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四、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
17. 如图是一个由7个正方体组成的立体图形.
（1）画出该几何体的主视图、左视图和俯视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加
17. 如图是一个由7个正方体组成的立体图形.
（1）画出该几何体的主视图、左视图和俯视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加
4
个小正方体.答案
(1)主视图、左视图和俯视图如图所示.
(2)4 解析:在俯视图上相应位置备注出该位置添加的小正方体的数目,如图所示:
所以最多可以添加4个小正方体.
解析
【分析】
（1）绘制三视图时，主视图从正面观察几何体，确定每一列的小正方形数量；左视图从左面观察，确定每一列的小正方形数量；俯视图从上方观察，确定底层小正方形的分布位置，按对应数量和位置规范绘制即可。
（2）要保持俯视图和左视图不变，首先俯视图不变意味着底层小正方体的位置不能调整，有小正方形的位置均可向上添加小正方体；左视图不变意味着几何体每一行（对应左视图的列）的最大高度不能超过左视图对应列的高度。我们只需要计算俯视图每个位置可添加的小正方体数量，求和即可得到最多添加的总数。
【解析】
（1）①主视图：从正面观察，共有3列，从左到右每列小正方形个数依次为1、3、1，按此画出图形；
②左视图：从左面观察，共有3列，从左到右每列小正方形个数依次为1、3、1，按此画出图形；
③俯视图：从上方观察，共有3行3列，小正方形分布为第一行（最上方）中间1个，第二行中间1个，第三行（最下方）3个，按此画出图形。
（2）首先明确限制条件：俯视图不变，所以仅能在俯视图已有小正方形的位置向上加小正方体；左视图不变，所以几何体从后往前的三行，最大高度分别为3、3、1。
观察俯视图各位置原有层数：左下方位置原有1层，所在行最大高度为3，可添加2个；右下方位置原有1层，所在行最大高度为3，可添加2个；其余位置添加后会改变左视图高度，无法添加。
因此最多可添加的小正方体总数为2+2=4个。
【答案】
(1)主视图、左视图和俯视图如图所示.
(2)4
【知识点】
三视图的画法，三视图的应用
【点评】
本题考查三视图的绘制和根据三视图约束添加小正方体的问题，需要学生掌握三视图的观察方法，理解三个视图之间的对应关系，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）绘制三视图时，主视图从正面观察几何体，确定每一列的小正方形数量；左视图从左面观察，确定每一列的小正方形数量；俯视图从上方观察，确定底层小正方形的分布位置，按对应数量和位置规范绘制即可。
（2）要保持俯视图和左视图不变，首先俯视图不变意味着底层小正方体的位置不能调整，有小正方形的位置均可向上添加小正方体；左视图不变意味着几何体每一行（对应左视图的列）的最大高度不能超过左视图对应列的高度。我们只需要计算俯视图每个位置可添加的小正方体数量，求和即可得到最多添加的总数。
【解析】
（1）①主视图：从正面观察，共有3列，从左到右每列小正方形个数依次为1、3、1，按此画出图形；
②左视图：从左面观察，共有3列，从左到右每列小正方形个数依次为1、3、1，按此画出图形；
③俯视图：从上方观察，共有3行3列，小正方形分布为第一行（最上方）中间1个，第二行中间1个，第三行（最下方）3个，按此画出图形。
（2）首先明确限制条件：俯视图不变，所以仅能在俯视图已有小正方形的位置向上加小正方体；左视图不变，所以几何体从后往前的三行，最大高度分别为3、3、1。
观察俯视图各位置原有层数：左下方位置原有1层，所在行最大高度为3，可添加2个；右下方位置原有1层，所在行最大高度为3，可添加2个；其余位置添加后会改变左视图高度，无法添加。
因此最多可添加的小正方体总数为2+2=4个。
【答案】
(1)主视图、左视图和俯视图如图所示.
(2)4
【知识点】
三视图的画法，三视图的应用
【点评】
本题考查三视图的绘制和根据三视图约束添加小正方体的问题，需要学生掌握三视图的观察方法，理解三个视图之间的对应关系，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
18. 如图,王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B,当他行到P处时发现,他在路灯B下的影长为2米,且恰好位于路灯A的正下方,接着他又走了6.5米到Q处,此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方(已知王琳身高1.8米,路灯B高9米).
(1)标出王琳站在P处在路灯B下的影子;
(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长;
(3)计算路灯A的高度.
(1)标出王琳站在P处在路灯B下的影子;
(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长;
(3)计算路灯A的高度.
答案
(1)线段CP即为王琳站在P处在路灯B下的影子.
(2)由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD,
∴ EP/BD = CP/CD,
∴ 1.8/9 = 2/(2+6.5+QD),解得QD=1.5米.
答:王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米.
(3)
∵ Rt△DFQ∽Rt△DAC,
∴ FQ/AC = QD/CD,
∴ 1.8/AC = 1.5/(1.5+6.5+2),解得AC=12米.
答:路灯A的高度为12米.
(2)由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD,
∴ EP/BD = CP/CD,
∴ 1.8/9 = 2/(2+6.5+QD),解得QD=1.5米.
