1. 图中各有两个三角形，角的度数已在图上标注，则这两个三角形（）

A.相似
B.不相似
C.全等
D.无法判断

1. A

【分析】
要判断两个三角形的关系，可结合相似、全等的判定条件分析：①首先利用三角形内角和为180°，分别求出两个三角形的未知内角；②对比两个三角形的内角，若存在两组角对应相等，则符合相似三角形的判定条件；③全等三角形需要对应边相等的条件，题中无边长信息，可排除全等可能，最终确定正确选项。
【解析】
首先计算左侧三角形的第三个内角度数：
根据三角形内角和为180°，得第三个角为 $180° - 35° - 75° = 70°$。
再计算右侧三角形的第三个内角度数：
同理得第三个角为 $180° - 70° - 75° = 35°$。
此时两个三角形的内角均为35°、75°、70°，存在两组角分别对应相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定两个三角形相似。
由于题中未给出两个三角形的边长相关信息，无法判断对应边是否相等，因此不能判定全等。
因此，应选择A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定；全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础类题目，解题核心是熟练掌握相似三角形的判定定理，先通过内角和求出未知角后对照判定条件即可得出结论，解题时注意区分相似和全等的判定要求，全等不仅需要角对应相等，还需要边对应相等，不要混淆二者的判定条件。
【难度系数】
0.8

2. 在$△ ABC$与$△ A'B'C'$中，$∠ B=∠ B'=90°$，$∠ A=30°$，则以下条件，不能说明$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似的是（）

A.$∠ A'=30°$
B.$∠ C'=60°$
C.$∠ C=60°$
D.$∠ C'=2∠ A'$

2. C

【分析】
本题考查相似三角形的判定，解题核心是利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理分析。已知两个三角形均为直角三角形，已经存在一组相等的直角，只需再得到一组对应锐角相等即可判定两三角形相似。我们先求出△ABC的内角度数，再逐一分析各选项能否推出△A'B'C'有和△ABC相等的锐角，最终选出无法判定相似的选项。
【解析】
首先计算△ABC的内角度数：
在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-90°-30°=60°。
已知△A'B'C'中∠B'=90°，即已有∠B=∠B'=90°，根据相似三角形判定定理1，只要再有一组角对应相等，即可判定两三角形相似。
对各选项逐一分析：
A. 若∠A'=30°，则∠A=∠A'=30°，两组角对应相等，可判定△ABC∽△A'B'C'，不符合题意；
B. 若∠C'=60°，则∠C=∠C'=60°，两组角对应相等，可判定△ABC∽△A'B'C'，不符合题意；
C. 若∠C=60°，这是△ABC本身的固有属性，没有给出△A'B'C'的任何角度信息，无法得到△A'B'C'的锐角与△ABC的锐角相等，因此不能判定两三角形相似，符合题意；
D. 若∠C'=2∠A'，在△A'B'C'中∠A'+∠C'=90°，代入得∠A'+2∠A'=90°，解得∠A'=30°，即∠A=∠A'=30°，两组角对应相等，可判定△ABC∽△A'B'C'，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形两锐角互余、三角形内角和定理
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题时需先明确已知相等的角，再结合选项推导是否存在第二组相等的对应角，同时要注意题干要求选“不能说明相似”的选项，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.8

3.(湖南省中考改编)如图,已知点B、E、C、F在同一条直线上,AB//DE,要使△ABC∽△DEF,还需要添加一个条件,则添加的条件是.(只需写一个条件,不添加辅助线和字母)

3. ∠A=∠D(答案不唯一)

