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9. ★★★（内江中考）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线$l// y$轴，且直线$l$分别与反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$和$y=\dfrac{k}{x}$的图象交于$P,Q$两点.若$S_{△ POQ}=15$，则$k$的值为（
A.38
B.22
C.-7
D.-22
D
）A.38
B.22
C.-7
D.-22
答案
9. D 解析:设点$P(a,b)$,$Q(a,\frac{k}{a})$,则$OM=a$,$PM=b$,$MQ=-\frac{k}{a}$,$\therefore PQ=PM+MQ=b-\frac{k}{a}$.
∵点P在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上,$\therefore ab=8.$$\because S_{△ POQ}=15,$$\therefore \frac{1}{2}PQ·OM=15,$$\therefore \frac{1}{2}a(b-\frac{k}{a})=15,$$\therefore ab-k=30,$$\therefore 8-k=30$,解得$k=-22$.故选D.
∵点P在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上,$\therefore ab=8.$$\because S_{△ POQ}=15,$$\therefore \frac{1}{2}PQ·OM=15,$$\therefore \frac{1}{2}a(b-\frac{k}{a})=15,$$\therefore ab-k=30,$$\therefore 8-k=30$,解得$k=-22$.故选D.
解析
【分析】
解题时首先观察到直线l平行于y轴，因此P、Q两点的横坐标相同，可先设出两点坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标满足解析式的性质，得到P点横纵坐标的乘积为8。△POQ的底为PQ的长度，高为点M到原点的距离OM，根据三角形面积公式列出等式，代入已知条件即可求出k的值，注意位于第四象限的反比例函数k为负数，计算时要注意坐标的符号。
【解析】
设点P的坐标为$(a,b)$，因为直线$l// y$轴，所以Q点的横坐标也为a，即Q点坐标为$(a,\frac{k}{a})$，其中$a＞0$。
由图可知$OM=a$，$PM=b$，因为Q在第四象限，$\frac{k}{a}＜0$，所以$MQ=-\frac{k}{a}$，因此$PQ=PM+MQ=b-\frac{k}{a}$。
∵点P在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，
∴将$P(a,b)$代入解析式得$ab=8$。
∵$S_{△ POQ}=15$，三角形的高为$OM=a$，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} · PQ · OM =15$，
将PQ、OM代入得：$\frac{1}{2}a(b-\frac{k}{a})=15$，
化简得：$\frac{1}{2}(ab -k)=15$，即$ab -k=30$。
把$ab=8$代入得：$8 -k=30$，解得$k=-22$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算，反比例函数的性质
【点评】
本题将反比例函数的性质与平面直角坐标系内的三角形面积计算结合考查，解题的突破口是利用平行于y轴的直线上所有点横坐标相等的特点设出点坐标，计算时要注意不同象限内点的坐标符号，避免因符号判断错误导致结果出错。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到直线l平行于y轴，因此P、Q两点的横坐标相同，可先设出两点坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标满足解析式的性质，得到P点横纵坐标的乘积为8。△POQ的底为PQ的长度，高为点M到原点的距离OM，根据三角形面积公式列出等式，代入已知条件即可求出k的值，注意位于第四象限的反比例函数k为负数，计算时要注意坐标的符号。
【解析】
设点P的坐标为$(a,b)$，因为直线$l// y$轴，所以Q点的横坐标也为a，即Q点坐标为$(a,\frac{k}{a})$，其中$a＞0$。
由图可知$OM=a$，$PM=b$，因为Q在第四象限，$\frac{k}{a}＜0$，所以$MQ=-\frac{k}{a}$，因此$PQ=PM+MQ=b-\frac{k}{a}$。
∵点P在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，
∴将$P(a,b)$代入解析式得$ab=8$。
∵$S_{△ POQ}=15$，三角形的高为$OM=a$，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} · PQ · OM =15$，
将PQ、OM代入得：$\frac{1}{2}a(b-\frac{k}{a})=15$，
化简得：$\frac{1}{2}(ab -k)=15$，即$ab -k=30$。
把$ab=8$代入得：$8 -k=30$，解得$k=-22$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算，反比例函数的性质
【点评】
本题将反比例函数的性质与平面直角坐标系内的三角形面积计算结合考查，解题的突破口是利用平行于y轴的直线上所有点横坐标相等的特点设出点坐标，计算时要注意不同象限内点的坐标符号，避免因符号判断错误导致结果出错。
【难度系数】
0.6
10. ★★★ 如图,已知点A、点C在双曲线$y=\frac{2}{x}$上,点B、点D在双曲线$y=\frac{5}{x}$上,四边形ABCD为平行四边形.若$AB// x$轴,则平行四边形ABCD的面积等于 (
A.6
B.4
C.5
D.10
A
)A.6
B.4
C.5
D.10
答案
10. A 解析:设AD,BC与x轴的交点分别是E,F,如图,设A的坐标为$(a,\frac{2}{a})$,$\because AB// x$轴,
∴点B的坐标为$(\frac{5a}{2},\frac{2}{a})$,$\therefore AB=\frac{5a}{2}-a=\frac{3a}{2}$,$\therefore S_{四边形ABFE}=\frac{3a}{2}×\frac{2}{a}=3$,同理可得四边形EFCD的面积是3,
∴平行四边形ABCD的面积等于6,故选A.
