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8.如图，C,D分别表示两个村庄，A,B分别表示该湖泊的南、北两端，$CA// DB$，$AB⊥ DB$于点B，村庄D位于村庄C的北偏东$30°$方向上。若$CD=8\mathrm{km}$，则该湖泊南北两端的距离AB为
$4\sqrt{3}$
km.(结果保留根号)答案
8.$4\sqrt{3}$
解析
【分析】
要计算湖泊南北两端AB的距离，首先观察已知条件：CA//DB，AB⊥DB，我们可以过点C作CE⊥BD于点E，可证四边形ABEC是矩形，因此AB=CE，将求AB的问题转化为求CE的长度。再根据方向角的定义可知∠DCE=30°，在Rt△CDE中已知斜边CD的长度，利用余弦三角函数即可求出CE的长度，即得到AB的长度。
【解析】
解：过点C作CE⊥BD，垂足为E。
∵AB⊥BD，CE⊥BD，
∴AB//CE，
又
∵CA//DB，
∴四边形ABEC是矩形，
∴AB=CE。
由村庄D位于村庄C的北偏东30°方向上，可得∠DCE=30°。
在Rt△CDE中，CD=8km，∠DCE=30°，
∴CE=CD·cos30°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$4\sqrt{3}$（km），
∴AB=CE=$4\sqrt{3}$km。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
方向角的应用，矩形的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的基础应用，解题关键是通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将未知线段转化到直角三角形中用三角函数求解，是方向角类应用题的典型题型。
【难度系数】
0.7
要计算湖泊南北两端AB的距离，首先观察已知条件：CA//DB，AB⊥DB，我们可以过点C作CE⊥BD于点E，可证四边形ABEC是矩形，因此AB=CE，将求AB的问题转化为求CE的长度。再根据方向角的定义可知∠DCE=30°，在Rt△CDE中已知斜边CD的长度，利用余弦三角函数即可求出CE的长度，即得到AB的长度。
【解析】
解：过点C作CE⊥BD，垂足为E。
∵AB⊥BD，CE⊥BD，
∴AB//CE，
又
∵CA//DB，
∴四边形ABEC是矩形，
∴AB=CE。
由村庄D位于村庄C的北偏东30°方向上，可得∠DCE=30°。
在Rt△CDE中，CD=8km，∠DCE=30°，
∴CE=CD·cos30°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$4\sqrt{3}$（km），
∴AB=CE=$4\sqrt{3}$km。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
方向角的应用，矩形的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的基础应用，解题关键是通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将未知线段转化到直角三角形中用三角函数求解，是方向角类应用题的典型题型。
【难度系数】
0.7
9. 图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图. 支撑杆AB垂直于地面$l$，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处. 若$∠ AED = 48°$，$BE = 110\mathrm{cm}$，$DE = 80\mathrm{cm}$，求活动杆端点D离地面的高度DF. (结果精确到1cm，参考数据：$\sin48°\approx0.74$，$\cos48°\approx0.67$，$\tan48°\approx1.11$)
答案
9. 解:过点 $D$ 作 $DG ⊥ AE$ 于点 $G$,得矩形 $GBFD,\therefore DF=GB$,在 $\mathrm{Rt}△ GDE$ 中,$DE=80\mathrm{cm},∠ GED=48°,\therefore GE=DE× \cos48°\approx 80× 0.67=53.6(\mathrm{cm}),\therefore GB=GE+BE=53.6+110=163.6\approx 164(\mathrm{cm}). \therefore DF=GB\approx 164\mathrm{cm}.$ 答:活动杆端点 $D$ 离地面的高度 $DF$ 约为 $164\mathrm{cm}.$
解析
【分析】
本题要求活动杆端点D离地面的高度DF，观察图形可知AB、DF均垂直于地面l，因此可通过作辅助线DG⊥AE构造矩形GBFD，将DF转化为GB的长度。已知BE的长度，因此只需计算出GE的长度即可。GE在Rt△GDE中，已知斜边DE和∠GED的度数，可利用锐角三角函数中的余弦求出GE，再将GE与BE相加即可得到GB即DF的长度。
【解析】
过点 $D$ 作 $DG ⊥ AE$ 于点 $G$，
∵ $AB⊥l$，$DF⊥l$，$DG⊥AE$，
