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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A:∠ B=1:2$，且$BC=6$，则$AB$等于（
A.2
B.3
C.9
D.12
D
）A.2
B.3
C.9
D.12
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先结合直角三角形直角为90°的特征，利用三角形内角和定理可知两个锐角之和为90°，再结合∠A与∠B的比例关系求出两个锐角的度数，判断出存在30°的特殊锐角后，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，即可求出斜边AB的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
根据三角形内角和定理得：$∠ A+∠ B=180°-∠ C=90°$
∵$∠ A:∠ B=1:2$，设$∠ A=x$，则$∠ B=2x$
代入得：$x+2x=90°$，解得$x=30°$，即$∠ A=30°$
∵$∠ A$的对边为$BC$，根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半
∴$BC=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2BC$
又
∵$BC=6$
∴$AB=2×6=12$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、30°直角三角形性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题，解题的核心是先通过角度比例关系求出特殊角的度数，再对应特殊直角三角形的性质计算边长，难度较低，熟练掌握直角三角形的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时首先结合直角三角形直角为90°的特征，利用三角形内角和定理可知两个锐角之和为90°，再结合∠A与∠B的比例关系求出两个锐角的度数，判断出存在30°的特殊锐角后，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，即可求出斜边AB的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
根据三角形内角和定理得：$∠ A+∠ B=180°-∠ C=90°$
∵$∠ A:∠ B=1:2$，设$∠ A=x$，则$∠ B=2x$
代入得：$x+2x=90°$，解得$x=30°$，即$∠ A=30°$
∵$∠ A$的对边为$BC$，根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半
∴$BC=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2BC$
又
∵$BC=6$
∴$AB=2×6=12$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、30°直角三角形性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题，解题的核心是先通过角度比例关系求出特殊角的度数，再对应特殊直角三角形的性质计算边长，难度较低，熟练掌握直角三角形的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
2. 如图，$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$∠ B=30°$，点$P$是$BC$边上的动点，则$AP$的长不可能是（
A.3.5
B.4.2
C.5.8
D.7
D
）A.3.5
B.4.2
C.5.8
D.7
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先利用直角三角形中30°角的性质求出斜边AB的长度，再分析动点P在BC上运动时AP的长度范围：根据垂线段最短，AP的最小值为AC的长度3；当P与点B重合时，AP取最大值AB的长度6，由此可得AP的取值范围是3≤AP≤6，最后判断选项中不在该范围的数值即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AB=2AC=2×3=6$。
∵点P是BC边上的动点，
∴当P与点C重合时，AP最短，此时$AP=AC=3$；
当P与点B重合时，AP最长，此时$AP=AB=6$，
∴AP的取值范围为$3≤AP≤6$。
观察选项，3.5、4.2、5.8均在取值范围内，只有7＞6，不符合取值范围，故AP的长不可能是7。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形30°角性质，垂线段最短，动点线段最值
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是先确定动点线段的取值范围，再结合选项判断，需要熟练掌握直角三角形的特殊性质，同时要理解动点运动时线段长度的变化规律。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用直角三角形中30°角的性质求出斜边AB的长度，再分析动点P在BC上运动时AP的长度范围：根据垂线段最短，AP的最小值为AC的长度3；当P与点B重合时，AP取最大值AB的长度6，由此可得AP的取值范围是3≤AP≤6，最后判断选项中不在该范围的数值即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AB=2AC=2×3=6$。
∵点P是BC边上的动点，
∴当P与点C重合时，AP最短，此时$AP=AC=3$；
当P与点B重合时，AP最长，此时$AP=AB=6$，
∴AP的取值范围为$3≤AP≤6$。
观察选项，3.5、4.2、5.8均在取值范围内，只有7＞6，不符合取值范围，故AP的长不可能是7。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形30°角性质，垂线段最短，动点线段最值