解析
【分析】
解题时首先利用反比例函数上点的坐标特征，结合AB平行于x轴可知点A、B纵坐标相同，我们可以先设出点A的坐标，进而求出点B的坐标得到AB的长度，先计算出x轴上方部分平行四边形的面积；再根据平行四边形的性质，同理求出x轴下方部分的面积，两部分相加即可得到平行四边形ABCD的总面积，计算过程中参数会自动消去，得到定值面积。
【解析】
设AD、BC与x轴的交点分别是E、F，设点A的坐标为$(a,\frac{2}{a})$。
∵$AB// x$轴，
∴点B的纵坐标与点A相等，为$\frac{2}{a}$。
又
∵点B在双曲线$y=\frac{5}{x}$上，将$y=\frac{2}{a}$代入得$x=\frac{5}{\frac{2}{a}}=\frac{5a}{2}$，即点B坐标为$(\frac{5a}{2},\frac{2}{a})$。
∴AB的长度为$\frac{5a}{2}-a=\frac{3a}{2}$。
平行四边形ABFE的高为点A的纵坐标$\frac{2}{a}$，因此$S_{四边形ABFE}=\frac{3a}{2}×\frac{2}{a}=3$。
同理可得，四边形EFCD的面积是3。
∴平行四边形ABCD的面积为$3+3=6$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；平行四边形的面积；平行于坐标轴的点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形结合的典型题型，解题的核心是利用平行于x轴的点纵坐标相等的特征设点坐标，结合反比例函数解析式表示出对应点的坐标，计算面积时参数会自然消去，不需要求解参数的具体值，对坐标运算的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用反比例函数上点的坐标特征，结合AB平行于x轴可知点A、B纵坐标相同，我们可以先设出点A的坐标，进而求出点B的坐标得到AB的长度，先计算出x轴上方部分平行四边形的面积；再根据平行四边形的性质，同理求出x轴下方部分的面积，两部分相加即可得到平行四边形ABCD的总面积，计算过程中参数会自动消去，得到定值面积。
【解析】
设AD、BC与x轴的交点分别是E、F，设点A的坐标为$(a,\frac{2}{a})$。
∵$AB// x$轴，
∴点B的纵坐标与点A相等，为$\frac{2}{a}$。
又
∵点B在双曲线$y=\frac{5}{x}$上，将$y=\frac{2}{a}$代入得$x=\frac{5}{\frac{2}{a}}=\frac{5a}{2}$，即点B坐标为$(\frac{5a}{2},\frac{2}{a})$。
∴AB的长度为$\frac{5a}{2}-a=\frac{3a}{2}$。
平行四边形ABFE的高为点A的纵坐标$\frac{2}{a}$，因此$S_{四边形ABFE}=\frac{3a}{2}×\frac{2}{a}=3$。
同理可得，四边形EFCD的面积是3。
∴平行四边形ABCD的面积为$3+3=6$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；平行四边形的面积；平行于坐标轴的点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形结合的典型题型，解题的核心是利用平行于x轴的点纵坐标相等的特征设点坐标，结合反比例函数解析式表示出对应点的坐标，计算面积时参数会自然消去，不需要求解参数的具体值，对坐标运算的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11. ★★★ 如图,在x轴的正半轴上依次截取$OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$,过点$A_1,A_2,A_3$分别作x轴的垂线与反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象相交于点$P_1,P_2,P_3$,得$△ OP_1A_1$,$△ A_1P_2A_2$,$△ A_2P_3A_3$,并设其面积分别为$S_1,S_2,S_3$,以此类推,则$S_{2024}$的值为
$\frac{1}{2024}$
.答案
11. $\frac{1}{2024}$ 解析:连接$OP_2,OP_3,OP_4$,如图所示,
∵$P_1,P_2,P_3,P_4$是反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上的点,$A_1P_1,A_2P_2,A_3P_3,A_4P_4$都垂直于x轴,$\therefore S_1=S_{△ OP_1A_1}=\frac{1}{2}OA_1·A_1P_1=\frac{1}{2}×2=1$,根据反比例函数的几何性质可得,$S_1=S_{△ OP_1A_1}=S_{△ OP_2A_2}=S_{△ OP_3A_3}=S_{△ OP_4A_4}=1.$$\because OA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4,$$\therefore S_2=S_{△ A_1P_2A_2}=\frac{1}{2}S_1$,$S_3=\frac{1}{3}S_1$,$S_4=\frac{1}{4}S_1$,依此规律,可得$S_{2024}=\frac{1}{2024}S_1=\frac{1}{2024}$.故答案为$\frac{1}{2024}$.