∴ 四边形 $GBFD$ 是矩形，
∴ $DF=GB$。
在 $\mathrm{Rt}△ GDE$ 中，$DE=80\mathrm{cm}$，$∠ GED=∠AED=48°$，
由余弦的定义得：$\cos∠GED=\frac{GE}{DE}$，
∴ $GE=DE× \cos48°\approx 80× 0.67=53.6(\mathrm{cm})$，
∴ $GB=GE+BE=53.6+110=163.6\approx 164(\mathrm{cm})$，
∴ $DF=GB\approx 164\mathrm{cm}$。
答：活动杆端点 $D$ 离地面的高度 $DF$ 约为 $164\mathrm{cm}$。
【答案】
$\boxed{164\mathrm{cm}}$
【知识点】
矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数应用
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题的关键是通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将所求高度转化为可计算的线段长度，结合锐角三角函数即可求解，侧重考查对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题要求活动杆端点D离地面的高度DF，观察图形可知AB、DF均垂直于地面l，因此可通过作辅助线DG⊥AE构造矩形GBFD，将DF转化为GB的长度。已知BE的长度，因此只需计算出GE的长度即可。GE在Rt△GDE中，已知斜边DE和∠GED的度数，可利用锐角三角函数中的余弦求出GE，再将GE与BE相加即可得到GB即DF的长度。
【解析】
过点 $D$ 作 $DG ⊥ AE$ 于点 $G$，
∵ $AB⊥l$，$DF⊥l$，$DG⊥AE$，
∴ 四边形 $GBFD$ 是矩形，
∴ $DF=GB$。
在 $\mathrm{Rt}△ GDE$ 中，$DE=80\mathrm{cm}$，$∠ GED=∠AED=48°$，
由余弦的定义得：$\cos∠GED=\frac{GE}{DE}$，
∴ $GE=DE× \cos48°\approx 80× 0.67=53.6(\mathrm{cm})$，
∴ $GB=GE+BE=53.6+110=163.6\approx 164(\mathrm{cm})$，
∴ $DF=GB\approx 164\mathrm{cm}$。
答：活动杆端点 $D$ 离地面的高度 $DF$ 约为 $164\mathrm{cm}$。
【答案】
$\boxed{164\mathrm{cm}}$
【知识点】
矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数应用
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题的关键是通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将所求高度转化为可计算的线段长度，结合锐角三角函数即可求解，侧重考查对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
10.(河南省中考改编)如图,为了知道楼房$CP$外墙上一广告屏的高度$GH$是多少,某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作:在点$A$处测得$∠ GDF=30°$,在点$B$处测得$∠ HEF=50°$,点$A$、$B$、$C$共线,$AC⊥ CP$于点$C$,$DF⊥ CP$于点$F$,$AB$为20米,$BC=30$米,测角仪的高度($AD$、$BE$)为1.3米.根据以上数据,求出$GH$的值.
(结果精确到1米,参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$,$\sin50°\approx0.77$,$\cos50°\approx0.64$,$\tan50°\approx1.19$)
(结果精确到1米,参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$,$\sin50°\approx0.77$,$\cos50°\approx0.64$,$\tan50°\approx1.19$)
答案
10. 解:由题意,得 $EF=BC=30$ 米,$DF=AC=AB+BC=50$(米). 在$\mathrm{Rt}△ EHF$中,$∠ HEF=50°,\therefore HF=EF· \tan50°\approx 30× 1.19=35.7$(米). 在$\mathrm{Rt}△ DFG$中,$∠ GDF=30°,\therefore FG=DF· \tan30°=50× \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{50\sqrt{3}}{3}$(米), $\therefore HG=FH-FG=35.7-\dfrac{50\sqrt{3}}{3}\approx 7$(米), $\therefore GH$ 的值约为7米.
