1. （营口中考）反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＜0)$的图象位于（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

1. C 解析:
∵反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＜0)$中,k=1＞0,
∴该函数图象在第三象限,故选C.

【分析】
解题时先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象性质：k的正负决定双曲线所在的象限，再结合题目给出的自变量x的取值范围进一步判断即可。第一步先提取反比例函数的比例系数k，第二步根据k的正负确定函数图象整体所在的两个象限，第三步结合x＜0的限制，排除x＞0对应的象限，就能得到最终结果。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＜0)$中，比例系数$k=1＞0$，
∴该反比例函数的图象整体分布在第一、三象限，
又
∵自变量取值为$x＜0$，此时$y=\frac{1}{x}＜0$，即图象上的点横、纵坐标均为负数，
∴该函数的图象位于第三象限，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数图象性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握比例系数k对反比例函数图象位置的影响，同时不要忽略自变量的取值范围对图象位置的限制。
【难度系数】
0.9

2. 以下各点中,不在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$的图象上的点为 （）

A.$(-2,-3)$
B.$(-3,-2)$
C.$(1,5)$
D.$(4,1.5)$

2. C 解析:将$x=-2$代入得$y=\frac{6}{-2}=-3$,在反比例函数图象上,故A不符合要求;将$x=-3$代入得$y=\frac{6}{-3}=-2$,在反比例函数图象上,故B不符合要求;将$x=1$代入得$y=\frac{6}{1}=6≠5$,不在反比例函数图象上,故C符合要求;将$x=4$代入得$y=\frac{6}{4}=1.5$,在反比例函数图象上,故D不符合要求.故选C.

【分析】
要判断点是否在反比例函数图象上，核心依据是：反比例函数图象上任意点的横、纵坐标都满足函数解析式。本题中反比例函数为$y=\dfrac{6}{x}$，也可变形为$xy=6$，解题时可将各选项的横坐标代入解析式计算对应y值，和选项给出的纵坐标比对，也可直接计算各点横纵坐标的乘积是否等于6，逐个验证后找出不符合要求的点即可。
【解析】
我们逐一将各选项的横坐标代入解析式$y=\dfrac{6}{x}$验证：
1. 验证选项A：将$x=-2$代入得$y=\dfrac{6}{-2}=-3$，与选项给出的纵坐标一致，该点在函数图象上，不符合题意；
2. 验证选项B：将$x=-3$代入得$y=\dfrac{6}{-3}=-2$，与选项给出的纵坐标一致，该点在函数图象上，不符合题意；
3. 验证选项C：将$x=1$代入得$y=\dfrac{6}{1}=6≠5$，与选项给出的纵坐标不一致，该点不在函数图象上，符合题意；
4. 验证选项D：将$x=4$代入得$y=\dfrac{6}{4}=1.5$，与选项给出的纵坐标一致，该点在函数图象上，不符合题意。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；代入法求函数值
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，考察核心性质的直接应用，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的逻辑，用代入验证法即可快速解题，属于必须拿分的基础题。
【难度系数】
0.9

3. (2024·广西中考)已知点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象上，若$x_1＜0＜x_2$，则有（）

A.$y_1＜0＜y_2$
B.$y_2＜0＜y_1$
C.$y_1＜y_2＜0$
D.$0＜y_1＜y_2$

3. A 解析:
∵点$M(x_1,y_1)$,$N(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上,$\therefore x_1y_1=2,x_2y_2=2.\because x_1＜0＜x_2,$$\therefore y_1＜0,y_2＞0,\therefore y_1＜0＜y_2.$故选A.

【分析】
解题时可先回忆反比例函数的相关性质：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），图象上的点满足$xy=k$，且当$k＞0$时，图象分布在第一、三象限，第一象限内的点横纵坐标均为正，第三象限内的点横纵坐标均为负。本题已知$x_1＜0＜x_2$，两个点分别在不同象限，因此可直接通过横坐标的符号判断纵坐标的符号，进而比较$y_1$、$0$、$y_2$的大小。
【解析】
∵点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象上，
∴$x_1y_1=2$，$x_2y_2=2$，
∵$x_1＜0＜x_2$，
∴$y_1=\dfrac{2}{x_1}＜0$，$y_2=\dfrac{2}{x_2}＞0$，
∴$y_1＜0＜y_2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数基本性质的应用，解题的关键是根据横坐标的符号判断对应纵坐标的符号，无需用到同一象限内的增减性，解题难度较低。
【难度系数】
0.9

4. 若反比例函数$y=\dfrac{2-k}{x}$的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是。

4. $k＞2$ 解析:
∵反比例函数$y=\frac{2-k}{x}$的图象在第二、四象限,$\therefore 2-k＜0,$$\therefore k＞2.$故答案为$k＞2$.

