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7.为提升公民体验，该公园计划更换灯板，现需确定旧灯板的长以便搭配.如图，工作人员用一根长10m的杆子进行测量，当杆与靠灯直立时，杆与灯OA一样高；当杆的下端离墙OC为6m时，杆的上端恰好抵下侧(点B)，则灯板AB的长为 (
A.1m
B.1.5m
C.2m
D.2.2m
C
)A.1m
B.1.5m
C.2m
D.2.2m
答案
7.C
解析
【分析】
本题是勾股定理在实际测量中的应用，解题思路如下：首先明确杆长固定，直立时杆长等于灯的总高度OA，故OA=10m；斜放时杆为斜边BC，长度仍为10m，已知杆下端离墙的水平距离OC=6m，△OBC为直角三角形。我们可以先在Rt△OBC中利用勾股定理求出OB的长度，再用总高度OA减去OB的长度，即可得到灯板AB的长度。
【解析】
由题意可知：杆长为10m，因此OA=BC=10m，OC=6m，且∠O=90°。
在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：
$OB^2 + OC^2 = BC^2$
代入已知数值计算OB的长度：
$OB = \sqrt{BC^2 - OC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\mathrm{m}$
则灯板AB的长度为：
$AB = OA - OB = 10 - 8 = 2\mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、实际测量计算
【点评】
本题结合生活场景考查数学知识的应用，解题的核心是抓住杆长不变的条件，将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，能够很好地锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.8
本题是勾股定理在实际测量中的应用，解题思路如下：首先明确杆长固定，直立时杆长等于灯的总高度OA，故OA=10m；斜放时杆为斜边BC，长度仍为10m，已知杆下端离墙的水平距离OC=6m，△OBC为直角三角形。我们可以先在Rt△OBC中利用勾股定理求出OB的长度，再用总高度OA减去OB的长度，即可得到灯板AB的长度。
【解析】
由题意可知：杆长为10m，因此OA=BC=10m，OC=6m，且∠O=90°。
在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：
$OB^2 + OC^2 = BC^2$
代入已知数值计算OB的长度：
$OB = \sqrt{BC^2 - OC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\mathrm{m}$
则灯板AB的长度为：
$AB = OA - OB = 10 - 8 = 2\mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、实际测量计算
【点评】
本题结合生活场景考查数学知识的应用，解题的核心是抓住杆长不变的条件，将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，能够很好地锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.8
8.如图1是某时刻小华遛狗时的简易图，图2是其示意图.当小华站直身体时，牵绳的手离地面的高度AB为1.3m，小狗的高CD为0.3m，小狗与小华的距离AC为2.4m，此时牵狗绳BD的长为
2.6
m.（牵狗绳保持直线状态）答案
8.2.6
解析
【分析】
要计算牵狗绳BD的长度，可通过作辅助线构造直角三角形，结合矩形性质将已知条件转化到直角三角形中，再用勾股定理求解。首先过点D作DE垂直AB于点E，可得四边形ACDE是矩形，得到DE与AC相等、AE与CD相等，算出BE的长度后，在直角三角形BED中用勾股定理即可求出斜边BD的长度。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵AB⊥AC，CD⊥AC，DE⊥AB，
∴四边形ACDE为矩形，
∴DE=AC=2.4m，AE=CD=0.3m，
∴BE=AB - AE = 1.3m - 0.3m = 1m。
在Rt△BED中，根据勾股定理得：
BD² = BE² + DE² = 1² + 2.4² = 1 + 5.76 = 6.76，
∴BD = √6.76 = 2.6(m)。
【答案】
2.6
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何计算，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题思路清晰，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
要计算牵狗绳BD的长度，可通过作辅助线构造直角三角形，结合矩形性质将已知条件转化到直角三角形中，再用勾股定理求解。首先过点D作DE垂直AB于点E，可得四边形ACDE是矩形，得到DE与AC相等、AE与CD相等，算出BE的长度后，在直角三角形BED中用勾股定理即可求出斜边BD的长度。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵AB⊥AC，CD⊥AC，DE⊥AB，
∴四边形ACDE为矩形，
∴DE=AC=2.4m，AE=CD=0.3m，
∴BE=AB - AE = 1.3m - 0.3m = 1m。
在Rt△BED中，根据勾股定理得：
BD² = BE² + DE² = 1² + 2.4² = 1 + 5.76 = 6.76，
