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1.如图,为求出湖两岸的 A、B 两点之间的距离,一个观测者在点 C 设桩,使△ABC 恰好为直角三角形,且∠B=90°,测得 AC=160m,BC=128m,则 A、B 两点间的距离为（
A.96m
B.100m
C.86m
D.90m
A
）A.96m
B.100m
C.86m
D.90m
答案
1.A
解析
【分析】
本题是利用直角三角形性质求实际距离的问题，解题思路如下：首先明确△ABC是直角三角形且∠B=90°，因此斜边为AC，可运用勾股定理建立三边的数量关系；接下来将勾股定理变形得到求AB的公式，最后代入已知的AC、BC长度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC为直角三角形，∠B=90°
∴根据勾股定理可得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$
变形得：$AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}$
将AC=160m，BC=128m代入得：
$AB=\sqrt{160^2 - 128^2}=\sqrt{25600 - 16384}=\sqrt{9216}=96(m)$
因此A、B两点间的距离为96m，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、实际距离测量
【点评】
本题是勾股定理在实际测量场景中的基础应用，解题核心是准确判断直角三角形的斜边，正确套用勾股定理公式计算即可，侧重考察基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.8
本题是利用直角三角形性质求实际距离的问题，解题思路如下：首先明确△ABC是直角三角形且∠B=90°，因此斜边为AC，可运用勾股定理建立三边的数量关系；接下来将勾股定理变形得到求AB的公式，最后代入已知的AC、BC长度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC为直角三角形，∠B=90°
∴根据勾股定理可得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$
变形得：$AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}$
将AC=160m，BC=128m代入得：
$AB=\sqrt{160^2 - 128^2}=\sqrt{25600 - 16384}=\sqrt{9216}=96(m)$
因此A、B两点间的距离为96m，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、实际距离测量
【点评】
本题是勾股定理在实际测量场景中的基础应用，解题核心是准确判断直角三角形的斜边，正确套用勾股定理公式计算即可，侧重考察基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.8
2.为防止游客溺水，现需重新测量公园内人工湖泊的近岸深度.如图，工作人员将一根竹竿AB竖直插入距离岸边点C 0.5m处的水底，此时竹竿高出水面的部分AD长0.1m，若将竹竿拉到岸边点C处，此时杆顶与水面平齐，则人工湖泊的近岸深度BD长为
1.2
m.答案
2.1.2
解析
【分析】
解题时先抓住不变量：竹竿的总长度不发生变化。设湖泊深度BD为x m，可表示出竹竿AB的长度为(x+0.1)m，竹竿拉到C点时长度BC与AB相等。观察可知△BDC是直角三角形，两条直角边分别为水深BD、水平距离DC，斜边为BC，因此可以利用勾股定理列一元一次方程求解x的值，即可得到水深。
【解析】
设人工湖泊的近岸深度BD长为$x$ m。
由题意可知，竹竿总长度$AB = BD + AD = (x + 0.1)$ m，将竹竿拉到点C时竹竿长度不变，故$BC = AB = (x + 0.1)$ m。
又$△ BDC$为直角三角形，$∠ BDC = 90°$，$DC = 0.5$ m，根据勾股定理可得：
$BD^2 + DC^2 = BC^2$
代入数值：
$x^2 + 0.5^2 = (x + 0.1)^2$
展开右侧得：
$x^2 + 0.25 = x^2 + 0.2x + 0.01$
移项化简：
$0.2x = 0.24$
解得：
$x = 1.2$
【答案】
1.2
【知识点】
勾股定理的应用；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题是几何知识在实际测量中的典型应用，解题的核心是找准竹竿长度不变这一隐含等量关系，结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住不变量：竹竿的总长度不发生变化。设湖泊深度BD为x m，可表示出竹竿AB的长度为(x+0.1)m，竹竿拉到C点时长度BC与AB相等。观察可知△BDC是直角三角形，两条直角边分别为水深BD、水平距离DC，斜边为BC，因此可以利用勾股定理列一元一次方程求解x的值，即可得到水深。
【解析】
设人工湖泊的近岸深度BD长为$x$ m。
由题意可知，竹竿总长度$AB = BD + AD = (x + 0.1)$ m，将竹竿拉到点C时竹竿长度不变，故$BC = AB = (x + 0.1)$ m。
又$△ BDC$为直角三角形，$∠ BDC = 90°$，$DC = 0.5$ m，根据勾股定理可得：
$BD^2 + DC^2 = BC^2$
代入数值：
$x^2 + 0.5^2 = (x + 0.1)^2$
展开右侧得：
$x^2 + 0.25 = x^2 + 0.2x + 0.01$
移项化简：
$0.2x = 0.24$
解得：
$x = 1.2$
【答案】
1.2
【知识点】
勾股定理的应用；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题是几何知识在实际测量中的典型应用，解题的核心是找准竹竿长度不变这一隐含等量关系，结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
3.如图,一架长2.5m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2m.若梯子的底端B向墙脚内移0.8m到点D,求这时梯子顶端C到地面的高度OC. 
