意；
3. 若“”为选项C的$-4$，二项式为$x^2 - (-4)y^2 = x^2 + 4y^2$，两项符号相同，属于平方和形式，无法用初中阶段的因式分解方法分解，符合题意；
4. 若“”为选项D的$9$，二项式为$x^2 - 9y^2$，符合平方差公式结构，分解为$(x+3y)(x-3y)$，能因式分解，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
因式分解、平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题关键是熟练掌握提公因式法和平方差公式分解因式的适用条件，易错点是容易忽略提公因式这种基础分解方法，误选A选项。
【难度系数】
0.7
要判断“”不可能是哪个值，需结合因式分解的常用方法（提公因式法、平方差公式法），逐一代入选项验证二项式是否能因式分解。首先明确平方差公式分解因式的条件：两项均为平方项，且符号相反；若二项式存在公因式，也可先提公因式完成分解。
【解析】
我们逐个代入选项验证：
1. 若“”为选项A的$x$，二项式为$x^2 - xy^2$，可提取公因式$x$，分解为$x(x - y^2)$，能因式分解，不符合题意；
2. 若“”为选项B的$4$，二项式为$x^2 - 4y^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，分解为$(x+2y)(x-2y)$，能因式分解，不符合题意；
3. 若“”为选项C的$-4$，二项式为$x^2 - (-4)y^2 = x^2 + 4y^2$，两项符号相同，属于平方和形式，无法用初中阶段的因式分解方法分解，符合题意；
4. 若“”为选项D的$9$，二项式为$x^2 - 9y^2$，符合平方差公式结构，分解为$(x+3y)(x-3y)$，能因式分解，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
因式分解、平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题关键是熟练掌握提公因式法和平方差公式分解因式的适用条件，易错点是容易忽略提公因式这种基础分解方法，误选A选项。
【难度系数】
0.7
8. 对于多项式$x^a - y^2$（其中$1≤ a≤6$，且$a$为整数）能够利用平方差公式进行因式分解，则$a$的值可能有 （
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
C
）A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案
8.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆平方差公式的结构特征：能用平方差公式因式分解的多项式必须是“两个数的平方相减”的形式，即² - △²。本题中多项式的后项y²已经是平方项，因此只需保证前项x^a是某个整式的平方即可。结合幂的乘方的逆运算规律，要使x^a为平方项，a必须是2的正整数倍（偶数），再结合a的取值范围1≤a≤6（a为整数），筛选出符合条件的a值，统计个数就能得到答案。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$。
要使$x^a - y^2$能利用平方差公式因式分解，$x^a$必须是某个整式的平方。
根据幂的乘方逆运算：$(x^k)^2 = x^{2k}$，因此$a$必须是偶数，才能保证$\frac{a}{2}$为正整数，$x^{\frac{a}{2}}$是整式。
已知$1≤ a≤6$且$a$为整数，符合条件的$a$为2、4、6，共3个。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式，幂的乘方逆运算
【点评】
本题核心考查平方差公式的结构特征，解题关键是明确平方差公式对两项的次数要求，结合给定的指数范围筛选符合条件的值，是因式分解部分的基础典型题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆平方差公式的结构特征：能用平方差公式因式分解的多项式必须是“两个数的平方相减”的形式，即² - △²。本题中多项式的后项y²已经是平方项，因此只需保证前项x^a是某个整式的平方即可。结合幂的乘方的逆运算规律，要使x^a为平方项，a必须是2的正整数倍（偶数），再结合a的取值范围1≤a≤6（a为整数），筛选出符合条件的a值，统计个数就能得到答案。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$。
要使$x^a - y^2$能利用平方差公式因式分解，$x^a$必须是某个整式的平方。
根据幂的乘方逆运算：$(x^k)^2 = x^{2k}$，因此$a$必须是偶数，才能保证$\frac{a}{2}$为正整数，$x^{\frac{a}{2}}$是整式。
已知$1≤ a≤6$且$a$为整数，符合条件的$a$为2、4、6，共3个。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式，幂的乘方逆运算
【点评】
本题核心考查平方差公式的结构特征，解题关键是明确平方差公式对两项的次数要求，结合给定的指数范围筛选符合条件的值，是因式分解部分的基础典型题。
【难度系数】
0.7
9.已知$m+n=2$,则$m^2 - n^2 + 4n$的值是（
A.2
B.6
C.4
D.8
C
）A.2
B.6
C.4
D.8
答案
9.C
解析
【分析】