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点三点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。本题中k=2，因此每个以原点、x轴上的点$A_n$、双曲线上的点$P_n$为顶点的三角形面积都为1。再观察阴影三角形的底：$OA_1=A_1A_2=A_2A_3=…$，阴影三角形$△A_{n-1}P_nA_n$和$△OP_nA_n$同高，底的比为$1:n$，因此面积比也为$1:n$，由此可归纳出$S_n=\frac{1}{n}$的规律，代入n=2024即可求解。
【解析】
连接$OP_2,OP_3,OP_4$，如图所示：
∵$P_1,P_2,P_3,P_4$是反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上的点，$A_1P_1,A_2P_2,A_3P_3,A_4P_4$都垂直于x轴，
$\therefore S_1=S_{△ OP_1A_1}=\frac{1}{2}OA_1·A_1P_1=\frac{1}{2}×2=1$，根据反比例函数的几何性质可得，$S_1=S_{△ OP_1A_1}=S_{△ OP_2A_2}=S_{△ OP_3A_3}=S_{△ OP_4A_4}=1$。
$\because OA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4$，
$\therefore S_2=S_{△ A_1P_2A_2}=\frac{1}{2}S_1$，$S_3=\frac{1}{3}S_1$，$S_4=\frac{1}{4}S_1$，依此规律，可得$S_n=\frac{1}{n}$，因此$S_{2024}=\frac{1}{2024}S_1=\frac{1}{2024}$。
【答案】
$\frac{1}{2024}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义、三角形面积计算、规律探究
【点评】
本题是反比例函数结合规律探究的典型题型，解题核心是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，结合同高三角形的面积比等于底边长的比推导规律，较好地考查了学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点三点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。本题中k=2，因此每个以原点、x轴上的点$A_n$、双曲线上的点$P_n$为顶点的三角形面积都为1。再观察阴影三角形的底：$OA_1=A_1A_2=A_2A_3=…$，阴影三角形$△A_{n-1}P_nA_n$和$△OP_nA_n$同高，底的比为$1:n$，因此面积比也为$1:n$，由此可归纳出$S_n=\frac{1}{n}$的规律，代入n=2024即可求解。
【解析】
连接$OP_2,OP_3,OP_4$，如图所示：
∵$P_1,P_2,P_3,P_4$是反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上的点，$A_1P_1,A_2P_2,A_3P_3,A_4P_4$都垂直于x轴，
$\therefore S_1=S_{△ OP_1A_1}=\frac{1}{2}OA_1·A_1P_1=\frac{1}{2}×2=1$，根据反比例函数的几何性质可得，$S_1=S_{△ OP_1A_1}=S_{△ OP_2A_2}=S_{△ OP_3A_3}=S_{△ OP_4A_4}=1$。
$\because OA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4$，
$\therefore S_2=S_{△ A_1P_2A_2}=\frac{1}{2}S_1$，$S_3=\frac{1}{3}S_1$，$S_4=\frac{1}{4}S_1$，依此规律，可得$S_n=\frac{1}{n}$，因此$S_{2024}=\frac{1}{2024}S_1=\frac{1}{2024}$。
【答案】
$\frac{1}{2024}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义、三角形面积计算、规律探究
【点评】
本题是反比例函数结合规律探究的典型题型，解题核心是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，结合同高三角形的面积比等于底边长的比推导规律，较好地考查了学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
12. 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0,k≠0)$的图象经过点$A(1,6)$,将
点A先向右平移2个单位,再向下平移一定距离得到点B,点B恰好落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0,k≠0)$的图象上,过A,B两点的直线与y轴交于点D.