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的图象与系数的对应关系：对于反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a$为常数且$a≠0$），当$a＞0$时图象位于第一、三象限，当$a＜0$时图象位于第二、四象限。本题已知图象在第二、四象限，因此对应的比例系数$2-k$小于0，接下来解关于$k$的一元一次不等式即可得到取值范围，注意解不等式时两边乘负数，不等号方向要改变。
【解析】
∵反比例函数$y=\dfrac{2-k}{x}$的图象位于第二、四象限，
∴其比例系数小于0，即$2-k＜0$，
移项得：$-k＜-2$，
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，解得$k＞2$。
【答案】
$k＞2$
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质 2.解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查反比例函数图象位置和比例系数的对应关系，只要熟记相关性质，解不等式时注意不等号方向的变化，就能快速求解。
【难度系数】
0.9

5. ★★★ 如图是三个反比例函数的图象的分支，其中$k_1,k_2,k_3$的大小关系是.(用“＞”连接)

5. $k_1＞k_2＞k_3$ 解析:由图象可得,$k_1＞0$,$k_2＜0$,$k_3＜0$.
∵点$(-1,-k_2)$在$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象上,点$(-1,-k_3)$在$y_3=\frac{k_3}{x}$的图象上,$\therefore -k_2＜-k_3,$$\therefore k_2＞k_3$.综上所述,$k_1＞k_2＞k_3$.

【分析】
解题时可分两步推导：第一步，先根据反比例函数图象所在象限判断k的正负：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，$k＞0$时图象位于一、三象限，$k＜0$时图象位于二、四象限，由此可先确定$k_1$为正数，$k_2$、$k_3$为负数，得出$k_1$最大；第二步，比较$k_2$和$k_3$的大小：在第二象限取同一个x值（如$x=-1$），代入两个函数得到对应的y值，结合图象上y值的大小关系，通过不等式变形即可得到$k_2$和$k_3$的大小关系。
【解析】
解：由反比例函数的图象性质可知：
1. $y_1=\frac{k_1}{x}$的图象在第一象限，因此$k_1＞0$；$y_2=\frac{k_2}{x}$、$y_3=\frac{k_3}{x}$的图象在第二象限，因此$k_2＜0$，$k_3＜0$，故$k_1$是三者中最大的。
2. 取特殊值$x=-1$，分别代入$y_2$、$y_3$的解析式：
当$x=-1$时，$y_2=\frac{k_2}{-1}=-k_2$，$y_3=\frac{k_3}{-1}=-k_3$；
由图象可得，$x=-1$时$y_3＞y_2$，即$-k_3＞-k_2$；
根据不等式的基本性质，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$k_3＜k_2$。
综上，三者的大小关系为$k_1＞k_2＞k_3$。
【答案】
$k_1＞k_2＞k_3$
【知识点】
反比例函数图象与系数的关系，不等式的基本性质，有理数大小比较
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握反比例函数中k的正负与图象所在象限的对应关系，利用特殊值法比较同象限内函数的k值大小，能有效降低解题难度，避免因图象位置判断错误导致k值比较颠倒。
【难度系数】
0.6

6. ★★★ 若函数$y=(m-2)x^{m^2-5}$是y关于x的反比例函数.
(1)求m的值；
(2)当$x＜-1$时，求y的取值范围；
(3)当$y＜1$时，求x的取值范围.

6. (1)
∵函数$y=(m-2)x^{m^2-5}$是y关于x的反比例函数,$\therefore \begin{cases} m-2≠0, \\ m^2-5=-1, \end{cases}$ 解得$m=-2$.
(2)由(1)得$m=-2$,
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$.当$x=-1$时,$y=4$.结合函数图象得,当$x＜-1$时,$0＜y＜4$.
(3)
∵$y=-\frac{4}{x}$,
∴当$y=1$时,$x=-4$.结合函数图象得,当$y＜1$时,$x＜-4$或$x＞0$.

【分析】
(1) 求解m的值需依据反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}(k≠0)$，因此要同时满足两个条件：x的指数为-1，且x的系数不为0，据此列方程组求解即可。
(2) 先将求得的m值代入原式得到反比例函数解析式，该函数的k值小于0，在第二象限内y随x的增大而增大，先算出x=-1时对应的y值，再结合x＜-1的范围即可推导y的取值范围。
(3) 求y＜1时x的取值范围，先求出y=1时对应的x值，再结合反比例函数图象分象限讨论：当x＞0时函数值恒为负，自然满足y＜1；当x＜0时结合函数增减性判断x的范围，最后合并两种情况即可。
【解析】
(1)
∵函数$y=(m-2)x^{m^2-5}$是y关于x的反比例函数
$\therefore \begin{cases} m-2≠0 \\ m^2-5=-1 \end{cases}$
解$m^2-5=-1$得$m^2=4$，即$m=\pm2$，结合$m≠2$的条件，解得$m=-2$。
(2) 把$m=-2$代入函数表达式，得反比例函数解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
当$x=-1$时，$y=-\frac{4}{-1}=4$，
∵$k=-4＜0$，当x＜0时，y随x的增大而增大，且y始终大于0，
∴当$x＜-1$时，$0＜y＜4$。
(3) 对于$y=-\frac{4}{x}$，当$y=1$时，$1=-\frac{4}{x}$，解得$x=-4$。
结合函数图象分析：
当$x＞0$时，$y=-\frac{4}{x}＜0$，恒满足$y＜1$；
当$x＜0$时，y随x的增大而增大，若$y＜1$，则$x＜-4$。
综上，当$y＜1$时，$x＜-4$或$x＞0$。
【答案】
(1) $m=-2$；
(2) $0＜y＜4$；
(3) $x＜-4$或$x＞0$
【知识点】
反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式
【点评】
本题考查反比例函数的基础应用，解题时要注意反比例函数定义中系数不为0的限制条件，分析取值范围时结合图象分象限讨论，可有效避免漏解。
【难度系数】
0.6