答:王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米.
(3)
∵ Rt△DFQ∽Rt△DAC,
∴ FQ/AC = QD/CD,
∴ 1.8/AC = 1.5/(1.5+6.5+2),解得AC=12米.
答:路灯A的高度为12米.
解析
【分析】
(1) 影子由光沿直线传播形成，路灯B发出的光线经过王琳头顶E，与地面交于路灯A的正下方C，因此P到C的线段就是P处的影子。
(2) 求Q处影长QD时，观察得EP、BD都垂直于地面CD，可证Rt△CEP与Rt△CBD相似，利用相似三角形对应边成比例，代入已知身高、路灯B高度、CP长度，结合CD=CP+PQ+QD即可列方程求解QD。
(3) 求路灯A高度AC时，同理FQ、AC都垂直于地面CD，可证Rt△DFQ与Rt△DAC相似，代入已求的QD长度、CD总长、身高，列比例式即可求解AC。
【解析】
(1) 根据光沿直线传播的规律，路灯B的光线经过王琳头顶E与地面交于C，线段CP即为所求影子。
(2) 由题意知EP⊥CD，BD⊥CD，
∴∠EPC=∠BDC=90°，又
∵∠C为公共角，
∴Rt△CEP∽Rt△CBD。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{EP}{BD}=\frac{CP}{CD}$，
代入已知EP=1.8m，BD=9m，CP=2m，CD=CP+PQ+QD=2+6.5+QD，
得$\frac{1.8}{9}=\frac{2}{2+6.5+QD}$，
解得$QD=1.5$米。
(3) 由题意知FQ⊥CD，AC⊥CD，
∴∠FQD=∠ACD=90°，又
∵∠D为公共角，
∴Rt△DFQ∽Rt△DAC。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{FQ}{AC}=\frac{QD}{CD}$，
已知CD=2+6.5+1.5=10m，FQ=1.8m，QD=1.5m，
代入得$\frac{1.8}{AC}=\frac{1.5}{10}$，
解得$AC=12$米。
【答案】
(1) 线段CP即为王琳站在P处在路灯B下的影子；
(2) 王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米；
(3) 路灯A的高度为12米。
【知识点】
中心投影，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景，考查相似三角形在实际测量问题中的应用，解题核心是找准相似三角形，正确梳理各边的数量关系列出比例式求解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 影子由光沿直线传播形成，路灯B发出的光线经过王琳头顶E，与地面交于路灯A的正下方C，因此P到C的线段就是P处的影子。
(2) 求Q处影长QD时，观察得EP、BD都垂直于地面CD，可证Rt△CEP与Rt△CBD相似，利用相似三角形对应边成比例，代入已知身高、路灯B高度、CP长度，结合CD=CP+PQ+QD即可列方程求解QD。
(3) 求路灯A高度AC时，同理FQ、AC都垂直于地面CD，可证Rt△DFQ与Rt△DAC相似，代入已求的QD长度、CD总长、身高，列比例式即可求解AC。
【解析】
(1) 根据光沿直线传播的规律，路灯B的光线经过王琳头顶E与地面交于C，线段CP即为所求影子。
(2) 由题意知EP⊥CD，BD⊥CD，
∴∠EPC=∠BDC=90°，又
∵∠C为公共角，
∴Rt△CEP∽Rt△CBD。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{EP}{BD}=\frac{CP}{CD}$，
代入已知EP=1.8m，BD=9m，CP=2m，CD=CP+PQ+QD=2+6.5+QD，
得$\frac{1.8}{9}=\frac{2}{2+6.5+QD}$，
解得$QD=1.5$米。
(3) 由题意知FQ⊥CD，AC⊥CD，
∴∠FQD=∠ACD=90°，又
∵∠D为公共角，
∴Rt△DFQ∽Rt△DAC。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{FQ}{AC}=\frac{QD}{CD}$，
已知CD=2+6.5+1.5=10m，FQ=1.8m，QD=1.5m，
代入得$\frac{1.8}{AC}=\frac{1.5}{10}$，
解得$AC=12$米。
【答案】
(1) 线段CP即为王琳站在P处在路灯B下的影子；
(2) 王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米；
(3) 路灯A的高度为12米。
【知识点】
中心投影，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景，考查相似三角形在实际测量问题中的应用，解题核心是找准相似三角形，正确梳理各边的数量关系列出比例式求解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
五、(本大题共2小题,每小题12分,满分24分)
19. 某兴趣小组开展课外活动.如图,A,B两地相距12米,小明从点A出发沿AB方向匀速前进,2秒后到达点D,此时他(CD)在某一灯光下的影长为AD,继续按原速行走2秒到达点F,此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后,并测得这个影长为1.2米,然后他将速度提高到原来的1.5倍,再行走2秒到达点H,此时他(GH)在同一灯光下的影长为BH(点C,E,G在一条直线上).
(1)请在图中画出光源O点的位置,并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM(不写画法);
(2)求小明原来的速度.
