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20. 如图,上下底面是全等正六边形的礼盒,其主视图与左视图均由矩形构成,主视图中大矩形边长如图所示,左视图中包含两个全等的矩形.如果用彩色胶带包扎礼盒(如图),所需胶带长度至少为多少?(参考数据: $\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732,\sqrt{5}\approx2.236$)
答案
根据题意,作出实际图形的上底,如图,AC,CD是上底面的两边,则AC=60÷2=30(cm),∠ACD=120°.连接AD,过点C作CB⊥AD于点B,则AB = AC · sin 60° = 15√3 (cm),
∴ AD=2AB=30√3 (cm).故胶带长度至少为30√3×6+20×6≈431.76(cm).答:所需胶带长度至少为431.76 cm.
解析
【分析】
要计算所需胶带的最小长度，需先明确胶带的组成：胶带由两部分构成，一是上下底面共6条等长的斜向胶带，二是侧面共6条等长的竖直胶带，竖直胶带长度等于礼盒的高20cm，因此只需先求出每条斜向胶带的长度。首先根据主视图得到正六边形的对边距离为60cm，结合正六边形内角为120°的性质，通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数求出斜向胶带的长度，最后将两部分长度求和即可。
【解析】
解：取礼盒上底面正六边形分析，设AC、CD为上底面正六边形的相邻两边：
1. 由主视图可知，正六边形的对边距离为60cm，因此正六边形的边长$ AC = 60÷2 = 30\ \mathrm{cm} $，正六边形内角为120°，故$ ∠ ACD = 120° $。
2. 连接AD（AD为每条底面斜向胶带的长度），过点C作$ CB⊥ AD $于点B，根据等腰三角形三线合一，可得$ AB=BD $，$ ∠ ACB = \frac{1}{2}∠ ACD = 60° $。
3. 在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ AB = AC·\sin60° = 30×\frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $，因此$ AD = 2AB = 30\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
4. 计算总胶带长度：底面6条斜向胶带总长度为$ 30\sqrt{3}×6 $，侧面6条竖直胶带总长度为$ 20×6 $，代入数据得：
总长度$ = 30\sqrt{3}×6 + 20×6 \approx 180×1.732 + 120 = 431.76\ \mathrm{cm} $。
【答案】
根据题意,作出实际图形的上底,如图,AC,CD是上底面的两边,则AC=60÷2=30(cm),∠ACD=120°.连接AD,过点C作CB⊥AD于点B,则AB = AC · sin 60° = 15√3 (cm),
∴ AD=2AB=30√3 (cm).故胶带长度至少为30√3×6+20×6≈431.76(cm).答:所需胶带长度至少为431.76 cm.
【知识点】
正六边形的性质；解直角三角形；三视图识别
【点评】
本题结合生活实际，将三视图、正多边形性质和解直角三角形的知识结合考查，解题的核心是通过三视图提取正六边形的尺寸信息，再通过构造直角三角形求出对应线段长度，对空间想象能力和几何计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要计算所需胶带的最小长度，需先明确胶带的组成：胶带由两部分构成，一是上下底面共6条等长的斜向胶带，二是侧面共6条等长的竖直胶带，竖直胶带长度等于礼盒的高20cm，因此只需先求出每条斜向胶带的长度。首先根据主视图得到正六边形的对边距离为60cm，结合正六边形内角为120°的性质，通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数求出斜向胶带的长度，最后将两部分长度求和即可。
【解析】
解：取礼盒上底面正六边形分析，设AC、CD为上底面正六边形的相邻两边：
1. 由主视图可知，正六边形的对边距离为60cm，因此正六边形的边长$ AC = 60÷2 = 30\ \mathrm{cm} $，正六边形内角为120°，故$ ∠ ACD = 120° $。
2. 连接AD（AD为每条底面斜向胶带的长度），过点C作$ CB⊥ AD $于点B，根据等腰三角形三线合一，可得$ AB=BD $，$ ∠ ACB = \frac{1}{2}∠ ACD = 60° $。
3. 在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ AB = AC·\sin60° = 30×\frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $，因此$ AD = 2AB = 30\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
4. 计算总胶带长度：底面6条斜向胶带总长度为$ 30\sqrt{3}×6 $，侧面6条竖直胶带总长度为$ 20×6 $，代入数据得：
总长度$ = 30\sqrt{3}×6 + 20×6 \approx 180×1.732 + 120 = 431.76\ \mathrm{cm} $。
【答案】
根据题意,作出实际图形的上底,如图,AC,CD是上底面的两边,则AC=60÷2=30(cm),∠ACD=120°.连接AD,过点C作CB⊥AD于点B,则AB = AC · sin 60° = 15√3 (cm),
∴ AD=2AB=30√3 (cm).故胶带长度至少为30√3×6+20×6≈431.76(cm).答:所需胶带长度至少为431.76 cm.