解析
【分析】
解题时首先明确所求GH可转化为HF与FG的差，因此需先求出HF、FG的长度。首先根据矩形的性质得到水平线段的长度：由AC⊥CP、DF⊥CP，测角仪高度AD=BE，可知四边形ACFD、BCFE均为矩形，因此DF=AC=AB+BC=50米，EF=BC=30米；接下来在两个直角三角形中，已知锐角角度和邻边长度，选择正切函数即可分别求出对边HF、FG的长度；最后作差代入参考数据计算近似值即可。
【解析】
解：由题意可知，四边形ACFD、BCFE均为矩形，因此$EF=BC=30$米，$DF=AC=AB+BC=20+30=50$（米）。
在$\mathrm{Rt}△ EHF$中，$∠ HEF=50°$，根据正切的定义：
$\tan∠ HEF=\frac{HF}{EF}$，因此$HF=EF· \tan50°\approx 30× 1.19=35.7$（米）。
在$\mathrm{Rt}△ DFG$中，$∠ GDF=30°$，根据正切的定义：
$\tan∠ GDF=\frac{FG}{DF}$，因此$FG=DF· \tan30°=50× \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{50\sqrt{3}}{3}$（米）。
因此$HG=FH-FG=35.7-\frac{50\sqrt{3}}{3}\approx35.7-\frac{50×1.73}{3}\approx7$（米）。
【答案】
GH的值约为7米。
【知识点】
解直角三角形的应用，正切函数，矩形的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的实际应用问题，解题的关键是将实际场景中的线段关系转化为几何图形中的线段和角的关系，结合三角函数求解对应线段长度，考查了数形结合思想和运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确所求GH可转化为HF与FG的差，因此需先求出HF、FG的长度。首先根据矩形的性质得到水平线段的长度：由AC⊥CP、DF⊥CP，测角仪高度AD=BE，可知四边形ACFD、BCFE均为矩形，因此DF=AC=AB+BC=50米，EF=BC=30米；接下来在两个直角三角形中，已知锐角角度和邻边长度，选择正切函数即可分别求出对边HF、FG的长度；最后作差代入参考数据计算近似值即可。
【解析】
解：由题意可知，四边形ACFD、BCFE均为矩形，因此$EF=BC=30$米，$DF=AC=AB+BC=20+30=50$（米）。
在$\mathrm{Rt}△ EHF$中，$∠ HEF=50°$，根据正切的定义：
$\tan∠ HEF=\frac{HF}{EF}$，因此$HF=EF· \tan50°\approx 30× 1.19=35.7$（米）。
在$\mathrm{Rt}△ DFG$中，$∠ GDF=30°$，根据正切的定义：
$\tan∠ GDF=\frac{FG}{DF}$，因此$FG=DF· \tan30°=50× \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{50\sqrt{3}}{3}$（米）。
因此$HG=FH-FG=35.7-\frac{50\sqrt{3}}{3}\approx35.7-\frac{50×1.73}{3}\approx7$（米）。
【答案】
GH的值约为7米。
【知识点】
解直角三角形的应用，正切函数，矩形的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的实际应用问题，解题的关键是将实际场景中的线段关系转化为几何图形中的线段和角的关系，结合三角函数求解对应线段长度，考查了数形结合思想和运算能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图，在$△ ABC$中，$\sin B=\dfrac{1}{2}$，$AB=8$，$AC=5$，且$∠ C$为锐角，则$\cos C$的值是（
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{4}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\dfrac{3}{4}$
A
）A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{4}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\dfrac{3}{4}$
答案
1.A
解析
【分析】要计算∠C的余弦值，需将∠C放在直角三角形中求解，因此可过点A作AD⊥BC于D，把斜△ABC分割为两个直角三角形。先在Rt△ABD中，利用∠B的正弦值和AB的长求出高AD的长度，再在Rt△ADC中用勾股定理求出DC的长度，最后根据余弦的定义即可算出cosC的值。
【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∵$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{2}$，$AB=8$，
∴$AD=AB×\dfrac{1}{2}=8×\dfrac{1}{2}=4$。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，$AC=5$，$AD=4$，
由勾股定理得：$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
根据余弦的定义：$\cos C=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{3}{5}$。
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】本题考查解直角三角形的应用，作高将斜三角形转化为直角三角形是常用的解题思路，解题时需准确掌握锐角三角函数的对应边关系，结合勾股定理计算未知边长。
【难度系数】0.7
【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∵$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{2}$，$AB=8$，
∴$AD=AB×\dfrac{1}{2}=8×\dfrac{1}{2}=4$。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，$AC=5$，$AD=4$，
由勾股定理得：$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
根据余弦的定义：$\cos C=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{3}{5}$。
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】本题考查解直角三角形的应用，作高将斜三角形转化为直角三角形是常用的解题思路，解题时需准确掌握锐角三角函数的对应边关系，结合勾股定理计算未知边长。
【难度系数】0.7
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=120°$，$AB=4$，$AC=2$，则$\sin B$的值是（
A.$\dfrac{5\sqrt{7}}{14}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
D.$\dfrac{\sqrt{21}}{14}$
D
）A.$\dfrac{5\sqrt{7}}{14}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
