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10.如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连结EF交CD于点M,连结AM.
(1)求证:EF=$\frac{1}{2}AC$;
(2)若∠BAC=45°,线段AM,DM,CB之间有何数量关系,为什么?
(1)求证:EF=$\frac{1}{2}AC$;
(2)若∠BAC=45°,线段AM,DM,CB之间有何数量关系,为什么?
答案
(1)证明:$\because CD=CB, E$ 为 $BD$ 的中点, $\therefore CE ⊥ BD$, 则 $∠ AEC=90°$,
又 $F$ 为 $AC$ 的中点, $\therefore EF=\frac{1}{2} AC.$
(2)解:$CB=DM+AM$. 理由:$\because$
$∠ BAC = 45°, ∠ AEC = 90°. \therefore$
$△ ACE$ 是等腰直角三角形, $\therefore AE$
$=CE$, 又 $\because F$ 为 $AC$ 的中点, $\therefore EF$
$⊥ AC, \therefore AM=CM, \because CD=DM+$
$CM, CD=CB, \therefore CB=DM+AM.$
又 $F$ 为 $AC$ 的中点, $\therefore EF=\frac{1}{2} AC.$
(2)解:$CB=DM+AM$. 理由:$\because$
$∠ BAC = 45°, ∠ AEC = 90°. \therefore$
$△ ACE$ 是等腰直角三角形, $\therefore AE$
$=CE$, 又 $\because F$ 为 $AC$ 的中点, $\therefore EF$
$⊥ AC, \therefore AM=CM, \because CD=DM+$
$CM, CD=CB, \therefore CB=DM+AM.$
解析
【分析】
(1)要证明$EF=\frac{1}{2}AC$，可联想直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，因此需先证明$△ AEC$是直角三角形：已知$CD=CB$，E为BD中点，根据等腰三角形三线合一可推出$CE⊥ BD$，得到$∠AEC=90°$，再结合F是AC中点即可证明结论。
(2)推导三条线段的数量关系，先由$∠ BAC=45°$和$∠ AEC=90°$可得$△ ACE$是等腰直角三角形，结合F是AC中点可知EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线性质得$AM=CM$，再结合$CD=CB$、$CD=DM+CM$，等量代换即可得到三者关系。
【解析】
(1)证明：$\because CD=CB$，E为$BD$的中点，
$\therefore CE⊥ BD$（等腰三角形三线合一），即$∠ AEC=90°$，
又$\because$F为$AC$的中点，
$\therefore EF$是$\mathrm{Rt}△ AEC$斜边AC的中线，
$\therefore EF=\frac{1}{2}AC$。
(2)解：$CB=DM+AM$，理由如下：
$\because ∠ BAC=45°$，$∠ AEC=90°$，
$\therefore △ ACE$是等腰直角三角形，$\therefore AE=CE$，
又$\because$F为$AC$的中点，
$\therefore EF⊥ AC$，即EF是线段AC的垂直平分线，
$\therefore AM=CM$，
$\because CD=DM+CM$，且$CD=CB$，
$\therefore CB=DM+AM$。
【答案】
(1)证明成立，$EF=\frac{1}{2}AC$；
(2)$CB=DM+AM$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形斜边中线的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的核心是灵活运用等腰三角形三线合一得到直角，再结合中点特征推导线段关系，解题时注意等量代换思想的运用。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$EF=\frac{1}{2}AC$，可联想直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，因此需先证明$△ AEC$是直角三角形：已知$CD=CB$，E为BD中点，根据等腰三角形三线合一可推出$CE⊥ BD$，得到$∠AEC=90°$，再结合F是AC中点即可证明结论。
(2)推导三条线段的数量关系，先由$∠ BAC=45°$和$∠ AEC=90°$可得$△ ACE$是等腰直角三角形，结合F是AC中点可知EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线性质得$AM=CM$，再结合$CD=CB$、$CD=DM+CM$，等量代换即可得到三者关系。
【解析】
(1)证明：$\because CD=CB$，E为$BD$的中点，
$\therefore CE⊥ BD$（等腰三角形三线合一），即$∠ AEC=90°$，
又$\because$F为$AC$的中点，
$\therefore EF$是$\mathrm{Rt}△ AEC$斜边AC的中线，
$\therefore EF=\frac{1}{2}AC$。
(2)解：$CB=DM+AM$，理由如下：
$\because ∠ BAC=45°$，$∠ AEC=90°$，
$\therefore △ ACE$是等腰直角三角形，$\therefore AE=CE$，
又$\because$F为$AC$的中点，
$\therefore EF⊥ AC$，即EF是线段AC的垂直平分线，
$\therefore AM=CM$，
$\because CD=DM+CM$，且$CD=CB$，
$\therefore CB=DM+AM$。
【答案】
(1)证明成立，$EF=\frac{1}{2}AC$；
(2)$CB=DM+AM$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形斜边中线的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的核心是灵活运用等腰三角形三线合一得到直角，再结合中点特征推导线段关系，解题时注意等量代换思想的运用。
【难度系数】
0.7
11.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,M为边AB的中点,点E在线段AM上,$EF⊥ AC$于点F,连结CM、CE.已知$∠ A=50°$,$∠ ACE=30°$.