【知识点】
正六边形的性质；解直角三角形；三视图识别
【点评】
本题结合生活实际，将三视图、正多边形性质和解直角三角形的知识结合考查，解题的核心是通过三视图提取正六边形的尺寸信息，再通过构造直角三角形求出对应线段长度，对空间想象能力和几何计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
六、(本题满分14分)
21. 用小立方块搭一个几何体,主视图和俯视图如图所示,俯视图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数,试回答下列问题:
(1)俯视图中,$a=$
(2)这个几何体最少由
(3)请在下面所给的方格图中画出当小立方块最多时,该几何体的左视图.(为便于观察,请将形状图中的小方格用阴影标注,示例: )
21. 用小立方块搭一个几何体,主视图和俯视图如图所示,俯视图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数,试回答下列问题:
(1)俯视图中,$a=$
1
,$d=$1
;(2)这个几何体最少由
10
个小立方块搭成,最多由14
个小立方块搭成;(3)请在下面所给的方格图中画出当小立方块最多时,该几何体的左视图.(为便于观察,请将形状图中的小方格用阴影标注,示例: )
答案
(1)1 1 解析:由主视图可知,最左侧一列和最右侧一列均只有一层,故a=d=1.
(2)10 14 解析:b=3,c=2,e=f=g=1时,小立方块最少,共1+3+2+1+1+1+1=10(个);b=e=3,c=f=g=2时,小立方块最多,共1+3+2+1+3+2+2=14(个).
(3)小立方块最多时,该几何体的左视图如图所示.
解析
【分析】
1. 首先明确三视图的对应规则：主视图的列数与俯视图的列数一致，主视图每列的高度对应俯视图同列位置小立方块的最大层数；左视图的列数对应俯视图的行数，左视图每列高度对应俯视图同行位置小立方块的最大层数。
2. 第(1)问：观察主视图可得最左侧、最右侧列的高度均为1，因此俯视图对应列的a、d取值只能为1。
3. 第(2)问：先确定各位置取值范围：主视图第二列高度为3，因此俯视图第二列的b、e最大值为3，最小值为1且至少有一个等于3；主视图第三列高度为2，因此俯视图第三列的c、f、g最大值为2，最小值为1且至少有一个等于2。求最少个数时，每列仅保留1个位置取最大高度，其余取最小值1；求最多个数时，同列所有位置均取最大高度，再求和即可。
4. 第(3)问：小立方块最多时，先确定俯视图每一行的最大层数，按照左视图绘制规则标注阴影即可。
【解析】
(1) 由主视图可知，几何体最左侧列高度为1，最右侧列高度为1，俯视图中a位于最左侧列、d位于最右侧列，因此$a=1$，$d=1$。
(2) 由主视图得：b、e所在列最大层数为3，c、f、g所在列最大层数为2。
求最少小立方块个数：第二列仅1个位置取3，另1个取1；第三列仅1个位置取2，其余2个取1，结合$a=1$、$d=1$，总个数为$1+3+2+1+1+1+1=10$个。
求最多小立方块个数：第二列2个位置都取3，第三列3个位置都取2，结合$a=1$、$d=1$，总个数为$1+3+2+1+3+2+2=14$个。
(3) 小立方块最多时，按照左视图绘制规则，标注阴影如下：
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{1}$
(2) $\boldsymbol{10}$；$\boldsymbol{14}$
(3)
【知识点】
三视图对应关系；由三视图确定几何体；三视图绘制
【点评】
本题考查三视图与几何体的转化能力，解题核心是明确主视图定左右列高度、俯视图定底层布局的对应规则，需要学生具备基础的空间想象能力，易错点为计算最多最少立方块个数时搞错各位置的取值范围，绘制左视图时混淆行列对应关系。
【难度系数】
0.6
1. 首先明确三视图的对应规则：主视图的列数与俯视图的列数一致，主视图每列的高度对应俯视图同列位置小立方块的最大层数；左视图的列数对应俯视图的行数，左视图每列高度对应俯视图同行位置小立方块的最大层数。
2. 第(1)问：观察主视图可得最左侧、最右侧列的高度均为1，因此俯视图对应列的a、d取值只能为1。
3. 第(2)问：先确定各位置取值范围：主视图第二列高度为3，因此俯视图第二列的b、e最大值为3，最小值为1且至少有一个等于3；主视图第三列高度为2，因此俯视图第三列的c、f、g最大值为2，最小值为1且至少有一个等于2。求最少个数时，每列仅保留1个位置取最大高度，其余取最小值1；求最多个数时，同列所有位置均取最大高度，再求和即可。