【分析】
首先由已知AB//DE，可根据平行线的同位角相等性质得到∠B=∠DEF，此时两个三角形已经具备一组对应角相等。结合相似三角形判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似），只需要再添加一组对应角相等，就能证明△ABC∽△DEF，因此可添加∠A=∠D、∠ACB=∠F等符合要求的条件，任选其一即可。
【解析】
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF（两直线平行，同位角相等）。
若添加条件∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠D \\∠B=∠DEF\end{array} $
∴△ABC∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似）。
注：添加∠ACB=∠F、AC//DF等条件也可满足要求，答案不唯一。
【答案】
∠A=∠D(答案不唯一)
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题属于开放性条件补充题，解题时先从已知条件推导得出已有的相等关系，再结合相似三角形的判定定理补充缺少的条件即可，作答时注意不要额外添加辅助线或字母。
【难度系数】
0.8

4.如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点E为AC上一点，连结DE，若AB=6，AE=4，∠ADE=∠C，则AC的长为。

4. $\frac{9}{2}$

【分析】
解题时先观察角的关系：已知∠ADE=∠C，同时∠A是△ADE和△ACB的公共角，根据两角分别相等可判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知线段长度列比例式即可求出AC的长度，先根据中点求出AD的长度，再代入计算即可。
【解析】
解：在△ADE和△ACB中：
$\begin{cases}∠ADE=∠C \\∠A=∠A\quad(\mathrm{公共角})\end{cases}$
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）
∵点D是AB的中点，AB=6，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=3$
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
将AD=3，AE=4，AB=6代入得：
$\frac{3}{AC}=\frac{4}{6}$
交叉相乘得$4AC=18$，解得$AC=\frac{9}{2}$
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题关键是通过公共角和已知等角证明三角形相似，列比例式时注意找准对应边，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7

5.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD:DE=3:5，AE=8，BD=4，则DC的长为。

5. $\frac{15}{4}$

【分析】
首先观察图形，已知∠C=∠E，且∠ADC与∠BDE是对顶角，二者相等，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定△ADC∽△BDE。首先根据AD:DE=3:5和AE=8的条件计算出AD、DE的长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，代入已知数值即可求出DC的长度。
【解析】
解：
∵AD:DE=3:5，AE=AD+DE=8，
∴AD=3，DE=5。
在△ADC和△BDE中：
$\{\begin{array}{l}∠ C=∠ E\\ ∠ ADC=∠ BDE(\mathrm{对顶角相等})\end{array} $
∴△ADC∽△BDE（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{AD}{BD}=\frac{DC}{DE}$。
将AD=3，DE=5，BD=4代入比例式：
$\frac{3}{4}=\frac{DC}{5}$，
解得$DC=\frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定与性质的综合应用，解题核心是准确识别相似三角形，理清对应边的比例关系，是相似三角形应用的基础题型。
【难度系数】
0.7

6. 如图, 已知$△ ABC$和$△ ADE$, 且点$D$、$C$、$E$在同一直线上. 若$∠ BAC=∠ DAE$, $∠ AEC + ∠ ACB=180°$. 求证: $△ ABC ∽ △ ADE$.

6. 证明: $\because ∠ AEC + ∠ ACB = 180°$,
$∠ AEC + ∠ AED = 180°, \therefore ∠ ACB$
$= ∠ AED. \because ∠ BAC = ∠ DAE, \therefore$
$△ ABC ∽ △ ADE.$

【分析】
要证明两个三角形相似，可优先考虑两角分别相等的相似判定定理。题目已经给出一组对应角相等$∠ BAC=∠ DAE$，因此只需再推导另一组对应角相等即可。结合已知$∠ AEC+∠ ACB=180°$，再利用点$D、C、E$共线的条件可得$∠ AEC+∠ AED=180°$，根据同角的补角相等就能推出$∠ ACB=∠ AED$，得到两组对应角相等后即可证明三角形相似。
【解析】
证明：
$\because ∠ AEC + ∠ ACB = 180°$，
又$\because$点$D、C、E$在同一直线上，由平角定义可得$∠ AEC + ∠ AED = 180°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ AED$（同角的补角相等），
又$\because ∠ BAC = ∠ DAE$，
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明: $\because ∠ AEC + ∠ ACB = 180°$,
$∠ AEC + ∠ AED = 180°, \therefore ∠ ACB$
$= ∠ AED. \because ∠ BAC = ∠ DAE, \therefore$
$△ ABC ∽ △ ADE.$
【知识点】
相似三角形判定，补角的性质，平角的定义
【点评】
本题属于相似三角形证明的基础题型，核心考察相似三角形的判定定理和补角的性质，解题关键是通过角度的互补关系找到第二组相等的对应角，熟练掌握基础定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8