(1)求证:$CE=CM$;
(2)若$AB=4$,求线段FC的长.
(1)求证:$CE=CM$;
(2)若$AB=4$,求线段FC的长.
答案
(1)证明:$\because ∠ ACB=90°, M$ 为边 $AB$ 的中点, $\therefore MC=MB=AM, \therefore$
$∠ MCB = ∠ B. \because ∠ A = 50°,$
$∠ ACB = 90°, \therefore ∠ MCB = ∠ B =$
$40°, \therefore ∠ EMC = ∠ MCB + ∠ B =$
$80°. \because ∠ ACE = 30°, \therefore ∠ MEC =$
$∠ A + ∠ ACE = 80°. \therefore ∠ MEC =$
$∠ EMC, \therefore CE=CM.$
(2)解:$\because$
$AB=4, MC=MB=AM, \therefore CE=$
$CM = \frac{1}{2} AB = 2. \because EF ⊥ AC,$
$∠ ACE=30°, \therefore EF=\frac{1}{2} CE=1.$ 在
$\mathrm{Rt}△ CEF$ 中, 根据勾股定理, 得 $FC$
$=\sqrt{CE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}.$
$∠ MCB = ∠ B. \because ∠ A = 50°,$
$∠ ACB = 90°, \therefore ∠ MCB = ∠ B =$
$40°, \therefore ∠ EMC = ∠ MCB + ∠ B =$
$80°. \because ∠ ACE = 30°, \therefore ∠ MEC =$
$∠ A + ∠ ACE = 80°. \therefore ∠ MEC =$
$∠ EMC, \therefore CE=CM.$
(2)解:$\because$
$AB=4, MC=MB=AM, \therefore CE=$
$CM = \frac{1}{2} AB = 2. \because EF ⊥ AC,$
$∠ ACE=30°, \therefore EF=\frac{1}{2} CE=1.$ 在
$\mathrm{Rt}△ CEF$ 中, 根据勾股定理, 得 $FC$
$=\sqrt{CE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}.$
解析
【分析】
(1) 要证明CE=CM，可通过证明两条线段所对的角相等，利用等角对等边推导。首先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到MC=MA=MB，从而推出∠MCB=∠B，先结合已知角度求出∠B的度数，再利用三角形外角的性质分别计算∠EMC和∠MEC的度数，验证两角相等即可完成证明；
(2) 先根据直角三角形斜边中线的性质求出CM的长度，结合(1)的结论得到CE的长度，再利用含30°角的直角三角形的性质求出EF的长度，最后在Rt△CEF中通过勾股定理计算FC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=90°，M为边AB的中点，
∴MC=MB=AM，
∴∠MCB = ∠B。
∵∠A = 50°，∠ACB = 90°，
∴∠B=90°-∠A=40°，即∠MCB = ∠B =40°，
由三角形外角的性质可得：∠EMC = ∠MCB + ∠B = 40°+40°=80°。
∵∠ACE = 30°，
同理可得∠MEC = ∠A + ∠ACE = 50°+30°=80°，
∴∠MEC = ∠EMC，
∴CE=CM。
(2) 解：
∵AB=4，M是AB的中点，∠ACB=90°，
∴CM = $\frac{1}{2}AB$ = 2，
由(1)的结论得CE=CM=2。
∵EF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
在Rt△CEF中，∠ACE=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}CE$=1。
根据勾股定理：
FC=$\sqrt{CE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 已证CE=CM；
(2) $\boxed{\sqrt{3}}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等角对等边，勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形与等腰三角形的综合应用，解题关键是熟练运用直角三角形斜边中线的性质推导边与角的关系，结合三角形外角性质得到等角，再借助特殊直角三角形的性质和勾股定理计算线段长度，是几何基础考点的常规考法，需熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明CE=CM，可通过证明两条线段所对的角相等，利用等角对等边推导。首先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到MC=MA=MB，从而推出∠MCB=∠B，先结合已知角度求出∠B的度数，再利用三角形外角的性质分别计算∠EMC和∠MEC的度数，验证两角相等即可完成证明；
(2) 先根据直角三角形斜边中线的性质求出CM的长度，结合(1)的结论得到CE的长度，再利用含30°角的直角三角形的性质求出EF的长度，最后在Rt△CEF中通过勾股定理计算FC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=90°，M为边AB的中点，
∴MC=MB=AM，
∴∠MCB = ∠B。
∵∠A = 50°，∠ACB = 90°，
∴∠B=90°-∠A=40°，即∠MCB = ∠B =40°，
由三角形外角的性质可得：∠EMC = ∠MCB + ∠B = 40°+40°=80°。
∵∠ACE = 30°，
同理可得∠MEC = ∠A + ∠ACE = 50°+30°=80°，
∴∠MEC = ∠EMC，
∴CE=CM。
(2) 解：
∵AB=4，M是AB的中点，∠ACB=90°，
∴CM = $\frac{1}{2}AB$ = 2，
由(1)的结论得CE=CM=2。
∵EF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
在Rt△CEF中，∠ACE=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}CE$=1。
根据勾股定理：
FC=$\sqrt{CE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 已证CE=CM；