7. 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象如图所示，点A是该函数图象上一点，AB垂直于x轴，垂足是点B，若$S_{△ AOB}=1$，则k的值为（）


A.1
B.-1
C.2
D.-2

7. D 解析:由于点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上,则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|k|=1$,解得$k=±2$.又
∵函数的图象在第二象限,$\therefore k＜0$,则$k=-2$.故选D.

【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，该点、垂足、原点三点构成的三角形面积等于$\frac{1}{2}|k|$。解题时第一步先利用这个性质结合已知的三角形面积求出$|k|$的值，第二步再根据反比例函数图象所在的象限判断k的正负，最终确定k的取值。
【解析】
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，AB⊥x轴，
∴根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ AOB}=1$，代入得：$\frac{1}{2}|k|=1$，
解得$|k|=2$，即$k=\pm2$。
又
∵反比例函数图象在第二象限，$x＜0$时$y＞0$，
∴$k＜0$，因此$k=-2$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质；绝对值运算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心是对k的几何意义的理解和应用，解题时要注意求出k的绝对值后，必须结合图象所在象限判断k的符号，避免漏看条件选错答案。
【难度系数】
0.8

8. |教材P54练习T3变式 (1)如图①,点A,B是反比例函数$y=\frac{4}{x}$图象上任意两点,过点A,B分别作x轴、y轴的垂线,$S_{阴影}=2,S_{1}+S_{2}=$.
(2)如图②,点A在x轴的正半轴上,点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上,AC交y轴于点B.若点B是AC的中点,$△ AOB$的面积为2,则k的值为.

8. (1)4 解析:
∵点A,B是反比例函数$y=\frac{4}{x}$图象上任意两点,过点A,B分别作x轴、y轴的垂线,$\therefore S_1+S_{阴影}=S_{阴影}+S_2=4.$$\because S_{阴影}=2,$$\therefore S_1=S_2=2,$$\therefore S_1+S_2=4$.
(2)-8 解析:如图,过点C作$CD⊥y$轴于D,$\therefore ∠CDB=∠AOB=90°$.
∵点B是AC的中点,$\therefore AB=CB$,在$△ AOB$和$△ CDB$中,
$\begin{cases} ∠AOB=∠CDB, \\ ∠ABO=∠CBD, \\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ CDB(AAS),$
$\therefore BD=OB,$$\therefore S_{△ CDB}=S_{△ AOB}=S_{△ BCO}=2,$$\therefore S_{△ COD}=4,$
$\therefore \frac{1}{2}|k|=S_{△ COD}=4,$$\therefore |k|=8.$$\because k＜0,$$\therefore k=-8.$

【分析】
(1) 解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$。本题中$k=4$，因此两个矩形的面积均为4，两个矩形的面积和可表示为$S_1+S_2+2S_{阴影}$，代入已知的阴影面积即可计算$S_1+S_2$。
(2) 求k的值需先求$|k|$，结合k的几何意义，先过点C作y轴的垂线构造直角三角形，再利用B是AC中点的条件证明两个三角形全等，将已知的$△ AOB$的面积转化，得到$△ COD$的面积，最后结合反比例函数所在象限判断k的符号即可求出k。
【解析】
(1)
∵点A、B是反比例函数$y=\frac{4}{x}$图象上任意两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，根据反比例函数k的几何意义，可得两个矩形的面积都为$|4|=4$，即$S_1+S_{阴影}=4$，$S_2+S_{阴影}=4$。
已知$S_{阴影}=2$，因此$S_1=4-2=2$，$S_2=4-2=2$，
∴$S_1+S_2=2+2=4$。
(2) 如图，过点C作$CD⊥y$轴于D，
∴$∠CDB=∠AOB=90°$。
∵点B是AC的中点，
∴$AB=CB$。
在$△AOB$和$△CDB$中：
$\begin{cases} ∠AOB=∠CDB \\ ∠ABO=∠CBD \\ AB=CB \end{cases}$
∴$△AOB≌△CDB(AAS)$，
∴$BD=OB$，$S_{△CDB}=S_{△AOB}=2$，因此$S_{△BCO}=S_{△AOB}=2$，
∴$S_{△COD}=S_{△CDB}+S_{△BCO}=2+2=4$。
根据反比例函数k的几何意义，$\frac{1}{2}|k|=S_{△COD}=4$，解得$|k|=8$。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$x＜0$，图象在第二象限，
∴$k＜0$，
∴$k=-8$。

【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{-8}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数的常见典型题，侧重考查k的几何意义的灵活运用，第二问通过构造全等三角形完成面积转化是解题的突破口，能有效考查学生的数形结合能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7