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是先确定动点线段的取值范围，再结合选项判断，需要熟练掌握直角三角形的特殊性质，同时要理解动点运动时线段长度的变化规律。
【难度系数】
0.8
3.(河南省中考改编)如图,在$△ ABC$中,$AB=BC=\sqrt{3}$,$∠ BAC=30°$,分别以点$A$,$C$为圆心,$AC$的长为半径作弧,两弧交于点$D$,连结$DA$,$DB$,$DC$,则$DA$的长为
3
.答案
3.3
解析
【分析】
要计算DA的长，首先根据尺规作图的特征可知，以A为圆心AC长为半径作弧时，DA是该弧的半径，即DA=AC，因此只需先求出AC的长度即可。首先利用等腰三角形等边对等角得到△ABC的内角，再通过作高构造直角三角形，结合锐角三角函数求出AC的长，进而得到DA的长度。
【解析】
在△ABC中，
∵ $AB=BC=\sqrt{3}$，$∠BAC=30°$，
∴ $∠BCA=∠BAC=30°$，则$∠ABC=180°-30°-30°=120°$。
过点B作$BE⊥AC$于点E，
∵ $AB=BC$，$BE⊥AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴ $AE=EC=\frac{1}{2}AC$。
在$Rt△ABE$中，$∠BAC=30°$，$AB=\sqrt{3}$，
由$\cos∠BAC=\frac{AE}{AB}$得：
$AE=AB·\cos30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$，
∴ $AC=2AE=3$。
根据作图规则，以点A为圆心、AC的长为半径作弧，点D在弧上，因此$DA=AC=3$。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质；解直角三角形；尺规作图的定义
【点评】
本题属于基础综合题，将等腰三角形性质、锐角三角函数应用与尺规作图特征结合考查，解题的关键是明确作图得到的DA与AC的等量关系，准确计算AC的长度。
【难度系数】
0.7
要计算DA的长，首先根据尺规作图的特征可知，以A为圆心AC长为半径作弧时，DA是该弧的半径，即DA=AC，因此只需先求出AC的长度即可。首先利用等腰三角形等边对等角得到△ABC的内角，再通过作高构造直角三角形，结合锐角三角函数求出AC的长，进而得到DA的长度。
【解析】
在△ABC中，
∵ $AB=BC=\sqrt{3}$，$∠BAC=30°$，
∴ $∠BCA=∠BAC=30°$，则$∠ABC=180°-30°-30°=120°$。
过点B作$BE⊥AC$于点E，
∵ $AB=BC$，$BE⊥AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴ $AE=EC=\frac{1}{2}AC$。
在$Rt△ABE$中，$∠BAC=30°$，$AB=\sqrt{3}$，
由$\cos∠BAC=\frac{AE}{AB}$得：
$AE=AB·\cos30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$，
∴ $AC=2AE=3$。
根据作图规则，以点A为圆心、AC的长为半径作弧，点D在弧上，因此$DA=AC=3$。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质；解直角三角形；尺规作图的定义
【点评】
本题属于基础综合题，将等腰三角形性质、锐角三角函数应用与尺规作图特征结合考查，解题的关键是明确作图得到的DA与AC的等量关系，准确计算AC的长度。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ C=30°$，$AB ⊥ AD$，$AD=4\mathrm{cm}$. 求$BC$的长. 
答案
解:$\because AB=AC, \therefore ∠ B=∠ C=30°,$
$\because AB ⊥ AD, \therefore BD=2AD=2 × 4=8$
$(\mathrm{cm}), ∠ B+∠ ADB=90°. \therefore$
$∠ ADB=60°. \because ∠ ADB=∠ DAC+$
$∠ C=60°, \therefore ∠ DAC=30°. \therefore$
$∠ DAC=∠ C. \therefore DC=AD=4\mathrm{cm}. \therefore$
$BC=BD+DC=8+4=12(\mathrm{cm}).$
$\because AB ⊥ AD, \therefore BD=2AD=2 × 4=8$
$(\mathrm{cm}), ∠ B+∠ ADB=90°. \therefore$
$∠ ADB=60°. \because ∠ ADB=∠ DAC+$
$∠ C=60°, \therefore ∠ DAC=30°. \therefore$
$∠ DAC=∠ C. \therefore DC=AD=4\mathrm{cm}. \therefore$
$BC=BD+DC=8+4=12(\mathrm{cm}).$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件AB=AC入手，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠B=∠C=30°；再结合AB⊥AD的垂直条件，可知△ABD是含30°角的直角三角形，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可求出BD的长度；接着利用三角形外角的性质求出∠DAC的度数，发现∠DAC=∠C，由“等角对等边”得到DC=AD，最后结合BC=BD+DC即可求出BC的总长。
【解析】
解：$\because AB=AC, \therefore ∠ B=∠ C=30°,$
$\because AB ⊥ AD, \therefore ∠BAD=90°,$
在$Rt△ ABD$中，$∠ B=30°$，
$\therefore BD=2AD=2 × 4=8(\mathrm{cm}),$且$∠ ADB=90°-∠ B=60°$，
$\because ∠ ADB$是$△ ADC$的外角，
$\therefore ∠ ADB=∠ DAC+∠ C$，