(2) $\boxed{\sqrt{3}}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等角对等边，勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形与等腰三角形的综合应用，解题关键是熟练运用直角三角形斜边中线的性质推导边与角的关系，结合三角形外角性质得到等角，再借助特殊直角三角形的性质和勾股定理计算线段长度，是几何基础考点的常规考法，需熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ B=45°$，$CD⊥ AB$于点$D$.若$AC=6$，则$BC$的长为（
A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$
A
）A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时先观察到CD⊥AB，将原三角形分为两个特殊直角三角形，第一步先在Rt△ACD中，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出CD的长度；第二步再在Rt△BCD中，利用45°角对应的直角三角形是等腰直角三角形的特点，结合勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=6，
∴CD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}×6=3$，
在Rt△BCD中，∠B=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD=3，
由勾股定理得：BC = $\sqrt{CD^2 + BD^2}$ = $\sqrt{3^2+3^2}$ = $\sqrt{18}$ = $3\sqrt{2}$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形30°角性质、勾股定理、等腰直角三角形性质
【点评】
本题是基础常考题，以含特殊角的三角形为载体，考查直角三角形相关性质的应用，解题关键是通过高构造的两个特殊直角三角形逐步推导边长，需要熟练掌握特殊角度直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.8
解题时先观察到CD⊥AB，将原三角形分为两个特殊直角三角形，第一步先在Rt△ACD中，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出CD的长度；第二步再在Rt△BCD中，利用45°角对应的直角三角形是等腰直角三角形的特点，结合勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=6，
∴CD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}×6=3$，
在Rt△BCD中，∠B=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD=3，
由勾股定理得：BC = $\sqrt{CD^2 + BD^2}$ = $\sqrt{3^2+3^2}$ = $\sqrt{18}$ = $3\sqrt{2}$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形30°角性质、勾股定理、等腰直角三角形性质
【点评】
本题是基础常考题，以含特殊角的三角形为载体，考查直角三角形相关性质的应用，解题关键是通过高构造的两个特殊直角三角形逐步推导边长，需要熟练掌握特殊角度直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.8
2.如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB = 90°,∠ A = 30°,AB = 4,CD ⊥ AB$ 于点 $D,E$ 是 $AB$ 的中点,则 $DE$ 的长为 (
A.1
B.2
C.3
D.4
A
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2.A
解析
【分析】
本题是含30°角的直角三角形求线段长度的问题，解题思路如下：首先利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半求出BC的长度；再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到CE、BE的长度，判断出△BCE的形状；最后结合CD⊥AB，利用等边三角形三线合一的性质推出D是BE的中点，即可求出DE的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$AB=4$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$，
∵E是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$BE=CE=\frac{1}{2}AB=2$，
∴$BC=BE=CE=2$，即$△ BCE$是等边三角形，
∵$CD⊥ AB$，根据等边三角形三线合一的性质，CD是$△ BCE$的中线，
∴D是BE的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
A
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，直角三角形斜边中线定理，等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查了特殊直角三角形和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，准确找到线段之间的数量关系，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题是含30°角的直角三角形求线段长度的问题，解题思路如下：首先利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半求出BC的长度；再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到CE、BE的长度，判断出△BCE的形状；最后结合CD⊥AB，利用等边三角形三线合一的性质推出D是BE的中点，即可求出DE的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$AB=4$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$，
∵E是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$BE=CE=\frac{1}{2}AB=2$，
