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6. 某商场购进一批单价为16元的日用品，若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖出210件，假定每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间满足一次函数关系。在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为
24
元/件时，才能使每月的毛利润w最大，每月的最大毛利润为1920
元。答案
24 1920 解析:由题意假设 y=kx+b,将(20,360),(25,210)代入一次函数可得$\begin{cases}360=20k+b,\\210=25k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-30,\\b=960,\end{cases}$则y=-30x+960.
∵y≥0,
∴-30x+960≥0,
∴x≤32.又
∵商品进价为16元,
∴16≤x≤32.w=y·(x-16)=(-30x+960)(x-16),整理上式,可得w=-30(x-24)²+1920,由二次函数性质,可得当x=24时,w有最大值1920.故当销售价格为24元/件时,每月最大毛利润为1920元.
∵y≥0,
∴-30x+960≥0,
∴x≤32.又
∵商品进价为16元,
∴16≤x≤32.w=y·(x-16)=(-30x+960)(x-16),整理上式,可得w=-30(x-24)²+1920,由二次函数性质,可得当x=24时,w有最大值1920.故当销售价格为24元/件时,每月最大毛利润为1920元.
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，已知每月销售件数y与销售价格x满足一次函数关系，且给出两组对应的x、y值，可使用待定系数法求出一次函数的解析式；第二步，明确毛利润的计算公式：毛利润=每件利润×销售件数，每件利润为（售价x-进价16），将y的解析式代入即可得到毛利润w关于x的二次函数表达式；第三步，结合实际意义确定x的取值范围（售价不低于进价、销量非负），再利用二次函数的性质求出最大值对应的x值和最大毛利润即可。
【解析】
设一次函数解析式为$y=kx+b$，将$(20,360)$、$(25,210)$代入解析式得：
$\begin{cases}360=20k+b\\210=25k+b\end{cases}$
两式作差得$150=-5k$，解得$k=-30$，将$k=-30$代入$360=20k+b$，得$b=960$，因此一次函数解析式为$y=-30x+960$。
结合实际意义：销量$y≥0$，且售价不低于进价，因此：
$\begin{cases}-30x+960≥0\\x≥16\end{cases}$
解得$16≤ x≤32$。
毛利润$w=(x-16)y$，将$y=-30x+960$代入得：
$w=(x-16)(-30x+960)$
展开并配方得：
$w=-30(x-24)^2+1920$
因为二次项系数$-30＜0$，函数开口向下，且$x=24$在$16≤ x≤32$的取值范围内，因此当$x=24$时，$w$取得最大值1920元。
【答案】
24；1920
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值问题的典型题型，解题的核心是先建立销量与售价的函数关系，再结合利润公式构建二次函数模型，求解时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免求出的最值不符合实际情况。
【难度系数】
0.6
解题思路分为三步：第一步，已知每月销售件数y与销售价格x满足一次函数关系，且给出两组对应的x、y值，可使用待定系数法求出一次函数的解析式；第二步，明确毛利润的计算公式：毛利润=每件利润×销售件数，每件利润为（售价x-进价16），将y的解析式代入即可得到毛利润w关于x的二次函数表达式；第三步，结合实际意义确定x的取值范围（售价不低于进价、销量非负），再利用二次函数的性质求出最大值对应的x值和最大毛利润即可。
【解析】
设一次函数解析式为$y=kx+b$，将$(20,360)$、$(25,210)$代入解析式得：
$\begin{cases}360=20k+b\\210=25k+b\end{cases}$
两式作差得$150=-5k$，解得$k=-30$，将$k=-30$代入$360=20k+b$，得$b=960$，因此一次函数解析式为$y=-30x+960$。
结合实际意义：销量$y≥0$，且售价不低于进价，因此：
$\begin{cases}-30x+960≥0\\x≥16\end{cases}$
解得$16≤ x≤32$。
毛利润$w=(x-16)y$，将$y=-30x+960$代入得：
$w=(x-16)(-30x+960)$
展开并配方得：
$w=-30(x-24)^2+1920$
因为二次项系数$-30＜0$，函数开口向下，且$x=24$在$16≤ x≤32$的取值范围内，因此当$x=24$时，$w$取得最大值1920元。
【答案】
24；1920
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值问题的典型题型，解题的核心是先建立销量与售价的函数关系，再结合利润公式构建二次函数模型，求解时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免求出的最值不符合实际情况。
【难度系数】
0.6
7. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”.为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出A型号汽车刹车后，刹车距离$y$(单位:m)与刹车时的速度$x$(单位:m/s)之间的关系满足二次函数$y=0.08x^2+bx+c$.测得部分数据如下表：
(1)求A型号汽车刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式.(不必写自变量的取值范围)
(2)有一辆A型号汽车在公路上(限速100 km/h)发生了交通事故，现场测得刹车距离为99 m，请问发生事故时司机是否超速行驶？请说明理由.