$\therefore ∠ DAC=∠ADB - ∠C=60°-30°=30°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ C$，
$\therefore DC=AD=4\mathrm{cm}$，
$\therefore BC=BD+DC=8+4=12(\mathrm{cm}).$
【答案】
$12\mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；直角三角形30°角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形部分的典型综合基础题，解题核心是通过角的数量关系推导边的等量关系，需要熟练掌握等腰三角形和直角三角形的相关性质，理清线段之间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件AB=AC入手，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠B=∠C=30°；再结合AB⊥AD的垂直条件，可知△ABD是含30°角的直角三角形，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可求出BD的长度；接着利用三角形外角的性质求出∠DAC的度数，发现∠DAC=∠C，由“等角对等边”得到DC=AD，最后结合BC=BD+DC即可求出BC的总长。
【解析】
解：$\because AB=AC, \therefore ∠ B=∠ C=30°,$
$\because AB ⊥ AD, \therefore ∠BAD=90°,$
在$Rt△ ABD$中，$∠ B=30°$，
$\therefore BD=2AD=2 × 4=8(\mathrm{cm}),$且$∠ ADB=90°-∠ B=60°$，
$\because ∠ ADB$是$△ ADC$的外角，
$\therefore ∠ ADB=∠ DAC+∠ C$，
$\therefore ∠ DAC=∠ADB - ∠C=60°-30°=30°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ C$，
$\therefore DC=AD=4\mathrm{cm}$，
$\therefore BC=BD+DC=8+4=12(\mathrm{cm}).$
【答案】
$12\mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；直角三角形30°角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形部分的典型综合基础题，解题核心是通过角的数量关系推导边的等量关系，需要熟练掌握等腰三角形和直角三角形的相关性质，理清线段之间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
5.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，CD是斜边AB上的中线，$∠ A=35°$，则$∠ BCD=$（
A.$35°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$55°$
D
）A.$35°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$55°$
答案
5.D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是直角三角形，∠C为直角，已知∠A的度数，可利用直角三角形两锐角互余先求出∠B的度数；再结合CD是斜边AB的中线，回忆直角三角形斜边中线的性质，可得CD与BD相等，进而推出△BCD是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，即可得到∠BCD与∠B相等，从而求出结果。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=35°$
∴$∠ B=90°-∠ A=90°-35°=55°$
∵CD是斜边AB上的中线
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=BD=\frac{1}{2}AB$
∴$∠ BCD=∠ B=55°$
【答案】
D
【知识点】
直角三角形两锐角互余；直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直角三角形的相关性质，解题的关键是熟练掌握对应性质并灵活运用，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是直角三角形，∠C为直角，已知∠A的度数，可利用直角三角形两锐角互余先求出∠B的度数；再结合CD是斜边AB的中线，回忆直角三角形斜边中线的性质，可得CD与BD相等，进而推出△BCD是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，即可得到∠BCD与∠B相等，从而求出结果。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=35°$
∴$∠ B=90°-∠ A=90°-35°=55°$
∵CD是斜边AB上的中线
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=BD=\frac{1}{2}AB$
∴$∠ BCD=∠ B=55°$
【答案】
D
【知识点】
直角三角形两锐角互余；直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直角三角形的相关性质，解题的关键是熟练掌握对应性质并灵活运用，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
6.如图，在$△ ABC$中，$CD\bot AB$于点$D$，且$E$是$AC$的中点.若$AD=6$，$DE=5$，则$CD$的长为
8
.答案
6.8
解析
【分析】
首先由CD⊥AB可判断△ADC是直角三角形，已知E是AC的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可先求出斜边AC的长度，再在Rt△ADC中利用勾股定理即可计算出CD的长。