(1)求反比例函数的表达式及点D的坐标;
(2)在y轴上有一点$E(0,2)$,连接AE,BE,求$△ ABE$的面积;
(3)在平面直角坐标系中存在点M,使以A,B,E,M为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点M的坐标.
点A先向右平移2个单位,再向下平移一定距离得到点B,点B恰好落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0,k≠0)$的图象上,过A,B两点的直线与y轴交于点D.
(1)求反比例函数的表达式及点D的坐标;
(2)在y轴上有一点$E(0,2)$,连接AE,BE,求$△ ABE$的面积;
(3)在平面直角坐标系中存在点M,使以A,B,E,M为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点M的坐标.
答案
12. (1)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(1,6)$,$\therefore k=6$,
∴反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$.
∵将点$A(1,6)$先向右平移2个单位,再向下平移一定距离得到点B,
∴点B的横坐标为$1+2=3$.
∵点B恰好落在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上,$\therefore y=\frac{6}{3}=2$,$\therefore B(3,2)$.设过点$A(1,6),B(3,2)$的直线AB的表达式为$y=k'x+b'$,$\therefore \begin{cases} k'+b'=6, \\ 3k'+b'=2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k'=-2, \\ b'=8, \end{cases}$
∴直线AB的表达式为$y=-2x+8$,令$x=0$,则$y=8$,$\therefore D(0,8)$.
(2)
∵$B(3,2)$,$E(0,2)$,$\therefore BE// x$轴,$BE=3$.
∵$A(1,6)$,$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE·(y_A-y_B)=\frac{1}{2}×3×(6-2)=6$.
(3)点M的坐标为$(4,6)$或$(2,-2)$或$(-2,6)$. 解析:如图,①若AB是$□ AEBM$的对角线,则$AE// MB$,$AE=MB$,由平移可得$M_1(4,6)$;②若BE是$□ AEMB$的对角线,则$AB// EM$,$AB=ME$,由平移可得$M_2(2,-2)$;③若AE是$□ ABEM$的对角线,则$AM// EB$,$AM=EB$,由平移可得$M_3(-2,6)$.综上所述,使以A,B,E,M为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标为$(4,6)$或$(2,-2)$,$(-2,6)$.