4. 第(3)问：小立方块最多时，先确定俯视图每一行的最大层数，按照左视图绘制规则标注阴影即可。
【解析】
(1) 由主视图可知，几何体最左侧列高度为1，最右侧列高度为1，俯视图中a位于最左侧列、d位于最右侧列，因此$a=1$，$d=1$。
(2) 由主视图得：b、e所在列最大层数为3，c、f、g所在列最大层数为2。
求最少小立方块个数：第二列仅1个位置取3，另1个取1；第三列仅1个位置取2，其余2个取1，结合$a=1$、$d=1$，总个数为$1+3+2+1+1+1+1=10$个。
求最多小立方块个数：第二列2个位置都取3，第三列3个位置都取2，结合$a=1$、$d=1$，总个数为$1+3+2+1+3+2+2=14$个。
(3) 小立方块最多时，按照左视图绘制规则，标注阴影如下：
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{1}$
(2) $\boldsymbol{10}$；$\boldsymbol{14}$
(3)
【知识点】
三视图对应关系；由三视图确定几何体；三视图绘制
【点评】
本题考查三视图与几何体的转化能力，解题核心是明确主视图定左右列高度、俯视图定底层布局的对应规则，需要学生具备基础的空间想象能力，易错点为计算最多最少立方块个数时搞错各位置的取值范围，绘制左视图时混淆行列对应关系。
【难度系数】
0.6
七、(本题满分16分)
22. 学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律.如图，在同一时间，身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6 m.
(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH；
(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去，当小明走到BH中点$B_1$处时，其影子长为$B_1C_1$；当小明继续走剩下路程的$\frac{1}{3}$到$B_2$处时，其影子长为$B_2C_2$；当小明继续走剩下路程的$\frac{1}{4}$到$B_3$时……按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的$\frac{1}{n+1}$到$B_n$处时，其影子$B_nC_n$的长为
22. 学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律.如图，在同一时间，身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6 m.
(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH；
(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去，当小明走到BH中点$B_1$处时，其影子长为$B_1C_1$；当小明继续走剩下路程的$\frac{1}{3}$到$B_2$处时，其影子长为$B_2C_2$；当小明继续走剩下路程的$\frac{1}{4}$到$B_3$时……按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的$\frac{1}{n+1}$到$B_n$处时，其影子$B_nC_n$的长为
3/(n+1)
m.(直接用含n的代数式表示)答案
(1)形成影子的光线和路灯灯泡所在的位置G如图所示.
(2)由题意得△ABC∽△GHC,
∴ AB/GH = BC/HC,
∴ 1.6/GH = 3/(6+3),解得GH=4.8 m.
答:路灯灯泡的垂直高度GH是4.8 m.
(3)3/(n+1) 解析:同理△A₁B₁C₁∽△GHC₁,
∴ A₁B₁/GH = B₁C₁/HC₁.设B₁C₁长为x m,则1.6/4.8 = x/(x+3),解得x = 3/2 m,即B₁C₁ = 3/2 m.
同理1.6/4.8 = B₂C₂/(B₂C₂+2),解得B₂C₂ = 1 m. 以此类推,1.6/4.8 = BₙCₙ/(BₙCₙ + 1/(n+1)×6),解得BₙCₙ = 3/(n+1) m.