【解析】
解：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC=90°，即△ADC为直角三角形。
∵ E是Rt△ADC斜边AC的中点，
∴ DE是Rt△ADC斜边AC的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
AC=2DE，
已知DE=5，
∴ AC=2×5=10。
在Rt△ADC中，AD=6，AC=10，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$。
【答案】
8
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质、勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的突破口是利用直角三角形斜边中线的性质求出AC的长度，再结合勾股定理求解，整体解题思路清晰，考查的都是几何部分的核心基础知识点。
【难度系数】
0.7
首先由CD⊥AB可判断△ADC是直角三角形，已知E是AC的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可先求出斜边AC的长度，再在Rt△ADC中利用勾股定理即可计算出CD的长。
【解析】
解：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC=90°，即△ADC为直角三角形。
∵ E是Rt△ADC斜边AC的中点，
∴ DE是Rt△ADC斜边AC的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
AC=2DE，
已知DE=5，
∴ AC=2×5=10。
在Rt△ADC中，AD=6，AC=10，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$。
【答案】
8
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质、勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的突破口是利用直角三角形斜边中线的性质求出AC的长度，再结合勾股定理求解，整体解题思路清晰，考查的都是几何部分的核心基础知识点。
【难度系数】
0.7
7.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,D为边AB的中点,连结CD,E为CD的中点,连结AE.若$AC=3$,$AE=2.5$,求边AB的长.
答案
解:$\because ∠ BAC=90°, E$ 为 $CD$ 的中点, $\therefore AE=\frac{1}{2} CD. \because AE=2.5, \therefore$
$CD = 5. \because AC = 3, \therefore AD =$
$\sqrt{CD^{2}-AC^{2}} = \sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4. \because D$
为边 $AB$ 的中点, $\therefore AB=2AD=8.$
$CD = 5. \because AC = 3, \therefore AD =$
$\sqrt{CD^{2}-AC^{2}} = \sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4. \because D$
为边 $AB$ 的中点, $\therefore AB=2AD=8.$
解析
【分析】
首先梳理已知条件：△ABC中∠BAC=90°，因此△ACD是直角三角形，且E是CD的中点，我们可以先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，由AE的长度求出CD的长度；接着在Rt△ACD中，已知AC和CD的长度，通过勾股定理即可求出AD的长度；最后结合D是AB中点的条件，AB的长度为AD的2倍，即可得到最终结果。
【解析】
∵ ∠BAC=90°，E为CD的中点，
∴ AE是Rt△ACD斜边CD的中线，可得$AE=\frac{1}{2}CD$。
∵ $AE=2.5$，
∴ $CD=2AE=5$。
在Rt△ACD中，$AC=3$，$CD=5$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
又
∵ D为边AB的中点，
∴ $AB=2AD=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，勾股定理，线段中点性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是结合直角和中点的特征，准确运用直角三角形斜边中线的性质求出CD的长度，再结合勾股定理和中点性质逐步推导即可，计算量小，熟练掌握相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件：△ABC中∠BAC=90°，因此△ACD是直角三角形，且E是CD的中点，我们可以先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，由AE的长度求出CD的长度；接着在Rt△ACD中，已知AC和CD的长度，通过勾股定理即可求出AD的长度；最后结合D是AB中点的条件，AB的长度为AD的2倍，即可得到最终结果。
【解析】
∵ ∠BAC=90°，E为CD的中点，
∴ AE是Rt△ACD斜边CD的中线，可得$AE=\frac{1}{2}CD$。
∵ $AE=2.5$，
∴ $CD=2AE=5$。
在Rt△ACD中，$AC=3$，$CD=5$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
又
∵ D为边AB的中点，
∴ $AB=2AD=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，勾股定理，线段中点性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是结合直角和中点的特征，准确运用直角三角形斜边中线的性质求出CD的长度，再结合勾股定理和中点性质逐步推导即可，计算量小，熟练掌握相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