解析
【分析】
(1) 求反比例函数表达式可直接将已知点A坐标代入$y=\frac{k}{x}$求出k值；点A向右平移2个单位后横坐标加2，即可得到点B的横坐标，将其代入反比例函数解析式可求出点B的坐标；再利用待定系数法代入A、B两点坐标求出直线AB的解析式，令解析式中$x=0$即可得到y轴交点D的坐标。
(2) 观察点B和E的坐标可知二者纵坐标相等，因此BE平行于x轴，先求出BE的长度，△ABE的高为A、B两点的纵坐标差，代入三角形面积公式即可求解。
(3) 要使以A、B、E、M为顶点的四边形是平行四边形，需分三种情况讨论：分别以AB、BE、AE为平行四边形的对角线，结合平行四边形对边平行且相等的性质，通过坐标平移即可求出对应M点的坐标。
【解析】
(1)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(1,6)$，代入得$6=\frac{k}{1}$，$\therefore k=6$，
∴反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$。
∵将点$A(1,6)$先向右平移2个单位，再向下平移一定距离得到点B，
∴点B的横坐标为$1+2=3$。
∵点B恰好落在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，将$x=3$代入得$y=\frac{6}{3}=2$，$\therefore B(3,2)$。
设过点$A(1,6),B(3,2)$的直线AB的表达式为$y=k'x+b'$，代入两点坐标得：
$\begin{cases} k'+b'=6, \\ 3k'+b'=2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k'=-2, \\ b'=8, \end{cases}$
∴直线AB的表达式为$y=-2x+8$，令$x=0$，则$y=8$，$\therefore D(0,8)$。
(2)
∵$B(3,2)$，$E(0,2)$，两点纵坐标相等，$\therefore BE// x$轴，$BE=3-0=3$。
∵$A(1,6)$，△ABE中BE边上的高为$y_A - y_B=6-2=4$，
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE·(y_A-y_B)=\frac{1}{2}×3×4=6$。
(3) 分三种情况讨论：
①若AB为平行四边形的对角线，根据平行四边形对边平行且相等的性质，由平移可得$M_1(4,6)$；
②若BE为平行四边形的对角线，同理由平移可得$M_2(2,-2)$；
③若AE为平行四边形的对角线，同理由平移可得$M_3(-2,6)$。
综上，点M的坐标为$(4,6)$或$(2,-2)$或$(-2,6)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$，点D坐标为$\boldsymbol{(0,8)}$；
(2) $△ ABE$的面积为$\boldsymbol{6}$；
(3) 点M的坐标为$\boldsymbol{(4,6)}$或$\boldsymbol{(2,-2)}$或$\boldsymbol{(-2,6)}$。
【知识点】
反比例函数图象与性质，一次函数解析式求解，平行四边形的性质
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题型，结合了坐标平移、图形面积计算、平行四边形存在性等考点，既考查了待定系数法求函数解析式的基础方法，也考查了分类讨论的数学思想，是函数板块的典型综合题。
【难度系数】
0.6
(1) 求反比例函数表达式可直接将已知点A坐标代入$y=\frac{k}{x}$求出k值；点A向右平移2个单位后横坐标加2，即可得到点B的横坐标，将其代入反比例函数解析式可求出点B的坐标；再利用待定系数法代入A、B两点坐标求出直线AB的解析式，令解析式中$x=0$即可得到y轴交点D的坐标。
(2) 观察点B和E的坐标可知二者纵坐标相等，因此BE平行于x轴，先求出BE的长度，△ABE的高为A、B两点的纵坐标差，代入三角形面积公式即可求解。
(3) 要使以A、B、E、M为顶点的四边形是平行四边形，需分三种情况讨论：分别以AB、BE、AE为平行四边形的对角线，结合平行四边形对边平行且相等的性质，通过坐标平移即可求出对应M点的坐标。
【解析】
(1)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(1,6)$，代入得$6=\frac{k}{1}$，$\therefore k=6$，
∴反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$。
∵将点$A(1,6)$先向右平移2个单位，再向下平移一定距离得到点B，
∴点B的横坐标为$1+2=3$。
∵点B恰好落在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，将$x=3$代入得$y=\frac{6}{3}=2$，$\therefore B(3,2)$。
设过点$A(1,6),B(3,2)$的直线AB的表达式为$y=k'x+b'$，代入两点坐标得：
$\begin{cases} k'+b'=6, \\ 3k'+b'=2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k'=-2, \\ b'=8, \end{cases}$