(3)制造车间生产的B型号汽车，其刹车距离$y$(单位:m)与刹车时的速度$x$(单位:m/s)之间的关系满足:$y=0.12x^2+β x$,若刹车时的速度$x$满足在$10≤x≤20$内某一数值时，两种型号汽车的刹车距离相等，求$β$的取值范围.
(1)求A型号汽车刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式.(不必写自变量的取值范围)
(2)有一辆A型号汽车在公路上(限速100 km/h)发生了交通事故，现场测得刹车距离为99 m，请问发生事故时司机是否超速行驶？请说明理由.
(3)制造车间生产的B型号汽车，其刹车距离$y$(单位:m)与刹车时的速度$x$(单位:m/s)之间的关系满足:$y=0.12x^2+β x$,若刹车时的速度$x$满足在$10≤x≤20$内某一数值时，两种型号汽车的刹车距离相等，求$β$的取值范围.
答案
(1) 把(0,0),(5,6.5)代入 y=0.08x²+bx+c,得$\begin{cases}c=0,\\2×5b+c=6.5,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=0.9,\\c=0,\end{cases}$
∴A 型号汽车刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为 y=0.08x²+0.9x.
(2) 发生事故时司机超速行驶了,理由如下:在 y=0.08x²+0.9x 中,令 y=99,得 99=0.08x²+0.9x,解得 x=30 或 x=-165/4(舍去).
∵30 m/s=108 km/h＞100 km/h,
∴发生事故时司机超速行驶了.
(3)
∵0.12＞0.08,
∴B 型号汽车刹车距离的函数图象更靠近y 轴,由题意得$\begin{cases}0.12×10²+10β≤0.08×10²+0.9×10,\\0.12×20²+20β≥0.08×20²+0.9×20,\end{cases}$解得$\frac{1}{10}≤β≤\frac{1}{2}$.
∴A 型号汽车刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为 y=0.08x²+0.9x.
(2) 发生事故时司机超速行驶了,理由如下:在 y=0.08x²+0.9x 中,令 y=99,得 99=0.08x²+0.9x,解得 x=30 或 x=-165/4(舍去).
∵30 m/s=108 km/h＞100 km/h,
∴发生事故时司机超速行驶了.
(3)
∵0.12＞0.08,
∴B 型号汽车刹车距离的函数图象更靠近y 轴,由题意得$\begin{cases}0.12×10²+10β≤0.08×10²+0.9×10,\\0.12×20²+20β≥0.08×20²+0.9×20,\end{cases}$解得$\frac{1}{10}≤β≤\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1) 题目已经给出刹车距离的二次函数表达式形式，已知两组x、y的对应值，可使用待定系数法，将点坐标代入函数式，解方程组求出未知系数b、c，即可得到所求函数表达式。
(2) 判断是否超速，只需将刹车距离y=99代入第(1)问求出的函数式，解出对应的刹车速度x，将速度单位换算为km/h后和限速100km/h比较即可，注意速度为非负数，需舍去负根。
(3) 要求10≤x≤20范围内存在x使得两种车型刹车距离相等，因为两个二次函数均开口向上，且B型号二次项系数更大，只需将区间端点x=10和x=20分别代入等量关系，列出关于β的不等式组，求解即可得到β的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(0,0)$、$(5,6.5)$代入$y=0.08x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} c=0 \\ 0.08×5^2+5b+c=6.5 \end{cases}$
化简得$\begin{cases} c=0 \\ 2+5b=6.5 \end{cases}$，解得$\begin{cases} b=0.9 \\ c=0 \end{cases}$
∴A型号汽车刹车距离关于刹车时速度的函数表达式为$y=0.08x^2+0.9x$。
(2) 发生事故时司机超速行驶，理由如下：
将$y=99$代入$y=0.08x^2+0.9x$，得：
$0.08x^2+0.9x=99$
解方程得$x_1=30$，$x_2=-\frac{165}{4}$（速度为非负数，舍去）
单位换算：$30\ \mathrm{m/s}=30×3.6=108\ \mathrm{km/h}$
∵$108\ \mathrm{km/h}＞100\ \mathrm{km/h}$，
∴发生事故时司机超速行驶。
(3) 由题意得，在$10≤x≤20$范围内存在x使得$0.12x^2+βx=0.08x^2+0.9x$，列不等式组：
$\begin{cases} 0.12×10^2+10β ≤ 0.08×10^2+0.9×10 \\ 0.12×20^2+20β ≥ 0.08×20^2+0.9×20 \end{cases}$
解第一个不等式：$12+10β≤17$，得$β≤\frac{1}{2}$
解第二个不等式：$48+20β≥50$，得$β≥\frac{1}{10}$
