登录
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=3$，$AB=2\sqrt{3}$，则$∠ B$的度数是（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
A
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
1.A
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知两边求锐角度数的基础题，解题思路如下：首先明确直角三角形中锐角三角函数的定义，已知∠B的邻边BC和斜边AB，可优先选用余弦函数求出∠B的余弦值，再对照特殊角的三角函数值即可得到∠B的度数；也可先通过勾股定理求出第三条直角边AC的长度，结合“直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半”的性质判断角度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据余弦函数的定义：锐角的余弦值等于邻边与斜边的比值，可得：
$\cos B = \frac{BC}{AB}$
将$BC=3$，$AB=2\sqrt{3}$代入上式：
$\cos B = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2×3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
结合特殊角的三角函数值，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$∠ B=30°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；解直角三角形
【点评】
本题为基础题型，主要考查解直角三角形的简单应用，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义和常见特殊角的三角函数值，也可结合直角三角形的特殊性质快速得出结果。
【难度系数】
0.85
本题是直角三角形中已知两边求锐角度数的基础题，解题思路如下：首先明确直角三角形中锐角三角函数的定义，已知∠B的邻边BC和斜边AB，可优先选用余弦函数求出∠B的余弦值，再对照特殊角的三角函数值即可得到∠B的度数；也可先通过勾股定理求出第三条直角边AC的长度，结合“直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半”的性质判断角度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据余弦函数的定义：锐角的余弦值等于邻边与斜边的比值，可得：
$\cos B = \frac{BC}{AB}$
将$BC=3$，$AB=2\sqrt{3}$代入上式：
$\cos B = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2×3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
结合特殊角的三角函数值，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$∠ B=30°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；解直角三角形
【点评】
本题为基础题型，主要考查解直角三角形的简单应用，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义和常见特殊角的三角函数值，也可结合直角三角形的特殊性质快速得出结果。
【难度系数】
0.85
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$AC=6$，$\cos A=\dfrac{3}{4}$，则$AB$的长为（
A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$\dfrac{32}{3}$
C
）A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$\dfrac{32}{3}$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆锐角余弦函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。本题中已知∠C是直角，所以∠A的邻边是AC，斜边是AB，结合已知的cosA和AC的长度，代入公式变形即可求出AB的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义可得：
$\cos A=\dfrac{∠ A的邻边}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{AC}{AB}$
已知$AC=6$，$\cos A=\dfrac{3}{4}$，代入上式得：
$\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{AB}$
解得：$AB=6÷\dfrac{3}{4}=6×\dfrac{4}{3}=8$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角余弦的定义，解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，核心考查对锐角三角函数中余弦定义的理解和应用，只要准确掌握余弦对应的边的比例关系，就能快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆锐角余弦函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。本题中已知∠C是直角，所以∠A的邻边是AC，斜边是AB，结合已知的cosA和AC的长度，代入公式变形即可求出AB的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义可得：
$\cos A=\dfrac{∠ A的邻边}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{AC}{AB}$
已知$AC=6$，$\cos A=\dfrac{3}{4}$，代入上式得：
$\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{AB}$
解得：$AB=6÷\dfrac{3}{4}=6×\dfrac{4}{3}=8$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角余弦的定义，解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，核心考查对锐角三角函数中余弦定义的理解和应用，只要准确掌握余弦对应的边的比例关系，就能快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
3.如图
,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$\sin A=\dfrac{3}{4}$,$AB=8\mathrm{cm}$,则$△ ABC$的面积是
,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$\sin A=\dfrac{3}{4}$,$AB=8\mathrm{cm}$,则$△ ABC$的面积是$6\sqrt{7}$
$\mathrm{cm^2}$答案
3.$6\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据锐角三角函数中正弦的定义，$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比值，结合已知的$\sin A$的值和斜边$AB$的长度，先求出直角边$BC$的长度；第二步，利用勾股定理求出另一条直角边$AC$的长度；第三步，根据直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，代入数值计算即可得到三角形的面积。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
1. 求$BC$的长度：
根据正弦的定义，$\sin A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，
已知$\sin A=\frac{3}{4}$，$AB=8\mathrm{cm}$，代入得：
$BC=AB× \sin A=8× \frac{3}{4}=6\mathrm{cm}$。
2. 求$AC$的长度：
由勾股定理$AB^2=AC^2+BC^2$，变形得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{64-36}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\mathrm{cm}$。
3. 计算$△ ABC$的面积：
直角三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}× AC× BC$，代入数值：
$S=\frac{1}{2}× 2\sqrt{7}× 6=6\sqrt{7}\mathrm{cm^2}$。
【答案】
$6\sqrt{7}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查解直角三角形的相关知识，只要熟练掌握正弦的定义和勾股定理，就能顺利求解，是对基础公式运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，根据锐角三角函数中正弦的定义，$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比值，结合已知的$\sin A$的值和斜边$AB$的长度，先求出直角边$BC$的长度；第二步，利用勾股定理求出另一条直角边$AC$的长度；第三步，根据直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，代入数值计算即可得到三角形的面积。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
1. 求$BC$的长度：
根据正弦的定义，$\sin A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，
已知$\sin A=\frac{3}{4}$，$AB=8\mathrm{cm}$，代入得：
$BC=AB× \sin A=8× \frac{3}{4}=6\mathrm{cm}$。
2. 求$AC$的长度：
由勾股定理$AB^2=AC^2+BC^2$，变形得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{64-36}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\mathrm{cm}$。
3. 计算$△ ABC$的面积：
直角三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}× AC× BC$，代入数值：
$S=\frac{1}{2}× 2\sqrt{7}× 6=6\sqrt{7}\mathrm{cm^2}$。
【答案】
$6\sqrt{7}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查解直角三角形的相关知识，只要熟练掌握正弦的定义和勾股定理，就能顺利求解，是对基础公式运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
4. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据下列条件解直角三角形.