首先观察所求代数式$m^2 - n^2 + 4n$，其中$m^2 - n^2$符合平方差公式的结构，可以先利用平方差公式因式分解，再结合已知条件$m+n=2$整体代入，最后对代数式化简后再次整体代入即可求出结果。
【解析】
1. 利用平方差公式分解$m^2 - n^2$：
$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，因此原式可变形为：
$m^2 - n^2 + 4n = (m+n)(m-n) + 4n$
2. 把$m+n=2$代入上式：
$原式=2(m-n) + 4n$
3. 去括号合并同类项：
$原式=2m - 2n + 4n = 2m + 2n = 2(m+n)$
4. 再次代入$m+n=2$计算：
$原式=2×2=4$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式；代数式化简求值
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，解题关键是先对代数式因式分解，再通过两次整体代入已知条件简化计算，避免了单独求解m、n的值的繁琐，体现了整体代入思想的应用。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式$m^2 - n^2 + 4n$，其中$m^2 - n^2$符合平方差公式的结构，可以先利用平方差公式因式分解，再结合已知条件$m+n=2$整体代入，最后对代数式化简后再次整体代入即可求出结果。
【解析】
1. 利用平方差公式分解$m^2 - n^2$：
$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，因此原式可变形为：
$m^2 - n^2 + 4n = (m+n)(m-n) + 4n$
2. 把$m+n=2$代入上式：
$原式=2(m-n) + 4n$
3. 去括号合并同类项：
$原式=2m - 2n + 4n = 2m + 2n = 2(m+n)$
4. 再次代入$m+n=2$计算：
$原式=2×2=4$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式；代数式化简求值
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，解题关键是先对代数式因式分解，再通过两次整体代入已知条件简化计算，避免了单独求解m、n的值的繁琐，体现了整体代入思想的应用。
【难度系数】
0.8
10.[几何直观]如图,将边长为$2m+3$的正方形纸片剪出一个边长为$m+3$的正方形之后,剩余部分可拼成一个长方形,若拼成的长方形一边长为$m$,则另一边长为 (
A.$2m+6$
B.$3m+6$
C.$2m^2+9m+6$
D.$2m^2+9m+9$
B
)A.$2m+6$
B.$3m+6$
C.$2m^2+9m+6$
D.$2m^2+9m+9$
答案
10.B
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住图形剪拼前后面积不变的特点：首先计算剩余部分的面积，即大正方形面积减去剪去的小正方形面积，拼成的长方形面积与剩余部分面积相等；已知长方形的一条边长为$m$，用长方形面积除以已知边长即可求出另一边长，计算时可利用平方差公式简化运算。
【解析】
首先计算剩余部分的面积：
大正方形边长为$2m+3$，面积为$(2m+3)^2$；小正方形边长为$m+3$，面积为$(m+3)^2$。
剩余面积$S=(2m+3)^2-(m+3)^2$，利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$因式分解得：
$\begin{aligned}S&=[(2m+3)-(m+3)][(2m+3)+(m+3)]\\&=(2m+3-m-3)(2m+3+m+3)\\&=m·(3m+6)\end{aligned}$
拼成的长方形面积等于剩余面积，且长方形一边长为$m$，因此另一边长为：
$m(3m+6)÷ m=3m+6$
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，等积变换，整式运算
【点评】
本题将几何图形剪拼和整式运算结合，考查平方差公式的实际应用，解题关键是理解剪拼前后面积不变的规律，体现了数形结合的思想，能很好地锻炼学生的几何直观和运算能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是抓住图形剪拼前后面积不变的特点：首先计算剩余部分的面积，即大正方形面积减去剪去的小正方形面积，拼成的长方形面积与剩余部分面积相等；已知长方形的一条边长为$m$，用长方形面积除以已知边长即可求出另一边长，计算时可利用平方差公式简化运算。
【解析】
首先计算剩余部分的面积：
大正方形边长为$2m+3$，面积为$(2m+3)^2$；小正方形边长为$m+3$，面积为$(m+3)^2$。
剩余面积$S=(2m+3)^2-(m+3)^2$，利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$因式分解得：
$\begin{aligned}S&=[(2m+3)-(m+3)][(2m+3)+(m+3)]\\&=(2m+3-m-3)(2m+3+m+3)\\&=m·(3m+6)\end{aligned}$
拼成的长方形面积等于剩余面积，且长方形一边长为$m$，因此另一边长为：
$m(3m+6)÷ m=3m+6$
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，等积变换，整式运算
【点评】