∴直线AB的表达式为$y=-2x+8$，令$x=0$，则$y=8$，$\therefore D(0,8)$。
(2)
∵$B(3,2)$，$E(0,2)$，两点纵坐标相等，$\therefore BE// x$轴，$BE=3-0=3$。
∵$A(1,6)$，△ABE中BE边上的高为$y_A - y_B=6-2=4$，
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE·(y_A-y_B)=\frac{1}{2}×3×4=6$。
(3) 分三种情况讨论：
①若AB为平行四边形的对角线，根据平行四边形对边平行且相等的性质，由平移可得$M_1(4,6)$；
②若BE为平行四边形的对角线，同理由平移可得$M_2(2,-2)$；
③若AE为平行四边形的对角线，同理由平移可得$M_3(-2,6)$。
综上，点M的坐标为$(4,6)$或$(2,-2)$或$(-2,6)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$，点D坐标为$\boldsymbol{(0,8)}$；
(2) $△ ABE$的面积为$\boldsymbol{6}$；
(3) 点M的坐标为$\boldsymbol{(4,6)}$或$\boldsymbol{(2,-2)}$或$\boldsymbol{(-2,6)}$。
【知识点】
反比例函数图象与性质，一次函数解析式求解，平行四边形的性质
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题型，结合了坐标平移、图形面积计算、平行四边形存在性等考点，既考查了待定系数法求函数解析式的基础方法，也考查了分类讨论的数学思想，是函数板块的典型综合题。
【难度系数】
0.6
13. （株洲中考）如图所示，在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y=2x$的图象$l$与函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象（记为$\varGamma$）交于点$A$，过点$A$作$AB ⊥ y$轴于$B$，且$AB=1$，点$C$在线段$OB$上（不含端点），且$OC=t$，过点$C$作直线$l_1 // x$轴，交$l$于点$D$，交图象$\varGamma$于点$E$.
(1)求$k$的值，并且用含$t$的式子表示点$D$的横坐标；
(2)连接$OE$，$BE$，$AE$，记$△ OBE$，$△ ADE$的面积分别为$S_1$，$S_2$，设$U=S_1 - S_2$，求$U$的最大值.
(1)求$k$的值，并且用含$t$的式子表示点$D$的横坐标；
(2)连接$OE$，$BE$，$AE$，记$△ OBE$，$△ ADE$的面积分别为$S_1$，$S_2$，设$U=S_1 - S_2$，求$U$的最大值.
答案
13. (1)
∵$AB⊥y$轴,且$AB=1$,
∴点A的横坐标为1.
∵点A在直线$y=2x$上,$\therefore y=2×1=2$,$\therefore$点$A(1,2)$,$\therefore B(0,2)$.
∵点A在函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,$\therefore k=1×2=2$.
∵$OC=t$,$\therefore C(0,t)$.
∵$CE// x$轴,
∴点D的纵坐标为t.
∵点D在直线$y=2x$上,$\therefore t=2x$,$\therefore x=\frac{1}{2}t$,
∴点D的横坐标为$\frac{1}{2}t$.
(2)由(1)知$k=2$,
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$,由(1)知$CE// x$轴,$C(0,t)$,
∴点E的纵坐标为t.
∵点E在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上,$\therefore x=\frac{2}{t}$,$\therefore E(\frac{2}{t},t)$,$\therefore CE=\frac{2}{t}$.
∵$B(0,2)$,$\therefore OB=2$,$\therefore S_1=S_{△ OBE}=\frac{1}{2}OB·CE=\frac{1}{2}×2×\frac{2}{t}=\frac{2}{t}$.由(1)知$A(1,2)$,$D(\frac{1}{2}t,t)$,$\therefore DE=\frac{2}{t}-\frac{1}{2}t$.
∵$CE// x$轴,$\therefore S_2=S_{△ ADE}=\frac{1}{2}DE(y_A-y_D)=\frac{1}{2}×(\frac{2}{t}-\frac{1}{2}t)(2-t)=\frac{1}{4}t^2-\frac{1}{2}t+\frac{2}{t}-1$,$\therefore U=S_1-S_2=\frac{2}{t}-(\frac{1}{4}t^2-\frac{1}{2}t+\frac{2}{t}-1)=-\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{2}t+1=-\frac{1}{4}(t-1)^2+\frac{5}{4}$.
∵点C在线段OB上(不含端点),$\therefore 0＜t＜2$,
∴当$t=1$时,U取得最大值,为$\frac{5}{4}$.
∵$AB⊥y$轴,且$AB=1$,
∴点A的横坐标为1.