(1)$b=2\sqrt{2},c=4$；
(2)$∠ B=60°,b=\sqrt{3}$.
(1)$b=2\sqrt{2},c=4$；
(2)$∠ B=60°,b=\sqrt{3}$.
答案
4. (1)解: $\because \sin B=\dfrac{b}{c}=\dfrac{2\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\therefore ∠ B=45°,\therefore ∠ A=90°-∠ B=45°$,
$\because \sin A=\dfrac{a}{c},\therefore a=c\sin A=4× \sin45°=2\sqrt{2}.$
(2)解: $\because ∠ A=90°-∠ B=30°,\sin B=\dfrac{b}{c},\therefore c=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sin60°}=\dfrac{\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2,\because \sin A=\dfrac{a}{c},\therefore a=c\sin A=2× \sin30°=1.$
$\because \sin A=\dfrac{a}{c},\therefore a=c\sin A=4× \sin45°=2\sqrt{2}.$
(2)解: $\because ∠ A=90°-∠ B=30°,\sin B=\dfrac{b}{c},\therefore c=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sin60°}=\dfrac{\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2,\because \sin A=\dfrac{a}{c},\therefore a=c\sin A=2× \sin30°=1.$
解析
【分析】
解直角三角形的目标是求出图形中所有未知的边和角，可借助直角三角形两锐角互余的性质求未知角，利用锐角三角函数关系求未知边。(1)中已知直角边b和斜边c，可先通过正弦函数求出∠B的度数，再利用两锐角互余求出∠A，最后用三角函数求出直角边a；(2)中已知锐角∠B和其对边b，先利用两锐角互余求出∠A，再通过正弦函数求出斜边c，最后求出直角边a即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \sin B=\dfrac{b}{c}=\dfrac{2\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore ∠ B=45°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ B=90°-45°=45°$，
又$\because \sin A=\dfrac{a}{c}$，
$\therefore a=c·\sin A=4× \sin45°=4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ A=90°-∠ B=90°-60°=30°$，
由$\sin B=\dfrac{b}{c}$可得：
$c=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sin60°}=\dfrac{\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
又$\because \sin A=\dfrac{a}{c}$，
$\therefore a=c·\sin A=2× \sin30°=2×\dfrac{1}{2}=1$。
【答案】
(1) $∠ A=45°$，$∠ B=45°$，$a=2\sqrt{2}$；
(2) $∠ A=30°$，$c=2$，$a=1$。
【知识点】
直角三角形性质，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题关键是熟练掌握直角三角形的边角关系，熟记特殊角的三角函数值，计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
解直角三角形的目标是求出图形中所有未知的边和角，可借助直角三角形两锐角互余的性质求未知角，利用锐角三角函数关系求未知边。(1)中已知直角边b和斜边c，可先通过正弦函数求出∠B的度数，再利用两锐角互余求出∠A，最后用三角函数求出直角边a；(2)中已知锐角∠B和其对边b，先利用两锐角互余求出∠A，再通过正弦函数求出斜边c，最后求出直角边a即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \sin B=\dfrac{b}{c}=\dfrac{2\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore ∠ B=45°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ B=90°-45°=45°$，
又$\because \sin A=\dfrac{a}{c}$，
$\therefore a=c·\sin A=4× \sin45°=4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ A=90°-∠ B=90°-60°=30°$，
由$\sin B=\dfrac{b}{c}$可得：
