12. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,D 是 AC 上一点,连结 BD,$AD=BD$,已知 $CD=5$,$AD=13$,求 $\sin∠ CBD$、$\cos∠ CBD$、$\tan∠ ABD$的值.

12. 解:$\because AD=BD=13,CD=5, \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ CBD$ 中, $\sin∠ CBD = \frac{CD}{BD} = \frac{5}{3}$; 由勾股定理, 得 $BC = \sqrt{BD^2-CD^2}=12, \therefore \cos∠ CBD = \frac{BC}{BD}=\frac{12}{13}; \because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $\tan A = \frac{BC}{AC}=\frac{12}{5+13}=\frac{2}{3}, AD=BD, \therefore ∠ ABD=∠ A, \therefore \tan∠ ABD=\tan A=\frac{2}{3}.$

【分析】
解题思路如下：1. 先梳理已知条件：Rt△ABC中∠C=90°，AD=BD=13，CD=5。首先在Rt△CBD中，已知斜边BD和直角边CD，先用勾股定理求出直角边BC的长度，再根据锐角三角函数的定义，分别计算∠CBD的正弦、余弦值。2. 求tan∠ABD时，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，由AD=BD可得∠ABD=∠A，因此只需要在Rt△ABC中求出tanA的值，即可得到tan∠ABD的值。
【解析】
解：
∵AD=BD=13，CD=5，∠C=90°，
① 在Rt△CBD中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，
根据锐角三角函数定义：
$\sin∠ CBD=\frac{CD}{BD}=\frac{5}{13}$，
$\cos∠ CBD=\frac{BC}{BD}=\frac{12}{13}$；
②
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A，
又
∵AC=AD+CD=13+5=18，
在Rt△ABC中，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$，
∴$\tan∠ ABD=\tan A=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\sin∠ CBD=\frac{5}{13}$，$\cos∠ CBD=\frac{12}{13}$，$\tan∠ ABD=\frac{2}{3}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义；等腰三角形性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题时注意通过等腰三角形的性质进行角的转化，将未知角的三角函数值转化为已知直角三角形中锐角的三角函数值，简化计算过程。
【难度系数】
0.7

13.(核心素养·几何直观)如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上.
(1)求证:△ABF∽△DFE；
(2)若$\sin∠ DFE=\dfrac{3}{5}$，求$\tan∠ EBC$的值.

13. (1)证明:易知$∠ A=∠ D=∠ C=90°, \therefore ∠ BFE = ∠ C = 90°, \therefore ∠ BFA + ∠ DFE = 90°.$ 又 $\because ∠ ABF + ∠ BFA = 90°, \therefore ∠ ABF = ∠ DFE, \therefore △ ABF ∽ △ DFE.$
(2)解: $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中,$\sin∠ DFE = \frac{3}{5}, \therefore$ 设 $DE=3a,EF=5a, \therefore DF = \sqrt{EF^2-DE^2} = \sqrt{(5a)^2-(3a)^2}=4a.$ $\because △ BCE$ 沿 $BE$ 折叠为 $△ BFE, \therefore CE=EF=5a, AB=CD=DE+CE=8a, ∠ EBC=∠ EBF.$
又 $\because △ ABF ∽ △ DFE, \therefore \frac{EF}{FB}=\frac{DF}{AB}=\frac{4a}{8a}=\frac{1}{2}, \therefore \tan∠ EBF = \frac{EF}{FB}=\frac{1}{2}, \therefore \tan∠ EBC = \tan∠ EBF = \frac{1}{2}.$

【分析】
(1) 要证明△ABF∽△DFE，首先根据矩形性质可得∠A、∠D均为直角，再结合折叠性质得∠BFE为直角，通过同角的余角相等推出两组对应角相等，即可依据相似三角形判定定理完成证明。
(2) 要求tan∠EBC的值，先由折叠性质可知∠EBC=∠EBF、CE=EF，因此只需计算tan∠EBF的值。首先根据sin∠DFE的比值设参数表示Rt△DEF的各边长，再结合折叠性质求出AB的长度，利用第一问的相似结论得到EF与BF的比例，即可求出对应正切值。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB + ∠DFE = 180°-∠BFE=90°，
又
∵在Rt△ABF中，∠ABF + ∠AFB=90°，
∴∠ABF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE。
(2) 解：在Rt△DEF中，$\sin∠DFE=\frac{DE}{EF}=\frac{3}{5}$，
设$DE=3a$，$EF=5a$（$a＞0$），由勾股定理得：
$DF=\sqrt{EF^2-DE^2}=\sqrt{(5a)^2-(3a)^2}=4a$，
由折叠性质得：$CE=EF=5a$，$∠EBC=∠EBF$，
∴$CD=DE+CE=3a+5a=8a$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=CD=8a$，
∵△ABF∽△DFE，
∴$\frac{EF}{FB}=\frac{DF}{AB}=\frac{4a}{8a}=\frac{1}{2}$，
在Rt△BFE中，$\tan∠EBF=\frac{EF}{FB}=\frac{1}{2}$，
∴$\tan∠EBC=\tan∠EBF=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题综合考查了折叠、矩形、相似三角形及锐角三角函数的相关知识，解题关键是利用折叠性质得到相等的边和角，再结合相似三角形的比例关系求解，能够有效锻炼几何推理和运算能力。
【难度系数】
0.65

