5. 如图，B为一建筑物BC的最高点，从地面上的A点，用测角仪在D处测得B点的仰角为α，若测角仪高AD=m，AC=n，则建筑物BC的高可表示为 （）

A.$ m + n\sinα $
B.$ m + n\cosα $
C.$ m + n\tanα $
D.$ m + n $

5.C

【分析】
遇到仰角类的解直角三角形应用题，首先要结合仰角的定义构造直角三角形，同时利用矩形的性质转化已知边的长度。本题可过D作DE垂直BC于E，先得到矩形ADEC，推出DE=AC=n、EC=AD=m，再在Rt△BDE中利用锐角三角函数求出BE的长度，最后将BE和EC相加即可得到BC的高度。
【解析】
过点D作DE⊥BC于点E，
∵DA⊥AC，BC⊥AC，DE⊥BC，
∴四边形ADEC是矩形，
∴EC=AD=m，DE=AC=n。
在Rt△BDE中，∠BDE=α，根据正切函数的定义：
$\tanα=\frac{BE}{DE}$，
变形可得$BE=DE·\tanα=n\tanα$，
因此建筑物的高度$BC=BE+EC=m+n\tanα$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用（仰角问题）、矩形的性质、锐角三角函数的定义
【点评】
本题是仰角应用的基础题型，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为几何中解直角三角形的问题，结合锐角三角函数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6.(武汉市中考)某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A,B的距离,具体过程如下:
如图,将无人机垂直上升至距水面120m的P处,测得A处的俯角为$45°$,B处的俯角为$22°$,则A,B之间的距离是m.
($\tan22°$取0.4)

6.180

【分析】
解题时首先通过作辅助线构造直角三角形，结合俯角的性质，利用平行线的内错角相等把俯角转化为直角三角形的内角，再分别用三角函数求出对应直角边的长度，最后作差得到AB的距离。首先过点P作水面AB的垂线，垂足记为Q，PQ即为无人机到水面的高度120m；根据俯角定义和平行线内错角相等，可得∠PAQ=45°，∠PBQ=22°，分别在两个直角三角形中解三角形求出AQ、BQ，通过AB=BQ-AQ即可计算得到结果。
【解析】
过点P作PQ⊥AB，交AB的延长线于点Q，由题意可知PQ=120m。
∵P处的水平线与AB平行，根据内错角相等可得：
$∠ PAQ=45°$，$∠ PBQ=22°$
在$\mathrm{Rt}△ PQA$中，$∠ PQA=90°$，$∠ PAQ=45°$
∴$△ PQA$是等腰直角三角形，$AQ=PQ=120\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ PQB$中，$∠ PQB=90°$，$∠ PBQ=22°$
∵$\tan∠ PBQ=\frac{PQ}{BQ}$
∴$BQ=\frac{PQ}{\tan22°}=\frac{120}{0.4}=300\ \mathrm{m}$
∴$AB=BQ-AQ=300-120=180\ \mathrm{m}$
【答案】
180
【知识点】
俯角的概念、解直角三角形的应用、锐角三角函数的应用
【点评】
本题是典型的解直角三角形实际应用类题目，核心是将俯角转化为直角三角形的内角，构造合适的直角三角形结合三角函数求解，解题关键是理清线段和角度的对应关系。
【难度系数】
0.7

7.玄天洞石塔，又名玲珑宝塔，重建于明代正德年间.如图，小明在石塔附近C处利用无人机测得石塔顶端A的仰角为$19.3°$，在点D处测得石塔顶端A的仰角为$45°$，C、D之间的距离为46m，$AB⊥ CD$，点C、B、D在同一水平线上.求石塔AB的高度.（精确到1m.参考数据：$\sin19.3°\approx0.33$，$\cos19.3°\approx0.94$，$\tan19.3°\approx0.35$）

7. 解:根据题意,得CD=46m,∠ADB=45°,∠ACB=19.3°,又
∵AB⊥CD,
∴在Rt△ABD中,AB=BD,设AB=BD=x m,在Rt△ABC中,BC=$\frac{AB}{\tan C}$≈$\frac{20x}{7}$ m,
∴CD=BC+BD≈$\frac{20x}{7}+x=46$,解得x≈12,
∴石塔AB的高度约为12m.