$c=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sin60°}=\dfrac{\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
又$\because \sin A=\dfrac{a}{c}$，
$\therefore a=c·\sin A=2× \sin30°=2×\dfrac{1}{2}=1$。
【答案】
(1) $∠ A=45°$，$∠ B=45°$，$a=2\sqrt{2}$；
(2) $∠ A=30°$，$c=2$，$a=1$。
【知识点】
直角三角形性质，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题关键是熟练掌握直角三角形的边角关系，熟记特殊角的三角函数值，计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
5.西樵大桥是亚洲地区第一座拉索大桥，如图，已知一条拉索与桥面的夹角是α，且立柱与桥面互相垂直，拉索与桥面的连接处点B到立柱底端点C的距离为700米，则拉索AB的长为（
A.700sinα米
B.$\frac{700}{\cosα}$米
C.$\frac{700}{\sinα}$米
D.700tanα米
B
）A.700sinα米
B.$\frac{700}{\cosα}$米
C.$\frac{700}{\sinα}$米
D.700tanα米
答案
5.B
解析
【分析】
首先根据题意确定△ABC为直角三角形，∠C=90°，已知夹角α的邻边BC长为700米，待求边AB是直角三角形的斜边。回忆三角函数的定义，余弦值为邻边与斜边的比值，刚好关联已知的邻边、待求的斜边和已知角α，因此可以通过余弦的定义变形求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得AC⊥BC，即△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠B=α，BC=700米。
在Rt△ABC中，根据余弦的定义：
$\cosα = \frac{\mathrm{∠α的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$
将BC=700米代入变形可得：
$AB = \frac{BC}{\cosα} = \frac{700}{\cosα}$米
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
余弦的定义；解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合实际桥梁场景考查解直角三角形的应用，解题的核心是从实际问题中抽象出直角三角形模型，再对应三角函数的定义求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
首先根据题意确定△ABC为直角三角形，∠C=90°，已知夹角α的邻边BC长为700米，待求边AB是直角三角形的斜边。回忆三角函数的定义，余弦值为邻边与斜边的比值，刚好关联已知的邻边、待求的斜边和已知角α，因此可以通过余弦的定义变形求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得AC⊥BC，即△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠B=α，BC=700米。
在Rt△ABC中，根据余弦的定义：
$\cosα = \frac{\mathrm{∠α的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$
将BC=700米代入变形可得：
$AB = \frac{BC}{\cosα} = \frac{700}{\cosα}$米
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
余弦的定义；解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合实际桥梁场景考查解直角三角形的应用，解题的核心是从实际问题中抽象出直角三角形模型，再对应三角函数的定义求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
6.如图,一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 $37°$方向,距离灯塔 100 海里的 A 处,它沿正南方航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 $45°$方向上的 B 处.这时,B 处距离 A 处有多远?(参考数据:$\sin37°\approx0.60,\cos37°\approx0.80,\tan37°\approx0.75$)
答案
6. 解:过点 $P$ 作 $PC ⊥ AB$ 于点 $C$. 在$\mathrm{Rt}△ APC$中,$∠ A=37°,AP=100$ 海里, $\therefore PC=AP· \sin A=100× \sin37°\approx 100× 0.6=60$(海里),$AC=AP· \cos37°\approx 100× 0.8=80$(海里). 在$\mathrm{Rt}△ PBC$中, $\because ∠ B=45°, \therefore BC=PC=60$ 海里, $\therefore AB=AC+BC\approx 80+60=140$(海里). 答:这时,$B$ 处距离 $A$ 处约 140 海里.