解析
【分析】
(1) 灯光下的影子属于中心投影，光线从点光源发出，因此连接影子顶端C和小明头顶A并延长，与过路灯正下方H点的竖直垂线的交点就是路灯灯泡的位置G。
(2) 人和路灯都垂直于地面，因此AB平行于GH，可推出△ABC与△GHC相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数值即可求出GH的高度。
(3) 小明每次移动后，仍然可以利用相似三角形的性质列比例式，先推导每次小明所在位置到H点的距离的规律，再代入相似比例式，即可归纳出影子长度的通用表达式。
【解析】
(1) 画法：连接CA并延长，与过点H且垂直于HC的直线相交于点G，点G即为路灯灯泡所在位置，GC、GA即为形成影子的光线，如图所示。
(2) 由题意可知$AB⊥HC$，$GH⊥HC$，
∴$AB// GH$，
∴$△ ABC ∽ △ GHC$。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{GH}=\frac{BC}{HC}$。
已知$AB=1.6\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，$HC=HB+BC=6+3=9\ \mathrm{m}$，代入得：$\frac{1.6}{GH}=\frac{3}{9}$，解得$GH=4.8\ \mathrm{m}$。
(3) 设$B_nC_n$的长为$x\ \mathrm{m}$，观察规律可得，当小明走到$B_n$处时，$HB_n=6×\frac{1}{n+1}=\frac{6}{n+1}\ \mathrm{m}$。
同理可得$△ A_nB_nC_n ∽ △ GHC_n$，则$\frac{A_nB_n}{GH}=\frac{B_nC_n}{HC_n}$，其中$HC_n=HB_n+B_nC_n=\frac{6}{n+1}+x$，$A_nB_n=1.6\ \mathrm{m}$，$GH=4.8\ \mathrm{m}$。
代入得：$\frac{1.6}{4.8}=\frac{x}{x+\frac{6}{n+1}}$，化简得$\frac{1}{3}=\frac{x}{x+\frac{6}{n+1}}$，解得$x=\frac{3}{n+1}$，即$B_nC_n=\frac{3}{n+1}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)
(2) 路灯灯泡的垂直高度GH是4.8 m。
(3) $\frac{3}{n+1}$
【知识点】
中心投影，相似三角形的应用，规律探究
【点评】
本题结合生活中的投影场景，将相似三角形知识和规律探究结合考查，既要求掌握相似三角形的判定和性质，也需要具备一定的归纳推理能力，贴近生活实际，综合性较强。
【难度系数】
0.6
(1) 灯光下的影子属于中心投影，光线从点光源发出，因此连接影子顶端C和小明头顶A并延长，与过路灯正下方H点的竖直垂线的交点就是路灯灯泡的位置G。
(2) 人和路灯都垂直于地面，因此AB平行于GH，可推出△ABC与△GHC相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数值即可求出GH的高度。
(3) 小明每次移动后，仍然可以利用相似三角形的性质列比例式，先推导每次小明所在位置到H点的距离的规律，再代入相似比例式，即可归纳出影子长度的通用表达式。
【解析】
(1) 画法：连接CA并延长，与过点H且垂直于HC的直线相交于点G，点G即为路灯灯泡所在位置，GC、GA即为形成影子的光线，如图所示。
(2) 由题意可知$AB⊥HC$，$GH⊥HC$，
∴$AB// GH$，
∴$△ ABC ∽ △ GHC$。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{GH}=\frac{BC}{HC}$。
已知$AB=1.6\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，$HC=HB+BC=6+3=9\ \mathrm{m}$，代入得：$\frac{1.6}{GH}=\frac{3}{9}$，解得$GH=4.8\ \mathrm{m}$。
(3) 设$B_nC_n$的长为$x\ \mathrm{m}$，观察规律可得，当小明走到$B_n$处时，$HB_n=6×\frac{1}{n+1}=\frac{6}{n+1}\ \mathrm{m}$。
同理可得$△ A_nB_nC_n ∽ △ GHC_n$，则$\frac{A_nB_n}{GH}=\frac{B_nC_n}{HC_n}$，其中$HC_n=HB_n+B_nC_n=\frac{6}{n+1}+x$，$A_nB_n=1.6\ \mathrm{m}$，$GH=4.8\ \mathrm{m}$。
代入得：$\frac{1.6}{4.8}=\frac{x}{x+\frac{6}{n+1}}$，化简得$\frac{1}{3}=\frac{x}{x+\frac{6}{n+1}}$，解得$x=\frac{3}{n+1}$，即$B_nC_n=\frac{3}{n+1}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)
(2) 路灯灯泡的垂直高度GH是4.8 m。
(3) $\frac{3}{n+1}$
【知识点】
中心投影，相似三角形的应用，规律探究
【点评】
本题结合生活中的投影场景，将相似三角形知识和规律探究结合考查，既要求掌握相似三角形的判定和性质，也需要具备一定的归纳推理能力，贴近生活实际，综合性较强。
【难度系数】
0.6