答案
解：在 Rt △AOB 中，OB =
√(AB²−AO²)=1.5(m). 由题意，
得 BD=0.8m,
∴OD=OB−BD=
0.7(m). 在 Rt △COD 中，OC =
√(CD²−OD²)=2.4(m). 答：这时
梯子顶端 C 到地面的高度 OC 为
2.4m.
√(AB²−AO²)=1.5(m). 由题意，
得 BD=0.8m,
∴OD=OB−BD=
0.7(m). 在 Rt △COD 中，OC =
√(CD²−OD²)=2.4(m). 答：这时
梯子顶端 C 到地面的高度 OC 为
2.4m.
解析
【分析】
本题是勾股定理在实际场景中的应用，解题思路如下：首先确定图中存在两个直角三角形Rt△AOB和Rt△COD，且梯子长度不变，即AB=CD=2.5m。第一步，先在Rt△AOB中，已知斜边AB和直角边AO，利用勾股定理求出OB的长度；第二步，根据底端B向内移动0.8m的条件，计算出移动后底端到墙脚O的距离OD；第三步，在Rt△COD中，已知斜边CD和直角边OD，再次用勾股定理即可求出OC的长度。
【解析】
在Rt△AOB中，∠O=90°，由勾股定理得：
OB = √(AB² - AO²) = √(2.5² - 2²) = √2.25 = 1.5(m)
由题意可知BD=0.8m，因此：
OD = OB - BD = 1.5 - 0.8 = 0.7(m)
梯子长度不变，故CD=AB=2.5m，在Rt△COD中，∠O=90°，由勾股定理得：
OC = √(CD² - OD²) = √(2.5² - 0.7²) = √5.76 = 2.4(m)
【答案】
2.4m
【知识点】
勾股定理；实际问题几何应用
【点评】
本题是勾股定理解决实际测量问题的典型基础题，解题关键是抓住梯子长度不变的隐含条件，分两次在直角三角形中运用勾股定理计算未知边长，解题时注意区分两个直角三角形对应的各边长度，避免混淆。
【难度系数】
0.8
本题是勾股定理在实际场景中的应用，解题思路如下：首先确定图中存在两个直角三角形Rt△AOB和Rt△COD，且梯子长度不变，即AB=CD=2.5m。第一步，先在Rt△AOB中，已知斜边AB和直角边AO，利用勾股定理求出OB的长度；第二步，根据底端B向内移动0.8m的条件，计算出移动后底端到墙脚O的距离OD；第三步，在Rt△COD中，已知斜边CD和直角边OD，再次用勾股定理即可求出OC的长度。
【解析】
在Rt△AOB中，∠O=90°，由勾股定理得：
OB = √(AB² - AO²) = √(2.5² - 2²) = √2.25 = 1.5(m)
由题意可知BD=0.8m，因此：
OD = OB - BD = 1.5 - 0.8 = 0.7(m)
梯子长度不变，故CD=AB=2.5m，在Rt△COD中，∠O=90°，由勾股定理得：
OC = √(CD² - OD²) = √(2.5² - 0.7²) = √5.76 = 2.4(m)
【答案】
2.4m
【知识点】
勾股定理；实际问题几何应用
【点评】
本题是勾股定理解决实际测量问题的典型基础题，解题关键是抓住梯子长度不变的隐含条件，分两次在直角三角形中运用勾股定理计算未知边长，解题时注意区分两个直角三角形对应的各边长度，避免混淆。
【难度系数】
0.8
4.如图,地质勘探人员为了估算某条河的宽度,先在河对岸选定了一个目标点O,然后在他们所在这一侧选取了点A,B,D使得$AB⊥AO,DB⊥AB$,又找到DO和AB的交点C,测得$AC=16m,BC=8m,DB=7m$,则河宽OA为 (
A.16m
B.15m
C.14m
D.13m
第4题图 第5题图
C
)A.16m
B.15m
C.14m
D.13m
第4题图 第5题图
答案
4.C
解析
【分析】
首先根据已知的垂直条件，可得出AO与BD平行，进而得到△OAC和△DBC的两组角相等，可判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的边长数据，即可求出河宽OA的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥AO，DB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
又
∵∠ACO=∠BCD（对顶角相等），
∴△OAC∽△DBC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{OA}{DB}=\frac{AC}{BC}$，
将AC=16m，BC=8m，DB=7m代入得：
$\frac{OA}{7}=\frac{16}{8}$，
解得OA=14m。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的基础应用，解题核心是通过垂直和对顶角条件快速判定三角形相似，再借助相似的比例性质建立等式计算未知边长，对学生的建模能力和基础性质运用能力有一定考察。
【难度系数】
0.8
首先根据已知的垂直条件，可得出AO与BD平行，进而得到△OAC和△DBC的两组角相等，可判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的边长数据，即可求出河宽OA的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥AO，DB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
又
∵∠ACO=∠BCD（对顶角相等），