∵点A在直线$y=2x$上,$\therefore y=2×1=2$,$\therefore$点$A(1,2)$,$\therefore B(0,2)$.
∵点A在函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,$\therefore k=1×2=2$.
∵$OC=t$,$\therefore C(0,t)$.
∵$CE// x$轴,
∴点D的纵坐标为t.
∵点D在直线$y=2x$上,$\therefore t=2x$,$\therefore x=\frac{1}{2}t$,
∴点D的横坐标为$\frac{1}{2}t$.
(2)由(1)知$k=2$,
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$,由(1)知$CE// x$轴,$C(0,t)$,
∴点E的纵坐标为t.
∵点E在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上,$\therefore x=\frac{2}{t}$,$\therefore E(\frac{2}{t},t)$,$\therefore CE=\frac{2}{t}$.
∵$B(0,2)$,$\therefore OB=2$,$\therefore S_1=S_{△ OBE}=\frac{1}{2}OB·CE=\frac{1}{2}×2×\frac{2}{t}=\frac{2}{t}$.由(1)知$A(1,2)$,$D(\frac{1}{2}t,t)$,$\therefore DE=\frac{2}{t}-\frac{1}{2}t$.
∵$CE// x$轴,$\therefore S_2=S_{△ ADE}=\frac{1}{2}DE(y_A-y_D)=\frac{1}{2}×(\frac{2}{t}-\frac{1}{2}t)(2-t)=\frac{1}{4}t^2-\frac{1}{2}t+\frac{2}{t}-1$,$\therefore U=S_1-S_2=\frac{2}{t}-(\frac{1}{4}t^2-\frac{1}{2}t+\frac{2}{t}-1)=-\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{2}t+1=-\frac{1}{4}(t-1)^2+\frac{5}{4}$.
∵点C在线段OB上(不含端点),$\therefore 0＜t＜2$,
∴当$t=1$时,U取得最大值,为$\frac{5}{4}$.
解析
【分析】
(1) 首先由AB垂直y轴且AB=1，可得点A的横坐标为1，将其代入一次函数解析式可求出点A的坐标，再把A点坐标代入反比例函数解析式即可求出k值；已知OC=t可得点C纵坐标为t，结合直线$l_1$平行x轴可知点D纵坐标为t，代入一次函数解析式即可求出点D的横坐标。
(2) 先根据反比例函数解析式求出点E的坐标，再利用三角形面积公式分别求出$S_1$、$S_2$的表达式，进而得到U关于t的函数关系式，将函数配方为顶点式，结合t的取值范围即可求出U的最大值。
【解析】
(1) $\because AB⊥ y$轴，且$AB=1$，
$\therefore$点A的横坐标为1。
$\because$点A在直线$y=2x$上，$\therefore y=2×1=2$，$\therefore$点$A(1,2)$，$\therefore B(0,2)$。
$\because$点A在函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，$\therefore k=1×2=2$。
$\because OC=t$，$\therefore C(0,t)$。
$\because CE// x$轴，
$\therefore$点D的纵坐标为t。
$\because$点D在直线$y=2x$上，$\therefore t=2x$，$\therefore x=\dfrac{1}{2}t$，
$\therefore$点D的横坐标为$\dfrac{1}{2}t$。
(2) 由(1)知$k=2$，
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2}{x}$，由(1)知$CE// x$轴，$C(0,t)$，
$\therefore$点E的纵坐标为t。
$\because$点E在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象上，$\therefore x=\dfrac{2}{t}$，$\therefore E(\dfrac{2}{t},t)$，$\therefore CE=\dfrac{2}{t}$。
$\because B(0,2)$，$\therefore OB=2$，$\therefore S_1=S_{△ OBE}=\dfrac{1}{2}· OB· CE=\dfrac{1}{2}×2×\dfrac{2}{t}=\dfrac{2}{t}$。
由(1)知$A(1,2)$，$D(\dfrac{1}{2}t,t)$，$\therefore DE=\dfrac{2}{t}-\dfrac{1}{2}t$。
$\because CE// x$轴，$\therefore S_2=S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}· DE·(y_A-y_D)=\dfrac{1}{2}×(\dfrac{2}{t}-\dfrac{1}{2}t)(2-t)=\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{2}{t}-1$，