∴BD = √6.76 = 2.6(m)。
【答案】
2.6
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何计算，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题思路清晰，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
9.如图
，小明在A时测得直立于地面的树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米.若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为
，小明在A时测得直立于地面的树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米.若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为6
米.答案
9.6
解析
【分析】
首先我们可以将实际测量问题转化为几何模型：树垂直于地面，两次日照光线分别与树、对应影子构成两个直角三角形，已知两次日照光线互相垂直，可通过角的互余关系证明两个直角三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质即可求出树的高度。
【解析】
设树的高度为$ h $米，树的底部为点$ C $，顶部为点$ D $，A时影长对应影子顶端为点$ M $，B时影长对应影子顶端为点$ N $，则$ CM=3\mathrm{m} $，$ CN=12\mathrm{m} $，且$ DC⊥ MN $，由题意得两次日照光线垂直，即$ ∠ MDN=90° $。
1. 证明三角形相似：
$ \because DC⊥ MN $，$ \therefore ∠ DCM=∠ NCD=90° $
在$ \mathrm{Rt}△ DCM $中，$ ∠ DMC + ∠ MDC=90° $
又$ \because ∠ MDC + ∠ NDC=∠ MDN=90° $
$ \therefore ∠ DMC=∠ NDC $
$ \therefore △ DCM ∽ △ NCD $（两角对应相等，两三角形相似）
2. 利用相似性质列方程求解：
由相似三角形对应边成比例可得：$ \frac{DC}{NC}=\frac{CM}{DC} $，即$ DC^2=CM· NC $
代入$ CM=3 $，$ NC=12 $得：$ h^2=3×12=36 $
$ \because h＞0 $，$ \therefore h=6 $
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；投影的应用
【点评】
本题结合实际测量场景考查相似三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为几何相似模型，通过角的互余关系证明三角形相似，再利用相似性质建立等式求解，能较好地考查学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
首先我们可以将实际测量问题转化为几何模型：树垂直于地面，两次日照光线分别与树、对应影子构成两个直角三角形，已知两次日照光线互相垂直，可通过角的互余关系证明两个直角三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质即可求出树的高度。
【解析】
设树的高度为$ h $米，树的底部为点$ C $，顶部为点$ D $，A时影长对应影子顶端为点$ M $，B时影长对应影子顶端为点$ N $，则$ CM=3\mathrm{m} $，$ CN=12\mathrm{m} $，且$ DC⊥ MN $，由题意得两次日照光线垂直，即$ ∠ MDN=90° $。
1. 证明三角形相似：
$ \because DC⊥ MN $，$ \therefore ∠ DCM=∠ NCD=90° $
在$ \mathrm{Rt}△ DCM $中，$ ∠ DMC + ∠ MDC=90° $
又$ \because ∠ MDC + ∠ NDC=∠ MDN=90° $
$ \therefore ∠ DMC=∠ NDC $
$ \therefore △ DCM ∽ △ NCD $（两角对应相等，两三角形相似）
2. 利用相似性质列方程求解：
由相似三角形对应边成比例可得：$ \frac{DC}{NC}=\frac{CM}{DC} $，即$ DC^2=CM· NC $
代入$ CM=3 $，$ NC=12 $得：$ h^2=3×12=36 $
$ \because h＞0 $，$ \therefore h=6 $
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；投影的应用
【点评】
本题结合实际测量场景考查相似三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为几何相似模型，通过角的互余关系证明三角形相似，再利用相似性质建立等式求解，能较好地考查学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
10.交通安全是社会关注的热点问题，某中学九年级数学活动小组走进交警大队，了解了测试汽车速度的方法.案例如下:如图，一辆小汽车在路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A的正前方60m的点B处，过了4s，测得小汽车所在的点C与车速检测仪A之间的距离为100m，AB⊥BC于点B.已知该段公路的限速为60km/h，这辆小汽车超速吗？请说明理由. 