【分析】
解题时先观察图形，可知存在共直角边AB的两个直角三角形。首先利用∠ADB=45°的条件，可判断Rt△ABD为等腰直角三角形，得到AB=BD，我们可以设AB的高度为x m，即可用含x的式子表示BD的长度；再在Rt△ABC中，利用19.3°的正切值表示出BC的长度，最后根据C、B、D共线，BC+BD=CD=46m的等量关系列方程，求解即可得到AB的高度。
【解析】
解：根据题意可得：CD=46m，∠ACB=19.3°，∠ADB=45°，AB⊥CD，即∠ABC=∠ABD=90°。
在Rt△ABD中，∠ADB=45°，
∴∠BAD=90°-45°=45°=∠ADB，
∴AB=BD，
设AB = x m，则BD = x m。
在Rt△ABC中，$\tan∠ ACB = \frac{AB}{BC}$，
∴$BC = \frac{AB}{\tan19.3°}$，代入$\tan19.3°\approx0.35$，得$BC\approx\frac{x}{0.35}=\frac{20x}{7}$ m。
∵点C、B、D在同一直线上，
∴CD = BC + BD，
代入已知条件得：$\frac{20x}{7} + x = 46$，
整理得：$\frac{27x}{7}=46$，
解得：$x\approx12$。
【答案】
石塔AB的高度约为12m。
【知识点】
解直角三角形的应用，仰角问题，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题的核心是借助公共直角边AB建立两个直角三角形的边长联系，结合线段和的等量关系列方程求解，很好地考查了学生构建几何模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

8.(项目式学习)综合与实践活动中,要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度(如图①).某学习小组设计了一个方案:如图②所示,点A,E,C依次在同一条水平直线上,CD⊥AC,EF⊥AC,且CD=EF=1.7m.在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°,在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°,CE=32m.根据该学习小组测得的数据,计算世纪钟建筑AB的高度(结果取整数,参考数据:tan22°≈0.4,tan31°≈0.6).

图① 图②

8. 解:延长DF与AB相交于点G,根据题意,可得DG//CA,∠GDB=22°,∠GFB=31°,∠DGB=90°,
∴AG=EF=CD=1.7m,DF=CE=32m,在Rt△FGB中,tan∠GFB=$\frac{GB}{GF}$,
∴GF=$\frac{GB}{\tan31°}$,在Rt△DGB中,tan∠GDB=$\frac{GB}{GD}$,
∴GD=$\frac{GB}{\tan22°}$.
∵GF+DF=GD,
∴$\frac{GB}{\tan31°}$ + 32 = $\frac{GB}{\tan22°}$.
∴ GB = $\frac{32×\tan22°\tan31°}{\tan31°-\tan22°}$≈$\frac{32×0.4×0.6}{0.6-0.4}$=38.4(m).
∴AB=AG+GB≈1.7+38.4≈40(m).答:世纪钟建筑AB的高度约为40m.

【分析】
本题是利用仰角测量物体高度的实际问题，解题思路如下：首先作辅助线延长DF交AB于点G，构造出两个含有仰角的直角三角形△BGF和△BGD，两个三角形共享直角边GB，同时可得到AG等于测角仪高度、DF等于CE长度的关系；接下来利用正切三角函数分别表示出两个直角三角形中水平边GF、GD的长度；再根据GD=GF+DF的等量关系列方程，求出GB的长度；最后将GB与AG相加即可得到AB的总高度。
【解析】
解：延长DF与AB相交于点G，由题意可知：$DG// AC$，$∠ GDB=22°$，$∠ GFB=31°$，$∠ DGB=∠ A=90°$，
∴四边形$AEFG$、$ECDF$均为矩形，
∴$AG=EF=CD=1.7\mathrm{m}$，$DF=CE=32\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ FGB$中，$\tan∠ GFB=\frac{GB}{GF}$，
∴$GF=\frac{GB}{\tan31°}$。
在$\mathrm{Rt}△ DGB$中，$\tan∠ GDB=\frac{GB}{GD}$，
∴$GD=\frac{GB}{\tan22°}$。
∵$GD=GF+DF$，
∴$\frac{GB}{\tan31°}+32=\frac{GB}{\tan22°}$，
代入$\tan22°\approx0.4$，$\tan31°\approx0.6$，得：
$\frac{GB}{0.6}+32=\frac{GB}{0.4}$，
解得$GB=\frac{32×0.4×0.6}{0.6-0.4}=38.4(\mathrm{m})$。
∴$AB=AG+GB\approx1.7+38.4\approx40(\mathrm{m})$。
【答案】
世纪钟建筑AB的高度约为40m。
【知识点】
解直角三角形应用，仰角，正切函数
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题的核心是通过作辅助线构造有公共直角边的直角三角形，结合三角函数和已知的线段关系建立方程求解，这类题目常结合生活场景考察，熟练掌握三角函数的定义和仰角的概念是解题的关键。
【难度系数】
0.7