1. 在 Rt △ABC 中，∠C = 90°，则 tanA = $\frac{∠A的①边}{∠A的②边}$，①、②分别对应的是 （）

A.对，邻
B.对，斜
C.邻，对
D.邻，斜

1.A

【分析】
本题考查锐角正切函数的定义，解题时先回忆直角三角形中锐角正切的定义规则，明确直角背景下∠A的对边、邻边的区分标准，再对照正切的表达式即可确定①②对应的内容。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据锐角正切的定义：锐角A的正切值等于∠A的对边与∠A的邻边的比值，即$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}$，因此①对应“对”，②对应“邻”，符合的选项为A。
【答案】
A
【知识点】
正切的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对正切函数定义的记忆与理解，熟练掌握各锐角三角函数的定义就能快速解答此类题目。
【难度系数】
0.9

2. 在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别为$a、b、c$.已知$a=6,b=8,c=10$.则$\cos A$的值为（）

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{4}{3}$

2.C

【分析】
解题时首先观察给出的三角形三边长，先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，6、8、10是常见勾股数，可推出该三角形为直角三角形且∠C为直角；再回忆锐角余弦的定义：锐角的余弦值等于该角的邻边长度与斜边长度的比值，找到∠A对应的邻边和斜边，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：已知△ABC的三边a=6，b=8，c=10，
先验证勾股定理逆定理：
∵$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$c^2 = 10^2 = 100$，
∴$a^2 + b^2 = c^2$，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
根据锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，
∠A的邻边为b=8，斜边为c=10，
∴$\cos A = \frac{邻边}{斜边} = \frac{b}{c} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，余弦的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形的判定和锐角三角函数的基本概念，熟练掌握常见勾股数、牢记锐角三角函数的对应边比值关系是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

3. 如图所示，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，CD是AB边上的中线，$BC=6$，$CD=5$，则$∠ ACD$的正切值是（）

A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

3.D

【分析】
解题时先观察题干特征：图中是直角三角形且给出斜边的中线，首先回忆直角三角形斜边中线的性质，可得斜边AB的长度，同时可得CD=AD，因此∠ACD=∠A，求∠ACD的正切值可转化为求∠A的正切值；再通过勾股定理求出另一条直角边AC的长度，最后根据正切的定义计算即可。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，CD是AB边上的中线，$CD=5$
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$AB=2CD=10$，且$AD=CD$，
∴$∠ A=∠ ACD$
由勾股定理计算$AC$的长度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
根据正切的定义，$\tan∠ A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}}=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
∵$∠ ACD=∠ A$，
∴$\tan∠ ACD=\frac{3}{4}$
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、勾股定理、锐角三角函数定义
【点评】
本题是基础常考题，解题的关键是利用直角三角形斜边中线的性质实现角的转化，将所求角的三角函数值转化为直角三角形中已知边的比值，计算难度较低。
【难度系数】
0.8

4.如图,在平面直角坐标系中,直线OA过点(2,1),则$\sinα=$,$\cosα=$,$\tanα=$.

4.$\frac{\sqrt{5}}{5}$ $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ $\frac{1}{2}$

【分析】
要求角α的三个锐角三角函数值，首先结合平面直角坐标系的坐标特征构造直角三角形：过点(2,1)向x轴作垂线，即可得到含角α的直角三角形。先根据点的坐标得到直角三角形两条直角边的长度，再用勾股定理求出斜边长度，最后根据正弦、余弦、正切的定义分别计算比值即可。
【解析】
过点(2,1)作x轴的垂线，得到含角α的直角三角形：
1. 直角三角形的两条直角边长度分别为：α的邻边长为2（对应点的横坐标），α的对边长为1（对应点的纵坐标）；
2. 由勾股定理计算斜边长：$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$；
3. 根据锐角三角函数的定义计算：
$\sinα = \frac{对边}{斜边} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cosα = \frac{邻边}{斜边} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tanα = \frac{对边}{邻边} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$；$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；$\frac{1}{2}$
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理；坐标的几何意义
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是结合平面直角坐标系的坐标特征构造直角三角形，再结合三角函数定义求解，熟练掌握基础定义即可快速得分。
【难度系数】
0.85

5. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=a$，$AC=2a$，试求$∠ B$的三个三角函数值。

5. 解：在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中，$BC = \sqrt{AB^2+AC^2} = \sqrt{a^2+(2a)^2} = \sqrt{5}a, \therefore \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{2a}{\sqrt{5}a} = \frac{2\sqrt{5}}{5},$
$\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{a}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{5}, \tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{2a}{a}=2.$

【分析】
要求∠B的三个三角函数值，首先回忆锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边与斜边的比，余弦为邻边与斜边的比，正切为对边与邻边的比。已知Rt△ABC的两条直角边长度，首先需要用勾股定理求出斜边BC的长度，再明确∠B的对边是AC、邻边是AB，对应代入三角函数公式计算，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2+AC^2} = \sqrt{a^2+(2a)^2} = \sqrt{5a^2}=\sqrt{5}a$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{2a}{\sqrt{5}a} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
$\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{a}{\sqrt{5}a} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
$\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{2a}{a} = 2$
【答案】
$\sin B=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos B=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\tan B=2$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义，二次根式化简
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，解题关键是准确区分所求锐角的对边和邻边，计算得到的分式结果注意要化为最简形式。
【难度系数】
0.8

6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ C$的对边为$c$，$∠ A$的对边为$a$，已知$a$和$∠ A$，则下列关系式正确的是（）

A.$c=a·\sin A$
B.$c=\dfrac{a}{\sin A}$
C.$c=a·\cos A$
D.$c=\dfrac{a}{\cos A}$

6.B

【分析】
解题时首先回忆直角三角形中锐角正弦的定义：锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。本题已知∠A的对边为a，斜边为c，先根据正弦定义写出sinA的表达式，再通过等式变形求出c的表达式，最后匹配选项即可得到正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义可得：
$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边} = \frac{a}{c}$
对上述等式变形求解$c$：
等式两边同时乘$c$，得$c·\sin A = a$
由于$∠ A$是锐角，$\sin A≠0$，等式两边同时除以$\sin A$，得$c = \frac{a}{\sin A}$
因此符合题意的选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 锐角正弦的定义 2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题，主要考查正弦函数对应的边的比例关系，明确各三角函数的边的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8

7. 已知α是锐角，且$\sinα = \frac{1}{3}$，则$\cosα =$

7.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

【分析】
本题可利用同角三角函数的平方关系求解。首先明确对于锐角α，满足$\sin^2α + \cos^2α = 1$，且锐角的余弦值为正数，因此先通过公式变形得到$\cosα$的表达式，再代入已知$\sinα$的值计算，最后取正根即可。
【解析】
解：
∵α是锐角，
∴$\cosα ＞ 0$
根据同角三角函数的平方关系$\sin^2α + \cos^2α = 1$，可得：
$\cosα = \sqrt{1 - \sin^2α}$
将$\sinα = \frac{1}{3}$代入上式：
$\cosα = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
【答案】
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
同角三角函数的平方关系，锐角三角函数的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查同角三角函数基本关系的应用，解题时要注意结合锐角的范围确定三角函数的符号，防止开方时出现符号错误。
【难度系数】
0.85

8. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，tanA=$\frac{5}{12}$，则sinA的值为。

8.$\frac{5}{13}$

【分析】
本题已知直角三角形中一个锐角的正切值，求该锐角的正弦值，解题思路如下：首先回忆锐角三角函数的定义，tanA是角A的对边与邻边的比值，因此我们可以通过设参数的方式表示出对边和邻边的长度，再利用勾股定理求出斜边的长度，最后根据sinA是对边与斜边的比值代入计算即可，参数在计算比值时会被约掉，不影响最终结果。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵tanA = $\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}$ = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{5}{12}$，
∴设BC=5k（k＞0），则AC=12k，
由勾股定理可得斜边AB的长度为：
$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{(5k)^2 + (12k)^2} = \sqrt{25k^2 + 144k^2} = \sqrt{169k^2} = 13k$，
∴sinA = $\frac{∠A的对边}{斜边}$ = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{5k}{13k}$ = $\frac{5}{13}$。
【答案】
$\frac{5}{13}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角三角函数的基本概念和勾股定理的简单应用，通过设参数表示边长求三角函数比值是这类题的常用解题方法，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.8

9.已知α是锐角，且$\sinα=\frac{1}{3}$，求$\tanα$的值.