∴β的取值范围是$\frac{1}{10}≤β≤\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=0.08x^2+0.9x}$
(2) 发生事故时司机超速行驶，理由见解析。
(3) $\boldsymbol{\frac{1}{10}≤β≤\frac{1}{2}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题结合汽车刹车的真实场景考查二次函数的综合应用，既需要掌握基础的函数解析式求解方法，也需要结合实际问题灵活运用解方程、解不等式的技能，很好地体现了数学知识解决实际问题的特点。
【难度系数】
0.6
(1) 题目已经给出刹车距离的二次函数表达式形式，已知两组x、y的对应值，可使用待定系数法，将点坐标代入函数式，解方程组求出未知系数b、c，即可得到所求函数表达式。
(2) 判断是否超速，只需将刹车距离y=99代入第(1)问求出的函数式，解出对应的刹车速度x，将速度单位换算为km/h后和限速100km/h比较即可，注意速度为非负数，需舍去负根。
(3) 要求10≤x≤20范围内存在x使得两种车型刹车距离相等，因为两个二次函数均开口向上，且B型号二次项系数更大，只需将区间端点x=10和x=20分别代入等量关系，列出关于β的不等式组，求解即可得到β的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(0,0)$、$(5,6.5)$代入$y=0.08x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} c=0 \\ 0.08×5^2+5b+c=6.5 \end{cases}$
化简得$\begin{cases} c=0 \\ 2+5b=6.5 \end{cases}$，解得$\begin{cases} b=0.9 \\ c=0 \end{cases}$
∴A型号汽车刹车距离关于刹车时速度的函数表达式为$y=0.08x^2+0.9x$。
(2) 发生事故时司机超速行驶，理由如下：
将$y=99$代入$y=0.08x^2+0.9x$，得：
$0.08x^2+0.9x=99$
解方程得$x_1=30$，$x_2=-\frac{165}{4}$（速度为非负数，舍去）
单位换算：$30\ \mathrm{m/s}=30×3.6=108\ \mathrm{km/h}$
∵$108\ \mathrm{km/h}＞100\ \mathrm{km/h}$，
∴发生事故时司机超速行驶。
(3) 由题意得，在$10≤x≤20$范围内存在x使得$0.12x^2+βx=0.08x^2+0.9x$，列不等式组：
$\begin{cases} 0.12×10^2+10β ≤ 0.08×10^2+0.9×10 \\ 0.12×20^2+20β ≥ 0.08×20^2+0.9×20 \end{cases}$
解第一个不等式：$12+10β≤17$，得$β≤\frac{1}{2}$
解第二个不等式：$48+20β≥50$，得$β≥\frac{1}{10}$
∴β的取值范围是$\frac{1}{10}≤β≤\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=0.08x^2+0.9x}$
(2) 发生事故时司机超速行驶，理由见解析。
(3) $\boldsymbol{\frac{1}{10}≤β≤\frac{1}{2}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题结合汽车刹车的真实场景考查二次函数的综合应用，既需要掌握基础的函数解析式求解方法，也需要结合实际问题灵活运用解方程、解不等式的技能，很好地体现了数学知识解决实际问题的特点。
【难度系数】
0.6
8. 图①是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战。图②是发球机从中线OB的端点O的正上方0.3 m处的A点发球，球呈抛物线在OB正上方飞行，当飞行的水平距离为1 m时，达到最高点M，其高度为0.4 m.以O为原点，OB，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系.
(1)求图②中抛物线的表达式.
(2)记图②中的落球点为点E，则OE的长为多少？
(3)图③是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图②中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为0.2 m.若最后球也落在点E，则OD的长为多少？
(1)求图②中抛物线的表达式.
(2)记图②中的落球点为点E，则OE的长为多少？
(3)图③是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图②中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为0.2 m.若最后球也落在点E，则OD的长为多少？
答案
(1) 建立如图①所示的平面直角坐标系,则点A,M的坐标分别为(0,0.3),(1,0.4),设抛物线的表达式为 y=a(x-1)²+0.4,将点 A 的坐标代入上式,得 0.3=a(0-1)²+0.4,解得 a=-0.1,则抛物线的表达式为 y=-0.1(x-1)²+0.4.
(2) 令 y=-0.1(x-1)²+0.4=0,解得 x=-1(舍去)或 x=3,即 OE=3 m.
