9. 如图，已知$∠ 1=∠ 2=∠ 3$，则下列等式正确的是（）

A.$\frac{AB}{AD}=\frac{DE}{BC}$
B.$\frac{AC}{AE}=\frac{AD}{AB}$
C.$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$
D.$\frac{BC}{DE}=\frac{AE}{AC}$

9. C

【分析】
要判断选项中的比例式是否正确，首先需要根据已知角相等的条件推导三角形相似：第一步，由∠1=∠2可推出两个三角形的一组对应角∠BAC=∠DAE相等；第二步，结合∠1=∠3，利用三角形外角的性质推出另一组对应角∠B=∠ADE相等，即可判定△ABC∽△ADE；最后根据相似三角形对应边成比例的性质，对各选项的比例式进行变形验证即可。
【解析】
1. 推导相等的顶角：
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
2. 推导另一组相等的角：
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC=∠B+∠1，
又
∵ ∠ADC=∠ADE+∠3，且∠1=∠3，
∴ ∠B=∠ADE。
3. 判定三角形相似：
在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}∠ BAC=∠ DAE\\ ∠ B=∠ ADE\end{array} $
∴ △ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）。
4. 验证比例式：
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，
对$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$交叉变形可得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，角的和差运算
【点评】
本题核心是通过角的等量关系推导三角形相似，解题时需注意准确匹配相似三角形的对应边，避免因对应边混淆出现比例式错误。
【难度系数】
0.7

10.如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,E是AC上一点,$ED⊥ AB$,垂足为点D,若$ED=EC=3$,$BC=6$,则AE的长为.

10. 5

【分析】
解题思路可分为两步：①先判定相似三角形：已知∠C和∠ADE都是直角，∠A是两个三角形的公共角，根据相似三角形判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似），可证△ADE∽△ACB，进而得到对应边的比例关系，推出AB=2AE；②设AE的长为x，用含x的式子表示AC和AB的长度，再在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $ED⊥ AB$，$∠ C=90°$，
∴ $∠ ADE=∠ C=90°$，
又
∵ $∠ A=∠ A$，
∴ $△ ADE ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{ED}{BC}=\frac{AE}{AB}$，
将$ED=3$，$BC=6$代入得：$\frac{3}{6}=\frac{AE}{AB}$，即$AB=2AE$。
设$AE=x$，则$AB=2x$，$AC=AE+EC=x+3$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2$，
代入数值：$(2x)^2=(x+3)^2+6^2$，
展开整理得：$x^2-2x-15=0$，
因式分解得：$(x-5)(x+3)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-3$（边长为正，舍去），
故$AE=5$。
【答案】
5
【知识点】
相似三角形判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何边长计算的常规题型，将相似三角形的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是准确找到相似三角形得到边的比例关系，再通过勾股定理建立方程求解，渗透了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.65

11. 如图，$△ ABC$是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且$BD=CE$，AD与BE相交于点F。求证：
(1) $△ ABD ≌ △ BCE$；
(2) $AE^2 = BE · EF$。

11. (1)证明: $\because △ ABC$ 是等边三角形，
$\therefore AB=BC, ∠ ABD = ∠ C = 60°.$ 又
$\because BD=CE, \therefore △ ABD ≌ △ BCE.$
(2) $\because △ ABD ≌ △ BCE, \therefore ∠ BAD$
$= ∠ CBE. \because ∠ BAD + ∠ EAF =$
$∠ ABE + ∠ CBE = 60°, \therefore ∠ EAF$
$= ∠ EBA.$ 又 $\because ∠ AEF = ∠ BEA,$
$\therefore △ AEF ∽ △ BEA. \therefore \frac{AE}{BE} = \frac{EF}{EA},$
即 $AE^2 = BE · EF.$

【分析】
(1) 要证△ABD≌△BCE，先结合等边三角形的性质，可得到等边三角形的边相等、内角为60°，再结合题目给出的BD=CE的条件，满足SAS全等判定的要求，即可完成证明。
(2) 要证AE²=BE·EF，先将等积式转化为比例式$\frac{AE}{BE}=\frac{EF}{AE}$，可知需要证明△AEF∽△BEA。首先利用第一问的全等结论推导角相等，结合等边三角形60°的内角，可推出∠EAF=∠EBA，再加上公共角∠AEF=∠BEA，即可通过两角对应相等判定两三角形相似，进而得到对应比例式，转化为等积式即可得证。
【解析】
(1) 证明：$\because △ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=BC, ∠ABD=∠C=60°.$
又$\because BD=CE,$
$\therefore △ABD≌△BCE(\mathrm{SAS}).$
(2) $\because △ABD≌△BCE,$
$\therefore ∠BAD=∠CBE.$
$\because ∠BAD + ∠EAF = ∠ABE + ∠CBE = 60°,$
$\therefore ∠EAF=∠EBA.$
又$\because ∠AEF=∠BEA,$
$\therefore △AEF∽△BEA(\mathrm{AA}).$
$\therefore \frac{AE}{BE}=\frac{EF}{EA},$
即$AE^2=BE·EF.$
【答案】
(1) 已证△ABD≌△BCE；
(2) 已证$AE^2=BE·EF$，证明过程见上述解析。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是等边三角形结合全等、相似的基础综合题，第一问难度较低，直接利用等边三角形性质和全等判定即可解决，第二问需要掌握等积式与比例式的互化方法，通过寻找对应相似三角形完成证明，能较好地锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