答案
解:超速. 理由如下:根据题意,得
AB = 60m,AC = 100m,AB⊥BC.
在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得
BC=√(AC²−AB²)=√(100²−60²)
=80(m),80÷4=20(m/s)=72
(km/h).
∵72＞60,
∴这辆小汽车
超速了.
AB = 60m,AC = 100m,AB⊥BC.
在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得
BC=√(AC²−AB²)=√(100²−60²)
=80(m),80÷4=20(m/s)=72
(km/h).
∵72＞60,
∴这辆小汽车
超速了.
解析
【分析】
要判断小汽车是否超速，需先计算小汽车的行驶速度，再与限速60km/h比较即可。解题思路如下：①首先确定小汽车4s行驶的路程为BC的长度，由题意可知△ABC是直角三角形，已知直角边AB=60m、斜边AC=100m，可通过勾股定理求出BC的长度；②根据“速度=路程÷时间”计算小汽车的速度，注意要将速度单位从m/s换算为km/h，保证和限速单位统一；③将计算得到的速度与限速比较，若大于限速则超速，反之则不超速。
【解析】
这辆小汽车超速，理由如下：
由题意得：$AB=60\mathrm{m}$，$AC=100\mathrm{m}$，$AB⊥ BC$，即$△ ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{100^2-60^2}=\sqrt{10000-3600}=\sqrt{6400}=80(\mathrm{m})$
小汽车的行驶速度为：$80÷4=20(\mathrm{m/s})$
换算单位：$20\mathrm{m/s}=20×3.6\mathrm{km/h}=72\mathrm{km/h}$
$\because72\mathrm{km/h}＞60\mathrm{km/h}$
$\therefore$这辆小汽车超速了。
【答案】
这辆小汽车超速了。
【知识点】
勾股定理的应用、速度计算、单位换算
【点评】
本题是结合生活场景的实际应用题，将几何知识和行程问题相结合，解题的核心是利用勾股定理求出小汽车的行驶路程，同时要注意不同单位间的正确换算。
【难度系数】
0.7
要判断小汽车是否超速，需先计算小汽车的行驶速度，再与限速60km/h比较即可。解题思路如下：①首先确定小汽车4s行驶的路程为BC的长度，由题意可知△ABC是直角三角形，已知直角边AB=60m、斜边AC=100m，可通过勾股定理求出BC的长度；②根据“速度=路程÷时间”计算小汽车的速度，注意要将速度单位从m/s换算为km/h，保证和限速单位统一；③将计算得到的速度与限速比较，若大于限速则超速，反之则不超速。
【解析】
这辆小汽车超速，理由如下：
由题意得：$AB=60\mathrm{m}$，$AC=100\mathrm{m}$，$AB⊥ BC$，即$△ ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{100^2-60^2}=\sqrt{10000-3600}=\sqrt{6400}=80(\mathrm{m})$
小汽车的行驶速度为：$80÷4=20(\mathrm{m/s})$
换算单位：$20\mathrm{m/s}=20×3.6\mathrm{km/h}=72\mathrm{km/h}$
$\because72\mathrm{km/h}＞60\mathrm{km/h}$
$\therefore$这辆小汽车超速了。
【答案】
这辆小汽车超速了。
【知识点】
勾股定理的应用、速度计算、单位换算
【点评】
本题是结合生活场景的实际应用题，将几何知识和行程问题相结合，解题的核心是利用勾股定理求出小汽车的行驶路程，同时要注意不同单位间的正确换算。
【难度系数】
0.7
11.(核心素养·应用意识)《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意是:如图1、2(图2为图1的俯视示意图),今推开双门,门框上点C和点D到门槛AB的距离为1尺(1尺=10寸),双门间的缝隙CD为2寸,求门宽AB的长是多少寸.