9. 解: $\because \sin^2α + \cos^2α = 1, \therefore \cosα = \sqrt{1-\sin^2α} = \sqrt{1-\frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}, \therefore \tanα=\frac{\sinα}{\cosα}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.$

【分析】
解题思路如下：首先已知α是锐角，因此它的余弦值、正切值都为正数。我们学过同角三角函数的两个基本关系：一是$\sin^2α + \cos^2α = 1$，二是$\tanα = \frac{\sinα}{\cosα}$。所以第一步先利用正弦和余弦的平方关系，代入已知的$\sinα$的值求出$\cosα$，注意因为α是锐角，开平方时仅需取正根；第二步再利用正切与正弦、余弦的商数关系，代入$\sinα$和$\cosα$的值计算，最后化简得到结果即可。
【解析】
解：$\because \sin^2α + \cos^2α = 1$，且α是锐角，$\cosα＞0$
$\therefore \cosα = \sqrt{1-\sin^2α} = \sqrt{1-(\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1-\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
又$\because \tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$
$\therefore \tanα=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
同角三角函数关系；锐角三角函数性质；二次根式化简
【点评】
本题属于基础计算题，核心是灵活运用同角三角函数的基本关系解题，解题时要注意锐角的三角函数值均为正，避免出现多解错误，最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8

10. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=2$，$AC=6$，则$BC$的长为（）

A.6
B.16
C.3
D.12

10.D

【分析】
解题时首先明确题目给出的是直角三角形，已知一个锐角的正切值和一条直角边，求另一条直角边。第一步回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，锐角的正切值等于该角的对边长度与邻边长度的比值；第二步确定∠A的对边是BC、邻边是AC；第三步将已知数值代入正切公式，即可求解BC的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得：
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}$
已知$\tan A=2$，$AC=6$，代入上式得：
$2=\frac{BC}{6}$
解得$BC=2×6=12$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义；直角三角形边角计算
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，核心考查正切的定义应用，解题时只要准确区分锐角的对边和邻边，代入数值计算即可得出结果，不易出错。
【难度系数】
0.9

11. 在 Rt△ABC 中，$∠ C = 90°$，$\sin A = \frac{2}{3}$，则$\cos A$的值是。

11.$\frac{\sqrt{5}}{3}$

【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数求值问题，可从两个符合学段要求的思路切入：① 利用锐角三角函数的定义，结合sinA的值设出直角三角形对应边长，再用勾股定理求出∠A的邻边，最后根据余弦的定义计算cosA；② 利用同角锐角三角函数的平方关系$\sin^2 A + \cos^2 A=1$，结合∠A是锐角、cosA为正数的特点，直接代入求值即可，两种方法可灵活选择。
【解析】
解法一：定义法
在Rt△ABC中，∠C=90°，由锐角正弦的定义可知$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$。
设$BC=2k$，$AB=3k$（$k＞0$），根据勾股定理可得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(3k)^2 - (2k)^2} = \sqrt{9k^2 - 4k^2} = \sqrt{5}k$
再由锐角余弦的定义，$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}k}{3k}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
解法二：同角三角函数关系法
因为∠A是Rt△ABC的锐角，所以满足$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，且$\cos A ＞ 0$。
代入$\sin A = \frac{2}{3}$可得：
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理、同角三角函数基本关系
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础考查题，解题思路灵活，既可以通过数形结合设边计算，也可以直接利用三角函数公式求解，是对核心基础知识掌握程度的常规检验。
【难度系数】
0.85