1. 如图所示，$△ ABC$的顶点是正方形网格的格点，则$\cos∠ ABC$的值为（）

A.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

1.B

【分析】
要求$\cos∠ABC$的值，需结合锐角三角函数的余弦定义求解：余弦是直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值。首先我们可以设每个小正方形的边长为1，构造包含$∠ABC$的直角三角形，再用勾股定理计算出该角的邻边和斜边长度，最后代入定义计算比值即可。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1，过点A作$AD⊥BC$，垂足为D。
由网格可得：$BD=3$，$AD=3$。
在$Rt△ABD$中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
根据余弦的定义：$\cos∠ABC=\frac{∠ABC的邻边}{斜边}=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是网格背景下的锐角三角函数求值问题，解题的核心是构造合适的直角三角形，准确获取线段长度后结合定义计算，难度较低。
【难度系数】
0.8

2.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则$\tan∠AOB$的值是.

2.$\frac{3}{2}$

【分析】
要求$\tan∠ AOB$的值，需结合锐角三角函数中正切的定义求解：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。我们可以设每个小正方形的边长为1，过点A向OB作垂线构造含$∠ AOB$的直角三角形，再通过网格数出该角对边和邻边的长度，代入定义计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点A作$AC⊥ OB$，垂足为点C。
由网格可知，$∠ AOB$的对边$AC=3$，邻边$OC=2$。
根据正切的定义可得：$\tan∠ AOB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AC}{OC}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
正切的定义，网格线段长度计算
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题核心是构造包含所求角的直角三角形，结合网格快速得到直角边长度，只要掌握正切的定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.85

3.如图所示，$△ ABC$的顶点在正方形网格的格点上，则$\tan A$的值为。

3.$\frac{1}{2}$

【分析】
要求$\tan A$的值，需依据锐角正切的定义：在直角三角形中，锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。因此首先要构造包含$∠ A$的直角三角形：我们可以过点$B$作$AC$的垂线，垂足为$D$，得到$\mathrm{Rt}△ ABD$；接下来先通过割补法求出$△ ABC$的面积，结合$AC$的长度求出高$BD$的长，再用勾股定理求出$AB$、$AD$的长，最后代入正切定义计算即可。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1。
1. 过点$B$作$BD⊥ AC$于点$D$，构造$\mathrm{Rt}△ ABD$。
2. 利用割补法计算$△ ABC$的面积，可得$S_{△ ABC}=5$；
3. 由勾股定理计算$AC$的长度：$AC=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$；
4. 根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BD$，代入数值：
$5=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}× BD$，解得$BD=\sqrt{2}$；
5. 计算$AB$的长度：$AB=\sqrt{(5-4)^2+(5-2)^2}=\sqrt{10}$；
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2}$；
7. 根据正切的定义，$\tan A=\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
正切的定义，勾股定理，割补法求面积
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的常考题，解题核心是通过作高构造含所求角的直角三角形，结合割补法、勾股定理得到对应边的长度，再代入三角函数定义求解，解题时要注意计算边长时不要数错格数。
【难度系数】
0.7

4.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,点A、B、C均在网格点上,延长CA至点D,则$\sin∠ DAB$的值为.

4.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

【分析】
要计算$\sin∠DAB$的值，首先观察到$∠DAB$不是直角三角形的内角，我们可以通过构造直角三角形来求解：过点$B$作$BH$垂直于$CA$所在的直线于点$H$，此时$∠DAB$是$\mathrm{Rt}△ABH$的内角，只需要利用勾股定理求出$AB$的长度，结合网格特征求出$BH$的长度，再根据正弦的定义（锐角的正弦=对边/斜边）即可算出结果。也可以利用邻补角的正弦值相等，将求$\sin∠DAB$转化为求$\sin∠BAC$，再结合三角形面积公式和勾股定理计算。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
过点$B$作$BH⊥$直线$CD$（$CD$为$CA$所在直线），垂足为$H$，则$△ABH$为直角三角形，$∠AHB=90°$。
1. 计算$AB$的长度：根据网格中$A$、$B$的位置，横向相差2个单位，纵向相差1个单位，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
2. 计算$BH$的长度：通过网格计数或面积法可求得点$B$到直线$CD$的距离$BH=2$
3. 根据正弦的定义，在$\mathrm{Rt}△ABH$中：
$\sin∠DAB = \frac{BH}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理；网格图形计算
【点评】
本题是网格背景下的锐角三角函数求值题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将所求角转化为直角三角形的内角，需要熟练掌握网格中线段长度的计算方法，以及锐角三角函数的定义。
【难度系数】
0.6