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1. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）。为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为（
A.800sinα米
B.800tanα米
C.$\frac{800}{\sinα}$米
D.$\frac{800}{\tanα}$米
D
）A.800sinα米
B.800tanα米
C.$\frac{800}{\sinα}$米
D.$\frac{800}{\tanα}$米
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先明确题意：△ABC是直角三角形，∠A=90°，AC=800米，要求AB的长度。第一步先理解俯角的定义，C处的水平线与AB平行，根据平行线的内错角相等，可得俯角α等于∠B；第二步结合锐角三角函数中正切的定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于对边与邻边的比值，将已知边长和角度代入关系式，变形即可求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得AC⊥AB，AC=800米，
∵C点处的水平线与AB平行，根据内错角相等可得∠B=α，
在Rt△ABC中，∠CAB=90°，根据正切的定义：
$\tan B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}}=\frac{AC}{AB}$，
代入∠B=α，AC=800米得：$\tanα=\frac{800}{AB}$，
变形得$AB=\frac{800}{\tanα}$米，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
俯角的定义；锐角三角函数的定义；解直角三角形的应用
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，解题核心是将实际场景中的俯角转化为直角三角形的内角，再结合三角函数的边角关系计算未知边长，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题意：△ABC是直角三角形，∠A=90°，AC=800米，要求AB的长度。第一步先理解俯角的定义，C处的水平线与AB平行，根据平行线的内错角相等，可得俯角α等于∠B；第二步结合锐角三角函数中正切的定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于对边与邻边的比值，将已知边长和角度代入关系式，变形即可求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得AC⊥AB，AC=800米，
∵C点处的水平线与AB平行，根据内错角相等可得∠B=α，
在Rt△ABC中，∠CAB=90°，根据正切的定义：
$\tan B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}}=\frac{AC}{AB}$，
代入∠B=α，AC=800米得：$\tanα=\frac{800}{AB}$，
变形得$AB=\frac{800}{\tanα}$米，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
俯角的定义；锐角三角函数的定义；解直角三角形的应用
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，解题核心是将实际场景中的俯角转化为直角三角形的内角，再结合三角函数的边角关系计算未知边长，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为$30°$，看这栋楼底部C的俯角β为$60°$，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（
A.$140\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
B.$160\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
C.$180\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
D.$200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
B
）A.$140\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
B.$160\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
C.$180\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
D.$200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
答案
2.B
解析
【分析】
这是一道仰角、俯角相关的解直角三角形应用题，解题思路如下：首先过点A向楼BC作水平垂线，垂足为D，此时AD就是题目给出的水平距离120m，同时将楼高BC拆分为BD、CD两段，分别对应仰角α、俯角β所在的两个直角三角形的对边；接下来分别在两个直角三角形中，利用正切函数的定义求出BD和CD的长度，最后将两段长度相加即可得到楼的高度。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D，由题意可知AD=120m，∠BAD=α=30°，∠CAD=β=60°。
在Rt△ABD中，$\tanα=\frac{BD}{AD}$，
∴ $BD = AD·\tan30° = 120×\frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在Rt△ACD中，$\tanβ=\frac{CD}{AD}$，
∴ $CD = AD·\tan60° = 120×\sqrt{3}=120\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴ 楼的高度$BC = BD + CD = 40\sqrt{3}+120\sqrt{3}=160\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形应用，仰角俯角，锐角三角函数
【点评】
本题是仰俯角实际应用的基础题型，核心是通过作辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为数学中的解直角三角形问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
这是一道仰角、俯角相关的解直角三角形应用题，解题思路如下：首先过点A向楼BC作水平垂线，垂足为D，此时AD就是题目给出的水平距离120m，同时将楼高BC拆分为BD、CD两段，分别对应仰角α、俯角β所在的两个直角三角形的对边；接下来分别在两个直角三角形中，利用正切函数的定义求出BD和CD的长度，最后将两段长度相加即可得到楼的高度。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D，由题意可知AD=120m，∠BAD=α=30°，∠CAD=β=60°。
在Rt△ABD中，$\tanα=\frac{BD}{AD}$，
∴ $BD = AD·\tan30° = 120×\frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在Rt△ACD中，$\tanβ=\frac{CD}{AD}$，
∴ $CD = AD·\tan60° = 120×\sqrt{3}=120\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴ 楼的高度$BC = BD + CD = 40\sqrt{3}+120\sqrt{3}=160\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形应用，仰角俯角，锐角三角函数
【点评】
本题是仰俯角实际应用的基础题型，核心是通过作辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为数学中的解直角三角形问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3.(湖北省中考)如图,甲、乙两栋楼相距30m,从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°,A到地面的距离为18m,求乙楼的高.(参考数据:tan35°≈0.7)
答案
3. 解:由题意得,四边形AEDC为矩形,∠BAC=35°,AE=18m,DE=30m,
∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-90°=90°,CD=AE=18m,AC=DE=30m,
∵在Rt△ABC中,tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$,
∴BC=AC·tan∠BAC=30×tan35°≈30×0.7=21(m),
∴BD=BC+CD≈21+18=39(m).答:乙楼的高约为39m.
∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-90°=90°,CD=AE=18m,AC=DE=30m,
∵在Rt△ABC中,tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$,
∴BC=AC·tan∠BAC=30×tan35°≈30×0.7=21(m),
∴BD=BC+CD≈21+18=39(m).答:乙楼的高约为39m.