12. 四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形,如果这两个三角形相似,我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”.
(1)如图①,在四边形ABCD中,∠ABC=70°,AB=AD,AD//BC,当∠ADC=145°时.求证:对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”;
(2)如图②,在四边形ABCD中,CA平分∠BCD,当∠BCD与∠BAD满足什么关系时,对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”,请说明理由.

12. (1)证明: $\because AB=AD, \therefore ∠ ABD =$
$∠ ADB. \because AD // BC, \therefore ∠ ADB =$
$∠ DBC, \therefore ∠ ABD = ∠ DBC =$
$\frac{1}{2}∠ ABC = 35°. \because$ 易知 $∠ ADC +$
$∠ C = 180°, ∠ ADC = 145°, \therefore ∠ C$
$= 35°, \therefore ∠ ADB = ∠ ABD =$
$∠ DBC = ∠ C = 35°, \therefore △ ABD ∽$
$△ DBC, \therefore$ 对角线 $BD$ 是四边形
$ABCD$ 的“理想对角线”. (2)解:
当 $∠ BAD + \frac{1}{2}∠ BCD = 180°$ 时,对
角线 $AC$ 是四边形 $ABCD$ 的“理想
对角线”. 理由: $\because CA$ 平分 $∠ BCD,$
$\therefore ∠ ACB = ∠ ACD. \because ∠ B +$
$∠ ACB + ∠ BAC = 180°, ∠ BAD +$
$\frac{1}{2}∠ BCD = ∠ BAC + ∠ CAD +$
$∠ ACB = 180°, \therefore ∠ DAC = ∠ B, \therefore$
$△ ACB ∽ △ DCA, \therefore$ 对角线 $AC$ 是
四边形 $ABCD$ 的“理想对角线”.

【分析】
（1）要证明BD是“理想对角线”，根据定义只需证明BD分四边形得到的△ABD和△DBC相似。首先利用等腰三角形等边对等角、平行线内错角相等的性质，可推出BD平分∠ABC，算出∠DBC的度数；再结合平行线同旁内角互补的性质算出∠C的度数，找到两组对应相等的角，即可用两角分别相等的判定定理证明两个三角形相似。
（2）要使AC是“理想对角线”，需△ACB∽△DCA。已知CA平分∠BCD，已经有一组对应角∠ACB=∠ACD，只需再找到一组相等的角，结合三角形内角和定理，即可推导出∠BAD和∠BCD的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB=AD,\therefore ∠ABD = ∠ADB$。
$\because AD// BC,\therefore ∠ADB = ∠DBC$，
$\therefore ∠ABD = ∠DBC = \frac{1}{2}∠ABC = 35°$。
$\because AD// BC,\therefore ∠ADC + ∠C = 180°$，
已知$∠ADC=145°,\therefore ∠C = 180°-145°=35°$，
$\therefore ∠ADB = ∠C，∠ABD = ∠DBC$，
$\therefore △ABD ∽ △DBC$，
$\therefore$ 对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”。
(2) 解：当$\boldsymbol{∠BAD + \frac{1}{2}∠BCD = 180°}$时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，理由如下：
$\because CA$平分$∠BCD,\therefore ∠ACB = ∠ACD = \frac{1}{2}∠BCD$。
在△ABC中，$∠B + ∠ACB + ∠BAC = 180°$，
又$\because ∠BAD + \frac{1}{2}∠BCD = ∠BAC + ∠CAD + ∠ACB = 180°$，
对比两式可得$∠DAC = ∠B$，
又$\because ∠ACB = ∠DCA$，
$\therefore △ACB ∽ △DCA$，
$\therefore$ 对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”。
【答案】
(1) 对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”；
(2) 当$∠BAD + \frac{1}{2}∠BCD = 180°$时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”。
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于新定义题型，解题核心是先准确理解“理想对角线”的定义，将问题转化为证明三角形相似，再结合角的相关性质推导等量关系即可求解，侧重考查对新定义的理解能力和几何基础知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.65