(3) 建立如图②所示的平面直角坐标系,设点 D(m,0),由(2)知点 E(3,0),设抛物线的表达式为 y=-0.1(x-m)(x-3)=-0.1x²+(0.3+0.1m)x-0.3m,则$\frac{4ac-b²}{4a}=c-\frac{b²}{4a}=-0.3m-\frac{(0.3+0.1m)^2}{4×(-0.1)}=0.2$,解得 m=3-2√2(不合题意的值已舍去),即 OD 的长为(3-2√2)m.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点坐标M(1,0.4)，且过点A(0,0.3)，选择顶点式设抛物线解析式，代入A点坐标即可求出未知参数，得到解析式。
(2) 落球点E的高度为0，即y=0，代入第一问所得解析式求解，舍去不符合实际的负根，得到的正根就是OE的长度。
(3) 反弹后抛物线形状与原抛物线一致，故二次项系数相同；已知反弹后抛物线过D(m,0)和E(3,0)，可设交点式解析式，结合反弹后最高高度为0.2（即顶点纵坐标为0.2），利用顶点纵坐标公式列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到OD的长度。
【解析】
(1) 由题意得A(0,0.3)，抛物线顶点M(1,0.4)，设抛物线表达式为$ y=a(x-1)^2+0.4 $，将A(0,0.3)代入得：
$ 0.3=a(0-1)^2+0.4 $，解得$ a=-0.1 $
故抛物线的表达式为$ y=-0.1(x-1)^2+0.4 $。
(2) 落球时高度为0，令$ y=0 $，代入解析式得：
$ -0.1(x-1)^2+0.4=0 $，解得$ x_1=3 $，$ x_2=-1 $（水平距离为负不符合实际，舍去）
因此OE的长为3 m。
(3) 反弹后抛物线形状不变，故$ a=-0.1 $，设D(m,0)，由(2)知E(3,0)，设反弹后抛物线表达式为$ y=-0.1(x-m)(x-3) $，整理得$ y=-0.1x^2+(0.3+0.1m)x-0.3m $。
已知反弹后最高高度为0.2，即顶点纵坐标为0.2，代入顶点纵坐标公式$ \frac{4ac-b^2}{4a}=0.2 $得：
$ -0.3m-\frac{(0.3+0.1m)^2}{4×(-0.1)}=0.2 $
解方程舍去不合题意的解，得$ m=3-2\sqrt{2} $，即OD的长为$ (3-2\sqrt{2}) $ m。
【答案】
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数图像性质
【点评】
本题结合乒乓球运动场景考查二次函数的应用，需要熟练掌握二次函数不同解析式的适用场景，能结合实际意义提取有效坐标信息，同时要注意实际问题中自变量的取值范围，对运算能力和信息提取能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线的顶点坐标M(1,0.4)，且过点A(0,0.3)，选择顶点式设抛物线解析式，代入A点坐标即可求出未知参数，得到解析式。
(2) 落球点E的高度为0，即y=0，代入第一问所得解析式求解，舍去不符合实际的负根，得到的正根就是OE的长度。
(3) 反弹后抛物线形状与原抛物线一致，故二次项系数相同；已知反弹后抛物线过D(m,0)和E(3,0)，可设交点式解析式，结合反弹后最高高度为0.2（即顶点纵坐标为0.2），利用顶点纵坐标公式列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到OD的长度。
【解析】
(1) 由题意得A(0,0.3)，抛物线顶点M(1,0.4)，设抛物线表达式为$ y=a(x-1)^2+0.4 $，将A(0,0.3)代入得：
$ 0.3=a(0-1)^2+0.4 $，解得$ a=-0.1 $
故抛物线的表达式为$ y=-0.1(x-1)^2+0.4 $。
(2) 落球时高度为0，令$ y=0 $，代入解析式得：
$ -0.1(x-1)^2+0.4=0 $，解得$ x_1=3 $，$ x_2=-1 $（水平距离为负不符合实际，舍去）
因此OE的长为3 m。
(3) 反弹后抛物线形状不变，故$ a=-0.1 $，设D(m,0)，由(2)知E(3,0)，设反弹后抛物线表达式为$ y=-0.1(x-m)(x-3) $，整理得$ y=-0.1x^2+(0.3+0.1m)x-0.3m $。
已知反弹后最高高度为0.2，即顶点纵坐标为0.2，代入顶点纵坐标公式$ \frac{4ac-b^2}{4a}=0.2 $得：
$ -0.3m-\frac{(0.3+0.1m)^2}{4×(-0.1)}=0.2 $
解方程舍去不合题意的解，得$ m=3-2\sqrt{2} $，即OD的长为$ (3-2\sqrt{2}) $ m。
【答案】
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数图像性质
【点评】
本题结合乒乓球运动场景考查二次函数的应用，需要熟练掌握二次函数不同解析式的适用场景，能结合实际意义提取有效坐标信息，同时要注意实际问题中自变量的取值范围，对运算能力和信息提取能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