解析
【分析】
这是方位角背景下的解直角三角形问题，首先根据南北方向与正南航行的AB平行，可得∠A=37°、∠B=45°，由于△APB不是直角三角形，无法直接计算AB长度，因此过点P作AB的垂线，将△APB拆分为两个直角三角形，分别在两个直角三角形中用锐角三角函数定义求出AC、BC的长度，两者相加即可得到AB的长度。
【解析】
过点 $P$ 作 $PC ⊥ AB$ 于点 $C$。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，$∠ A=37°$，$AP=100$ 海里，
$\therefore PC=AP· \sin A=100× \sin37°\approx 100× 0.6=60$（海里），
$AC=AP· \cos37°\approx 100× 0.8=80$（海里）。
在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，$\because ∠ B=45°$，$△ PBC$为等腰直角三角形，
$\therefore BC=PC=60$ 海里，
$\therefore AB=AC+BC\approx 80+60=140$（海里）。
【答案】
这时，B处距离A处约140海里。
【知识点】
解直角三角形应用，方位角，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的典型应用题型，解题核心是通过作高构造直角三角形，将非直角三角形的计算问题转化为直角三角形问题求解，解题时要准确识别方位角对应的内角，熟练运用锐角三角函数的定义进行计算。
【难度系数】
0.7
这是方位角背景下的解直角三角形问题，首先根据南北方向与正南航行的AB平行，可得∠A=37°、∠B=45°，由于△APB不是直角三角形，无法直接计算AB长度，因此过点P作AB的垂线，将△APB拆分为两个直角三角形，分别在两个直角三角形中用锐角三角函数定义求出AC、BC的长度，两者相加即可得到AB的长度。
【解析】
过点 $P$ 作 $PC ⊥ AB$ 于点 $C$。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，$∠ A=37°$，$AP=100$ 海里，
$\therefore PC=AP· \sin A=100× \sin37°\approx 100× 0.6=60$（海里），
$AC=AP· \cos37°\approx 100× 0.8=80$（海里）。
在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，$\because ∠ B=45°$，$△ PBC$为等腰直角三角形，
$\therefore BC=PC=60$ 海里，
$\therefore AB=AC+BC\approx 80+60=140$（海里）。
【答案】
这时，B处距离A处约140海里。
【知识点】
解直角三角形应用，方位角，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的典型应用题型，解题核心是通过作高构造直角三角形，将非直角三角形的计算问题转化为直角三角形问题求解，解题时要准确识别方位角对应的内角，熟练运用锐角三角函数的定义进行计算。
【难度系数】
0.7
7.已知，在$△ ABC$中，$∠ A=45°$，$AB=4\sqrt{2}$，$BC=5$，则$△ ABC$的面积为
2或14
。答案
7.2或14
解析
【分析】
要求△ABC的面积，已知∠A=45°和AB的长度，我们可以通过作AC边上的高，将斜三角形转化为两个直角三角形求解。首先利用45°特殊角的三角函数值求出高BD和线段AD的长度，再通过勾股定理求出DC的长度；由于高BD的位置可能在△ABC内部，也可能在△ABC外部，因此需要分两种情况计算AC的长度，最终分别求出对应的三角形面积即可。
【解析】
过点B作BD⊥AC，交AC所在的直线于点D。
在Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4√2，
∴ BD = AB·sin45° = 4√2 × (√2/2) = 4，
AD = AB·cos45° = 4√2 × (√2/2) = 4。
在Rt△BCD中，BC=5，BD=4，由勾股定理得：
DC = √(BC² - BD²) = √(5² - 4²) = 3。
分两种情况讨论：
① 当点D在线段AC上时，AC = AD + DC = 4 + 3 = 7，
此时S△ABC = 1/2 × AC × BD = 1/2 × 7 × 4 = 14；
② 当点D在线段CA的延长线上时，AC = AD - DC = 4 - 3 = 1，
此时S△ABC = 1/2 × AC × BD = 1/2 × 1 × 4 = 2。
综上，△ABC的面积为2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，易错点是忽略高的位置有两种情况，导致漏解，解题时要注意结合图形分类讨论。
【难度系数】
0.6
要求△ABC的面积，已知∠A=45°和AB的长度，我们可以通过作AC边上的高，将斜三角形转化为两个直角三角形求解。首先利用45°特殊角的三角函数值求出高BD和线段AD的长度，再通过勾股定理求出DC的长度；由于高BD的位置可能在△ABC内部，也可能在△ABC外部，因此需要分两种情况计算AC的长度，最终分别求出对应的三角形面积即可。
【解析】
过点B作BD⊥AC，交AC所在的直线于点D。
在Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4√2，
∴ BD = AB·sin45° = 4√2 × (√2/2) = 4，
AD = AB·cos45° = 4√2 × (√2/2) = 4。
在Rt△BCD中，BC=5，BD=4，由勾股定理得：
DC = √(BC² - BD²) = √(5² - 4²) = 3。
分两种情况讨论：
① 当点D在线段AC上时，AC = AD + DC = 4 + 3 = 7，
此时S△ABC = 1/2 × AC × BD = 1/2 × 7 × 4 = 14；
② 当点D在线段CA的延长线上时，AC = AD - DC = 4 - 3 = 1，
此时S△ABC = 1/2 × AC × BD = 1/2 × 1 × 4 = 2。
综上，△ABC的面积为2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，易错点是忽略高的位置有两种情况，导致漏解，解题时要注意结合图形分类讨论。
【难度系数】
0.6