解析
【分析】
解决这道题首先要将实际场景转化为几何图形关系：第一步先识别四边形AEDC是矩形，利用矩形对边相等的性质得到AC的长度（等于两楼水平间距30m）和CD的长度（等于甲楼A点到地面的高度18m）；第二步观察到△ABC是直角三角形，已知仰角35°和邻边AC的长度，可通过正切函数的定义求出对边BC的长度；最后乙楼的总高度是BC与CD的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：由题意得，四边形AEDC为矩形，∠BAC=35°，AE=18m，DE=30m，
∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-90°=90°，CD=AE=18m，AC=DE=30m，
在Rt△ABC中，$\tan∠ BAC=\frac{BC}{AC}$，
∴$BC=AC·\tan∠ BAC=30×\tan35°\approx30×0.7=21(\mathrm{m})$，
∴$BD=BC+CD\approx21+18=39(\mathrm{m})$。
【答案】
乙楼的高约为39m
【知识点】
解直角三角形应用，正切函数，矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际生活中的基础应用题，解题核心是将实际问题中的长度、角度对应到直角三角形的边和角，结合矩形性质和锐角三角函数的定义即可求解，贴近生活实际，侧重考查基础应用能力。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要将实际场景转化为几何图形关系：第一步先识别四边形AEDC是矩形，利用矩形对边相等的性质得到AC的长度（等于两楼水平间距30m）和CD的长度（等于甲楼A点到地面的高度18m）；第二步观察到△ABC是直角三角形，已知仰角35°和邻边AC的长度，可通过正切函数的定义求出对边BC的长度；最后乙楼的总高度是BC与CD的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：由题意得，四边形AEDC为矩形，∠BAC=35°，AE=18m，DE=30m，
∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-90°=90°，CD=AE=18m，AC=DE=30m，
在Rt△ABC中，$\tan∠ BAC=\frac{BC}{AC}$，
∴$BC=AC·\tan∠ BAC=30×\tan35°\approx30×0.7=21(\mathrm{m})$，
∴$BD=BC+CD\approx21+18=39(\mathrm{m})$。
【答案】
乙楼的高约为39m
【知识点】
解直角三角形应用，正切函数，矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际生活中的基础应用题，解题核心是将实际问题中的长度、角度对应到直角三角形的边和角，结合矩形性质和锐角三角函数的定义即可求解，贴近生活实际，侧重考查基础应用能力。
【难度系数】
0.8
4.(河南省中考)开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝,卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度,如图,他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上.已知佛像头部BC为4m,在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°,头底部C的仰角为37.5°,求佛像BD的高度.(结果精确到0.1m.参考数据:$\sin37.5°\approx0.61$,$\cos37.5°\approx0.79$,$\tan37.5°\approx0.77$)
答案
4. 解:根据题意可知:∠DAB=45°,∠D=90°,
∴BD=AD,在Rt△ADC中,DC=BD-BC=(AD-4)m,∠DAC=37.5°,
∵tan∠DAC=$\frac{DC}{AD}$,
∴tan37.5°=$\frac{AD-4}{AD}$≈0.77,
∴AD≈17.4m.答:佛像BD的高度约为17.4m.
∴BD=AD,在Rt△ADC中,DC=BD-BC=(AD-4)m,∠DAC=37.5°,
∵tan∠DAC=$\frac{DC}{AD}$,
∴tan37.5°=$\frac{AD-4}{AD}$≈0.77,
∴AD≈17.4m.答:佛像BD的高度约为17.4m.
解析
【分析】
解题时先从已知的特殊角45°入手，因为△ABD是直角三角形，∠DAB=45°，可得BD=AD，将两个未知边转化为同一个量；再结合37.5°的仰角，在Rt△ADC中，用含AD的式子表示出DC的长度，最后根据正切三角函数的定义列方程，求解即可得到BD的高度。
【解析】
解：由题意得∠D=90°，∠DAB=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，即$BD=AD$。
已知$BC=4\mathrm{m}$，因此$DC=BD-BC=(AD-4)\mathrm{m}$，
在Rt△ADC中，$∠ DAC=37.5°$，根据正切的定义：
$\tan∠ DAC=\frac{DC}{AD}$，代入数据得：
$\tan37.5°=\frac{AD-4}{AD}\approx0.77$
解方程：
$0.77AD=AD-4$
$AD-0.77AD=4$
$0.23AD=4$
$AD=\frac{4}{0.23}\approx17.4\mathrm{m}$
又因为$BD=AD$，所以$BD\approx17.4\mathrm{m}$。
【答案】
佛像BD的高度约为17.4m。
【知识点】
1. 仰角问题应用
2. 锐角正切函数
3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题以文化遗产测量为背景，考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是找到特殊角对应的边的等量关系，通过建立方程求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的特殊角45°入手，因为△ABD是直角三角形，∠DAB=45°，可得BD=AD，将两个未知边转化为同一个量；再结合37.5°的仰角，在Rt△ADC中，用含AD的式子表示出DC的长度，最后根据正切三角函数的定义列方程，求解即可得到BD的高度。
【解析】
解：由题意得∠D=90°，∠DAB=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，即$BD=AD$。
已知$BC=4\mathrm{m}$，因此$DC=BD-BC=(AD-4)\mathrm{m}$，
在Rt△ADC中，$∠ DAC=37.5°$，根据正切的定义：
$\tan∠ DAC=\frac{DC}{AD}$，代入数据得：
$\tan37.5°=\frac{AD-4}{AD}\approx0.77$
解方程：
$0.77AD=AD-4$
$AD-0.77AD=4$
$0.23AD=4$
$AD=\frac{4}{0.23}\approx17.4\mathrm{m}$
又因为$BD=AD$，所以$BD\approx17.4\mathrm{m}$。
【答案】
佛像BD的高度约为17.4m。
【知识点】
1. 仰角问题应用
2. 锐角正切函数
3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题以文化遗产测量为背景，考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是找到特殊角对应的边的等量关系，通过建立方程求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