19. 某兴趣小组开展课外活动.如图,A,B两地相距12米,小明从点A出发沿AB方向匀速前进,2秒后到达点D,此时他(CD)在某一灯光下的影长为AD,继续按原速行走2秒到达点F,此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后,并测得这个影长为1.2米,然后他将速度提高到原来的1.5倍,再行走2秒到达点H,此时他(GH)在同一灯光下的影长为BH(点C,E,G在一条直线上).
(1)请在图中画出光源O点的位置,并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM(不写画法);
(2)求小明原来的速度.
答案
(1)如图.
(2)设小明原来的速度为x 米/秒,则CE = 2x 米,AM = AF-MF = (4x-1.2)米,EG = 2×1.5x = 3x(米),BM = AB-AM = 12-(4x-1.2) = 13.2-4x.
∵ 点C,E,G在一条直线上,CG//AB,
∴ △OCE∽△OAM,△OEG∽△OMB,
∴ CE/AM = OE/OM, EG/BM = OE/OM,
∴ CE/AM = EG/BM,即 2x/(4x-1.2) = 3x/(13.2-4x),解得x = 1.5.经检验x=1.5为方程的解,
∴ 小明原来的速度为1.5米/秒.
答:小明原来的速度为1.5米/秒.
解析
【分析】
(1) 确定光源位置依据中心投影的原理：光线是从光源发出的直线，延长过物体顶端与对应影子顶端的两条光线AC、BG，交点即为光源O；再连接OE并延长交AB于点M，FM就是小明在点F时的影长。
(2) 求原来的速度可设速度为x米/秒，先将各相关线段的长度用含x的代数式表示。由CG平行于AB，可得△OCE∽△OAM、△OEG∽△OMB，两组相似三角形有公共的比值$\frac{OE}{OM}$，因此可得到两个相似比相等的等式，进而列出关于x的分式方程，求解后检验即可得到结果。
【解析】
(1) 光源O和影长FM的绘制结果如图：
(2) 设小明原来的速度为x 米/秒，
则$CE = 2x$ 米，
$AM = AF-MF = (4x-1.2)$ 米，
$EG = 2×1.5x = 3x$ 米，
$BM = AB-AM = 12-(4x-1.2) = 13.2-4x$ 米。
∵ 点C,E,G在一条直线上，且$CG// AB$，
∴ $△ OCE∽△ OAM$，$△ OEG∽△ OMB$，
∴ $\frac{CE}{AM}=\frac{OE}{OM}$，$\frac{EG}{BM}=\frac{OE}{OM}$，
∴ $\frac{CE}{AM}=\frac{EG}{BM}$，代入线段长度可得：
$\frac{2x}{4x-1.2}=\frac{3x}{13.2-4x}$，
解得$x = 1.5$，经检验$x=1.5$是原方程的解，符合实际意义。
【答案】
(1) 如图：
(2) 小明原来的速度为1.5米/秒。
【知识点】
中心投影的性质；相似三角形的应用；分式方程的解法
【点评】
本题结合实际投影场景出题，既考查了中心投影的作图方法，又考查了相似三角形的性质应用，解题的关键是找到两组相似三角形的公共中间比建立等量关系，求解分式方程后注意要验根，保证解符合实际意义。
【难度系数】
0.65
(1) 确定光源位置依据中心投影的原理：光线是从光源发出的直线，延长过物体顶端与对应影子顶端的两条光线AC、BG，交点即为光源O；再连接OE并延长交AB于点M，FM就是小明在点F时的影长。
(2) 求原来的速度可设速度为x米/秒，先将各相关线段的长度用含x的代数式表示。由CG平行于AB，可得△OCE∽△OAM、△OEG∽△OMB，两组相似三角形有公共的比值$\frac{OE}{OM}$，因此可得到两个相似比相等的等式，进而列出关于x的分式方程，求解后检验即可得到结果。
【解析】
(1) 光源O和影长FM的绘制结果如图：
(2) 设小明原来的速度为x 米/秒，
则$CE = 2x$ 米，
$AM = AF-MF = (4x-1.2)$ 米，
$EG = 2×1.5x = 3x$ 米，
$BM = AB-AM = 12-(4x-1.2) = 13.2-4x$ 米。
∵ 点C,E,G在一条直线上，且$CG// AB$，
∴ $△ OCE∽△ OAM$，$△ OEG∽△ OMB$，
∴ $\frac{CE}{AM}=\frac{OE}{OM}$，$\frac{EG}{BM}=\frac{OE}{OM}$，
∴ $\frac{CE}{AM}=\frac{EG}{BM}$，代入线段长度可得：
$\frac{2x}{4x-1.2}=\frac{3x}{13.2-4x}$，
解得$x = 1.5$，经检验$x=1.5$是原方程的解，符合实际意义。
【答案】
(1) 如图：
(2) 小明原来的速度为1.5米/秒。
【知识点】
中心投影的性质；相似三角形的应用；分式方程的解法
【点评】
本题结合实际投影场景出题，既考查了中心投影的作图方法，又考查了相似三角形的性质应用，解题的关键是找到两组相似三角形的公共中间比建立等量关系，求解分式方程后注意要验根，保证解符合实际意义。
【难度系数】
0.65