∴$BC=BE=CE=2$，即$△ BCE$是等边三角形，
∵$CD⊥ AB$，根据等边三角形三线合一的性质，CD是$△ BCE$的中线，
∴D是BE的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
A
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，直角三角形斜边中线定理，等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查了特殊直角三角形和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，准确找到线段之间的数量关系，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
3.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$是$AB$边的中点，$CE⊥ AB$于点$E$.若$CE=5$，$CD=6$，则$△ ABC$的面积是
30
.答案
3.30
解析
【分析】
解题思路：首先观察题目条件，△ABC是直角三角形，D为斜边AB的中点，首先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可先求出斜边AB的长度；再看CE是AB边上的高，已知CE的长度，直接代入三角形面积公式即可求出△ABC的面积。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线的性质，$CD = \frac{1}{2}AB$，
又
∵ $CD=6$，
∴ $AB = 2CD = 2×6 = 12$，
∵ $CE⊥ AB$，$CE=5$，即AB边上的高为5，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CE = \frac{1}{2} × 12 × 5 = 30$。
【答案】
30
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的突破口是利用直角三角形斜边中线的性质快速求出斜边AB的长度，再结合三角形面积公式求解，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察题目条件，△ABC是直角三角形，D为斜边AB的中点，首先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可先求出斜边AB的长度；再看CE是AB边上的高，已知CE的长度，直接代入三角形面积公式即可求出△ABC的面积。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线的性质，$CD = \frac{1}{2}AB$，
又
∵ $CD=6$，
∴ $AB = 2CD = 2×6 = 12$，
∵ $CE⊥ AB$，$CE=5$，即AB边上的高为5，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CE = \frac{1}{2} × 12 × 5 = 30$。
【答案】
30
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的突破口是利用直角三角形斜边中线的性质快速求出斜边AB的长度，再结合三角形面积公式求解，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
4.如图,在等边三角形ABC中,BD是AC边上的高,DE⊥AB于点E.若BE=3,则△ABC的边长为
4
.答案
4.4
解析
【分析】
解题时先利用等边三角形的性质得到内角为60°、三线合一的结论，再结合直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，找到AE和等边三角形边长的数量关系，最后根据BE=AB-AE的线段和差关系列方程求解即可。
【解析】
设等边△ABC的边长为$ a $。
1. 由等边三角形的性质可知：$ AB=AC=a $，$ ∠ A=60° $，且BD是AC边上的高，根据三线合一可得D为AC中点，因此$ AD=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2} $。
2. 因为$ DE⊥ AB $，所以$ ∠ AED=90° $，在$ \mathrm{Rt}△ ADE $中，$ ∠ ADE=90°-∠ A=30° $，根据直角三角形30°角的性质，可得$ AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{a}{2}=\frac{a}{4} $。
3. 已知$ BE=3 $，且$ BE=AB-AE $，代入得：$ a-\frac{a}{4}=3 $，解得$ a=4 $。
【答案】
4
【知识点】
等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是将等边三角形的三线合一性质与直角三角形的边角性质结合，通过设未知数列方程即可快速求解，需要熟练掌握特殊三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
解题时先利用等边三角形的性质得到内角为60°、三线合一的结论，再结合直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，找到AE和等边三角形边长的数量关系，最后根据BE=AB-AE的线段和差关系列方程求解即可。
【解析】
设等边△ABC的边长为$ a $。
1. 由等边三角形的性质可知：$ AB=AC=a $，$ ∠ A=60° $，且BD是AC边上的高，根据三线合一可得D为AC中点，因此$ AD=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2} $。
2. 因为$ DE⊥ AB $，所以$ ∠ AED=90° $，在$ \mathrm{Rt}△ ADE $中，$ ∠ ADE=90°-∠ A=30° $，根据直角三角形30°角的性质，可得$ AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{a}{2}=\frac{a}{4} $。
3. 已知$ BE=3 $，且$ BE=AB-AE $，代入得：$ a-\frac{a}{4}=3 $，解得$ a=4 $。
【答案】
4
【知识点】
等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是将等边三角形的三线合一性质与直角三角形的边角性质结合，通过设未知数列方程即可快速求解，需要熟练掌握特殊三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