答案
解:过 D 作 DE⊥AB 于 E. 由题意
得:OA=OB=AD=BC,设 OA=
OB=AD=BC=r 寸,则 AB=2r
寸,DE=10 寸,OE=1/2 CD=1 寸,
∴AE=(r−1)寸. 在 Rt△ADE
中,AE²+DE²=AD²,即(r−1)²+
10²=r²,解得:r=50.5,
∴2r=
101,
∴AB=101 寸. 答:门宽 AB
的长是 101 寸.
得:OA=OB=AD=BC,设 OA=
OB=AD=BC=r 寸,则 AB=2r
寸,DE=10 寸,OE=1/2 CD=1 寸,
∴AE=(r−1)寸. 在 Rt△ADE
中,AE²+DE²=AD²,即(r−1)²+
10²=r²,解得:r=50.5,
∴2r=
101,
∴AB=101 寸. 答:门宽 AB
的长是 101 寸.
解析
【分析】
本题是古代数学实际测量类问题，解题思路如下：首先将实际开门问题转化为几何模型，明确单门长度相等，即OA=OB=AD=BC，先统一单位，将1尺换算为10寸；其次设单门长度为r寸，则门宽AB=2r寸，过D作DE⊥AB构造直角三角形ADE，结合题意可得DE=10寸，OE是缝隙CD的一半即1寸，因此AE=(r-1)寸；最后利用勾股定理建立关于r的一元一次方程，求解得到r的值后即可算出AB的长度。
【解析】
解：过D作DE⊥AB于E，由题意得OA=OB=AD=BC，1尺=10寸。
设OA=OB=AD=BC=r寸，则AB=2r寸，DE=10寸，$OE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2=1$寸，
∴AE=OA-OE=(r-1)寸。
在Rt△ADE中，根据勾股定理可得：$AE^2+DE^2=AD^2$，
代入边长得：$(r-1)^2+10^2=r^2$，
展开整理：$r^2-2r+1+100=r^2$，
化简得：2r=101，
即AB=101寸。
【答案】
101寸
【知识点】
勾股定理；一元一次方程；实际测量应用
【点评】
本题以《九章算术》的经典问题为背景，考查了几何知识在实际生活中的应用，解题关键是挖掘隐含的线段相等关系，构造直角三角形建立方程求解，同时需要注意单位统一，能有效锻炼将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
本题是古代数学实际测量类问题，解题思路如下：首先将实际开门问题转化为几何模型，明确单门长度相等，即OA=OB=AD=BC，先统一单位，将1尺换算为10寸；其次设单门长度为r寸，则门宽AB=2r寸，过D作DE⊥AB构造直角三角形ADE，结合题意可得DE=10寸，OE是缝隙CD的一半即1寸，因此AE=(r-1)寸；最后利用勾股定理建立关于r的一元一次方程，求解得到r的值后即可算出AB的长度。
【解析】
解：过D作DE⊥AB于E，由题意得OA=OB=AD=BC，1尺=10寸。
设OA=OB=AD=BC=r寸，则AB=2r寸，DE=10寸，$OE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2=1$寸，
∴AE=OA-OE=(r-1)寸。
在Rt△ADE中，根据勾股定理可得：$AE^2+DE^2=AD^2$，
代入边长得：$(r-1)^2+10^2=r^2$，
展开整理：$r^2-2r+1+100=r^2$，
化简得：2r=101，
即AB=101寸。
【答案】
101寸
【知识点】
勾股定理；一元一次方程；实际测量应用
【点评】
本题以《九章算术》的经典问题为背景，考查了几何知识在实际生活中的应用，解题关键是挖掘隐含的线段相等关系，构造直角三角形建立方程求解，同时需要注意单位统一，能有效锻炼将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