8.已知一直角三角形，两边长为3和4，则斜边上的中线长为
$\frac{5}{2}$或2
.答案
8.$\frac{5}{2}$或2
解析
【分析】
本题未明确直角三角形中长为3和4的边是直角边还是斜边，因此需要分类讨论求解：①先讨论3、4均为直角边的情况，用勾股定理算出斜边，再结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求中线长；②再讨论长为4的边为斜边的情况，验证满足斜边最长的合理性后，直接用斜边中线性质求中线长，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当长度为3和4的边均为直角边时：
由勾股定理得，斜边长度 = $\sqrt{3^2 + 4^2}$ = $\sqrt{25}$ = 5，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边上的中线长 = $\frac{1}{2}$×5 = $\frac{5}{2}$；
2. 当长度为4的边为斜边时，长度为3的边为直角边，符合斜边为最长边的要求，情况成立：
此时斜边上的中线长 = $\frac{1}{2}$×4 = 2。
综上，斜边上的中线长为$\frac{5}{2}$或2。
【答案】
$\frac{5}{2}$或2
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题是直角三角形相关的经典易错题，易错点是容易默认3和4都是直角边，漏掉4为斜边的情况。解题时遇到未明确直角边、斜边的直角三角形边长问题，要先分类讨论，再结合“斜边是直角三角形最长边”验证情况是否成立，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题未明确直角三角形中长为3和4的边是直角边还是斜边，因此需要分类讨论求解：①先讨论3、4均为直角边的情况，用勾股定理算出斜边，再结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求中线长；②再讨论长为4的边为斜边的情况，验证满足斜边最长的合理性后，直接用斜边中线性质求中线长，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当长度为3和4的边均为直角边时：
由勾股定理得，斜边长度 = $\sqrt{3^2 + 4^2}$ = $\sqrt{25}$ = 5，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边上的中线长 = $\frac{1}{2}$×5 = $\frac{5}{2}$；
2. 当长度为4的边为斜边时，长度为3的边为直角边，符合斜边为最长边的要求，情况成立：
此时斜边上的中线长 = $\frac{1}{2}$×4 = 2。
综上，斜边上的中线长为$\frac{5}{2}$或2。
【答案】
$\frac{5}{2}$或2
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题是直角三角形相关的经典易错题，易错点是容易默认3和4都是直角边，漏掉4为斜边的情况。解题时遇到未明确直角边、斜边的直角三角形边长问题，要先分类讨论，再结合“斜边是直角三角形最长边”验证情况是否成立，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9.如图，∠AOB=30°,OC平分∠AOB,P为OC上的一点,PD//OA交OB于点D,PE⊥OA于点E.若OD=4cm,则PE的长为
2
cm. 答案
9.2
解析
【分析】
解题时可结合已知条件逐步推导思路：①已知OC平分∠AOB，可联想角平分线的性质；②PD平行OA，可利用平行线的性质得到等角或平行线间距离相等，实现线段转化；③题目含30°角和垂直条件，可结合直角三角形中30°角的性质计算边长。我们可以通过作辅助线，将所求PE转化为含30°角的直角三角形的直角边求解。
【解析】
过点D作DG⊥OA于点G，
1. 因为PD//OA，PE⊥OA，DG⊥OA，根据平行线间的距离处处相等，可得PE=DG；
2. 在Rt△ODG中，∠OGD=90°，∠AOB=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得DG=$\frac{1}{2}$OD；
3. 已知OD=4cm，代入计算得DG=$\frac{1}{2}×4=2$cm，因此PE=DG=2cm。
【答案】
2
【知识点】
平行线的性质，直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是利用平行线的性质实现线段的转化，将未知的PE转化为可通过特殊直角三角形性质求解的线段，对基础性质的应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
解题时可结合已知条件逐步推导思路：①已知OC平分∠AOB，可联想角平分线的性质；②PD平行OA，可利用平行线的性质得到等角或平行线间距离相等，实现线段转化；③题目含30°角和垂直条件，可结合直角三角形中30°角的性质计算边长。我们可以通过作辅助线，将所求PE转化为含30°角的直角三角形的直角边求解。
【解析】
过点D作DG⊥OA于点G，
1. 因为PD//OA，PE⊥OA，DG⊥OA，根据平行线间的距离处处相等，可得PE=DG；
2. 在Rt△ODG中，∠OGD=90°，∠AOB=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得DG=$\frac{1}{2}$OD；
3. 已知OD=4cm，代入计算得DG=$\frac{1}{2}×4=2$cm，因此PE=DG=2cm。
【答案】
2
【知识点】
平行线的性质，直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是利用平行线的性质实现线段的转化，将未知的PE转化为可通过特殊直角三角形性质求解的线段，对基础性质的应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