7.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$E$是边$AC$上一点,且$BE=BC$,过点$A$作$BE$的垂线,交$BE$的延长线于点$D$.求证:$△ ADE ∽ △ ABC$.

7. 证明: $\because BE=BC, \therefore ∠ CEB = ∠ C.$
$\because ∠ AED = ∠ CEB, \therefore ∠ AED =$
$∠ C. \because AD ⊥ BE, \therefore ∠ D = 90° =$
$∠ ABC. \therefore △ ADE ∽ △ ABC.$

【分析】
要证明两个三角形相似，优先考虑“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定定理。首先观察已知角的特征：△ADE中AD⊥BE，可得∠D=90°，题目已知Rt△ABC中∠ABC=90°，已经得到一组对应直角相等，接下来只需再找一组对应角相等即可。结合已知BE=BC，可利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠CEB=∠C，再通过对顶角相等的性质将∠CEB转化为∠AED，即可得到另一组相等的对应角∠AED=∠C，满足相似判定条件即可完成证明。
【解析】
证明: $\because BE=BC, \therefore ∠ CEB = ∠ C.$
$\because ∠ AED = ∠ CEB, \therefore ∠ AED = ∠ C.$
$\because AD ⊥ BE, \therefore ∠ D = 90° = ∠ ABC.$
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC.$
【答案】
证明: $\because BE=BC, \therefore ∠ CEB = ∠ C.$
$\because ∠ AED = ∠ CEB, \therefore ∠ AED = ∠ C.$
$\because AD ⊥ BE, \therefore ∠ D = 90° = ∠ ABC.$
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC.$
【知识点】
相似三角形的判定、等腰三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用类题目，解题核心是通过角的等量转换得到两组对应角相等，需要熟练掌握相关几何性质和相似判定定理，整体解题逻辑清晰，容易上手。
【难度系数】
0.7

8. 如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,点E在AB上,且AE=3,点F在AC上,连结EF,若△AEF与△ABC相似,则AF=.

8. 2或4.5

【分析】
本题考查相似三角形的应用，由于题目仅说明△AEF与△ABC相似，未明确对应顶点的对应关系，因此需要分两种情况讨论：①△AEF与△ABC以∠AEF和∠B为对应角相似；②△AEF与△ABC以∠AEF和∠C为对应角相似。两种情况均以∠A为公共角，结合相似三角形对应边成比例分别计算AF的长度，最后验证结果是否符合点F在AC上的条件即可。
【解析】
解：
∵∠A是△AEF和△ABC的公共角，△AEF与△ABC相似分两种情况：
①当△AEF∽△ABC时，对应边成比例：
$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$
代入已知AB=9，AC=6，AE=3：
$\frac{3}{9}=\frac{AF}{6}$
解得：$AF=\frac{3×6}{9}=2$，符合点F在AC上的要求；
②当△AEF∽△ACB时，对应边成比例：
$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$
代入数值：
$\frac{3}{6}=\frac{AF}{9}$
解得：$AF=\frac{3×9}{6}=4.5$，符合点F在AC上的要求。
综上，AF的长为2或4.5。
【答案】
2或4.5
【知识点】
相似三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形的典型易错题，解题的关键是注意相似未明确对应关系时，要分情况讨论所有可能的对应方式，避免漏解，同时求出结果后要验证是否符合题目的位置要求。
【难度系数】
0.6