$\therefore U=S_1-S_2=\dfrac{2}{t}-(\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{2}{t}-1)=-\dfrac{1}{4}t^2+\dfrac{1}{2}t+1=-\dfrac{1}{4}(t-1)^2+\dfrac{5}{4}$。
$\because$点C在线段OB上(不含端点)，$\therefore 0＜t＜2$，
$\therefore$当$t=1$时，U取得最大值，为$\dfrac{5}{4}$。
【答案】
(1) $k=2$，点D的横坐标为$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}t}$；
(2) U的最大值为$\boldsymbol{\dfrac{5}{4}}$。
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数的图象与性质，二次函数的最值
【点评】
本题是函数综合类题型，考查了函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算及二次函数最值的求解，解题核心是用含t的代数式准确表示各相关点的坐标，再结合面积公式建立函数关系，注重对基础知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.6
(1) 首先由AB垂直y轴且AB=1，可得点A的横坐标为1，将其代入一次函数解析式可求出点A的坐标，再把A点坐标代入反比例函数解析式即可求出k值；已知OC=t可得点C纵坐标为t，结合直线$l_1$平行x轴可知点D纵坐标为t，代入一次函数解析式即可求出点D的横坐标。
(2) 先根据反比例函数解析式求出点E的坐标，再利用三角形面积公式分别求出$S_1$、$S_2$的表达式，进而得到U关于t的函数关系式，将函数配方为顶点式，结合t的取值范围即可求出U的最大值。
【解析】
(1) $\because AB⊥ y$轴，且$AB=1$，
$\therefore$点A的横坐标为1。
$\because$点A在直线$y=2x$上，$\therefore y=2×1=2$，$\therefore$点$A(1,2)$，$\therefore B(0,2)$。
$\because$点A在函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，$\therefore k=1×2=2$。
$\because OC=t$，$\therefore C(0,t)$。
$\because CE// x$轴，
$\therefore$点D的纵坐标为t。
$\because$点D在直线$y=2x$上，$\therefore t=2x$，$\therefore x=\dfrac{1}{2}t$，
$\therefore$点D的横坐标为$\dfrac{1}{2}t$。
(2) 由(1)知$k=2$，
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2}{x}$，由(1)知$CE// x$轴，$C(0,t)$，
$\therefore$点E的纵坐标为t。
$\because$点E在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象上，$\therefore x=\dfrac{2}{t}$，$\therefore E(\dfrac{2}{t},t)$，$\therefore CE=\dfrac{2}{t}$。
$\because B(0,2)$，$\therefore OB=2$，$\therefore S_1=S_{△ OBE}=\dfrac{1}{2}· OB· CE=\dfrac{1}{2}×2×\dfrac{2}{t}=\dfrac{2}{t}$。
由(1)知$A(1,2)$，$D(\dfrac{1}{2}t,t)$，$\therefore DE=\dfrac{2}{t}-\dfrac{1}{2}t$。
$\because CE// x$轴，$\therefore S_2=S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}· DE·(y_A-y_D)=\dfrac{1}{2}×(\dfrac{2}{t}-\dfrac{1}{2}t)(2-t)=\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{2}{t}-1$，
$\therefore U=S_1-S_2=\dfrac{2}{t}-(\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{2}{t}-1)=-\dfrac{1}{4}t^2+\dfrac{1}{2}t+1=-\dfrac{1}{4}(t-1)^2+\dfrac{5}{4}$。
$\because$点C在线段OB上(不含端点)，$\therefore 0＜t＜2$，
$\therefore$当$t=1$时，U取得最大值，为$\dfrac{5}{4}$。
【答案】
(1) $k=2$，点D的横坐标为$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}t}$；
(2) U的最大值为$\boldsymbol{\dfrac{5}{4}}$。
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数的图象与性质，二次函数的最值
【点评】
本题是函数综合类题型，考查了函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算及二次函数最值的求解，解题核心是用含t的代数式准确表示各相关点的坐标，再结合面积公式建立函数关系，注重对基础知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.6