本题将几何图形剪拼和整式运算结合，考查平方差公式的实际应用，解题关键是理解剪拼前后面积不变的规律，体现了数形结合的思想，能很好地锻炼学生的几何直观和运算能力。
【难度系数】
0.7
11.计算：
$(1-\dfrac{1}{2^2})(1-\dfrac{1}{3^2})(1-\dfrac{1}{4^2})···(1-\dfrac{1}{19^2})(1-\dfrac{1}{20^2}).$
$(1-\dfrac{1}{2^2})(1-\dfrac{1}{3^2})(1-\dfrac{1}{4^2})···(1-\dfrac{1}{19^2})(1-\dfrac{1}{20^2}).$
答案
11.解:原式$=(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})$
$(1-\dfrac{1}{4})(1+\dfrac{1}{4})\dots(1-\dfrac{1}{19})(1+\dfrac{1}{19})$
$(1-\dfrac{1}{20})(1+\dfrac{1}{20})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×\dots×\dfrac{18}{19}×\dfrac{20}{19}×\dfrac{19}{20}$
$×\dfrac{21}{20}$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{21}{20}=\dfrac{21}{40}.$
$(1-\dfrac{1}{4})(1+\dfrac{1}{4})\dots(1-\dfrac{1}{19})(1+\dfrac{1}{19})$
$(1-\dfrac{1}{20})(1+\dfrac{1}{20})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×\dots×\dfrac{18}{19}×\dfrac{20}{19}×\dfrac{19}{20}$
$×\dfrac{21}{20}$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{21}{20}=\dfrac{21}{40}.$
解析
【分析】
观察算式中每个因式的结构，均为“1减去一个数的平方”的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的特征，因此可以先利用平方差公式把每个因式拆成两个数的乘积，拆分后会发现相邻的分数可以相互抵消约分，仅保留首尾的两个分数相乘即可快速得出结果，避免直接逐个计算的繁琐。
【解析】
解：原式$=(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})(1-\dfrac{1}{4})(1+\dfrac{1}{4})\dots(1-\dfrac{1}{19})(1+\dfrac{1}{19})(1-\dfrac{1}{20})(1+\dfrac{1}{20})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×\dots×\dfrac{18}{19}×\dfrac{20}{19}×\dfrac{19}{20}×\dfrac{21}{20}$
中间相邻分数两两约分后仅剩首项和末项，即：
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{21}{20}=\dfrac{21}{40}$
【答案】
$\dfrac{21}{40}$
【知识点】
平方差公式，分数约分，有理数巧算
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活应用，解题关键是先识别算式的结构特征，通过公式拆分将复杂的连乘运算转化为可约分的形式，大幅降低计算量，是代数巧算的典型题型。
【难度系数】
0.7
观察算式中每个因式的结构，均为“1减去一个数的平方”的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的特征，因此可以先利用平方差公式把每个因式拆成两个数的乘积，拆分后会发现相邻的分数可以相互抵消约分，仅保留首尾的两个分数相乘即可快速得出结果，避免直接逐个计算的繁琐。
【解析】
解：原式$=(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})(1-\dfrac{1}{4})(1+\dfrac{1}{4})\dots(1-\dfrac{1}{19})(1+\dfrac{1}{19})(1-\dfrac{1}{20})(1+\dfrac{1}{20})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×\dots×\dfrac{18}{19}×\dfrac{20}{19}×\dfrac{19}{20}×\dfrac{21}{20}$
中间相邻分数两两约分后仅剩首项和末项，即：
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{21}{20}=\dfrac{21}{40}$
【答案】
$\dfrac{21}{40}$
【知识点】
平方差公式，分数约分，有理数巧算
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活应用，解题关键是先识别算式的结构特征，通过公式拆分将复杂的连乘运算转化为可约分的形式，大幅降低计算量，是代数巧算的典型题型。
【难度系数】
0.7