D.$\dfrac{\sqrt{21}}{14}$
答案
2.D
解析
【分析】
要求$\sin B$的值，需将$∠ B$置于直角三角形中求解。由于$∠ BAC=120°$是钝角，我们可以过点$C$作$BA$延长线的垂线，构造出含$∠ B$的直角三角形，先利用特殊角的三角函数值求出直角三角形的边长，再结合勾股定理求出斜边$BC$的长度，最后根据正弦的定义计算$\sin B$即可。
【解析】
过点$C$作$CD⊥ AB$，交$BA$的延长线于点$D$。
$\because ∠ BAC=120°$，$\therefore ∠ CAD=180°-120°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=2$，$∠ CAD=60°$：
$AD=AC·\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$，
$CD=AC·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
$\therefore BD=AB+AD=4+1=5$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{5^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{25+3}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$。
【答案】
D
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将钝角三角形的问题转化为直角三角形的问题求解，计算过程中要注意辅助线的做法正确，不要混淆线段的和差关系，掌握特殊角的三角函数值是计算的基础。
【难度系数】
0.6
要求$\sin B$的值，需将$∠ B$置于直角三角形中求解。由于$∠ BAC=120°$是钝角，我们可以过点$C$作$BA$延长线的垂线，构造出含$∠ B$的直角三角形，先利用特殊角的三角函数值求出直角三角形的边长，再结合勾股定理求出斜边$BC$的长度，最后根据正弦的定义计算$\sin B$即可。
【解析】
过点$C$作$CD⊥ AB$，交$BA$的延长线于点$D$。
$\because ∠ BAC=120°$，$\therefore ∠ CAD=180°-120°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=2$，$∠ CAD=60°$：
$AD=AC·\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$，
$CD=AC·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
$\therefore BD=AB+AD=4+1=5$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{5^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{25+3}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$。
【答案】
D
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将钝角三角形的问题转化为直角三角形的问题求解，计算过程中要注意辅助线的做法正确，不要混淆线段的和差关系，掌握特殊角的三角函数值是计算的基础。
【难度系数】
0.6
3. 如图,在△ABC中,BC=12,tanA=$\frac{3}{4}$,∠B=30°,则AC=
10
,AB=$8+6\sqrt{3}$
(结果保留根号) 答案
3.10 $8+6\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解这个非直角三角形，我们可以通过作高将其转化为两个直角三角形求解：首先过点C作CD⊥AB于D，构造出Rt△BCD和Rt△ACD；先在含30°特殊角的Rt△BCD中求出CD、BD的长度，再在Rt△ACD中利用tanA的已知值求出AD的长，最后用勾股定理求AC，AD加BD得到AB的长。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D。
1. 在Rt△BCD中，∠B=30°，BC=12：
$CD = BC·sinB = 12×sin30° = 12×\frac{1}{2} = 6$
$BD = BC·cosB = 12×cos30° = 12×\frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$
2. 在Rt△ACD中，$tanA=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，已知CD=6：
$\frac{6}{AD}=\frac{3}{4}$，解得$AD=8$
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{8^2 + 6^2}=\sqrt{100}=10$
3. AB的长度为$AD+BD=8 + 6\sqrt{3}$
【答案】
10；$8+6\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形；特殊角的三角函数值；勾股定理
【点评】
本题是解斜三角形的常见基础题型，核心解题思路是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，再结合三角函数、特殊角性质和勾股定理计算边长，掌握构造直角三角形的辅助线做法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
要解这个非直角三角形，我们可以通过作高将其转化为两个直角三角形求解：首先过点C作CD⊥AB于D，构造出Rt△BCD和Rt△ACD；先在含30°特殊角的Rt△BCD中求出CD、BD的长度，再在Rt△ACD中利用tanA的已知值求出AD的长，最后用勾股定理求AC，AD加BD得到AB的长。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D。
1. 在Rt△BCD中，∠B=30°，BC=12：
$CD = BC·sinB = 12×sin30° = 12×\frac{1}{2} = 6$
$BD = BC·cosB = 12×cos30° = 12×\frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$
2. 在Rt△ACD中，$tanA=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，已知CD=6：
$\frac{6}{AD}=\frac{3}{4}$，解得$AD=8$
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{8^2 + 6^2}=\sqrt{100}=10$
3. AB的长度为$AD+BD=8 + 6\sqrt{3}$
【答案】
10；$8+6\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形；特殊角的三角函数值；勾股定理
【点评】
本题是解斜三角形的常见基础题型，核心解题思路是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，再结合三角函数、特殊角性质和勾股定理计算边长，掌握构造直角三角形的辅助线做法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