∴△OAC∽△DBC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{OA}{DB}=\frac{AC}{BC}$，
将AC=16m，BC=8m，DB=7m代入得：
$\frac{OA}{7}=\frac{16}{8}$，
解得OA=14m。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的基础应用，解题核心是通过垂直和对顶角条件快速判定三角形相似，再借助相似的比例性质建立等式计算未知边长，对学生的建模能力和基础性质运用能力有一定考察。
【难度系数】
0.8
5.如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米(即$CO=2$米)远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米(即$AC=1.8$米)，排球落地点离墙的距离是6米(即$OD=6$米).假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地高度$BD$的长是
5.4
米.答案
5.5.4
解析
【分析】
这是利用相似三角形解决实际测量的问题，解题时首先根据排球反弹的特性可知入射角等于反射角，得到∠AOC=∠BOD，再结合AC、BD均垂直于地面CD，可证明△ACO与△BDO相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质即可求出BD的长度。
【解析】
解：由题意可知，AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∵排球反弹，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△ACO∽△BDO（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{CO}{OD}$，
将AC=1.8米，CO=2米，OD=6米代入得：
$\frac{1.8}{BD}=\frac{2}{6}$，
解得$BD=\frac{1.8×6}{2}=5.4$（米）。
【答案】
5.4
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题结合生活中的排球反弹场景，考查相似三角形的实际应用，解题的关键是从实际场景中提取出几何关系，证明三角形相似，再列比例式计算，侧重考查学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是利用相似三角形解决实际测量的问题，解题时首先根据排球反弹的特性可知入射角等于反射角，得到∠AOC=∠BOD，再结合AC、BD均垂直于地面CD，可证明△ACO与△BDO相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质即可求出BD的长度。
【解析】
解：由题意可知，AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∵排球反弹，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△ACO∽△BDO（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{CO}{OD}$，
将AC=1.8米，CO=2米，OD=6米代入得：
$\frac{1.8}{BD}=\frac{2}{6}$，
解得$BD=\frac{1.8×6}{2}=5.4$（米）。
【答案】
5.4
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题结合生活中的排球反弹场景，考查相似三角形的实际应用，解题的关键是从实际场景中提取出几何关系，证明三角形相似，再列比例式计算，侧重考查学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图是小明利用太阳光测楼高的示意图. 在测量时,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同. 此时,测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m,CE=0.8m,CA=30m(点A、E、C在同一直线上).已知小明的身高EF是1.7m,请你帮小明求出楼高AB.(结果精确到0.1m)
答案
解:过 D 点作 DH⊥AB 于点 H,交
EF 于点 M. 则由题意可得 MF=
1.7−1.2=0.5(m),MD=EC=
0.8m,DH=AC=30m.
∵∠FDM=
∠BDH,∠FMD=∠BAD=90°,
∴
△DMF∽△DHB,
∴FM/BH=MD/HD,
∴
0.5/BH=0.8/30,
∴BH=18.75m,
∴AB
=BH+AH=BH+CD=18.75+
1.2≈20.0(m).
∴楼高 AB 约为
20.0m.
EF 于点 M. 则由题意可得 MF=
1.7−1.2=0.5(m),MD=EC=
0.8m,DH=AC=30m.
∵∠FDM=
∠BDH,∠FMD=∠BAD=90°,
∴
△DMF∽△DHB,
∴FM/BH=MD/HD,
∴
0.5/BH=0.8/30,
∴BH=18.75m,
∴AB
=BH+AH=BH+CD=18.75+
1.2≈20.0(m).
∴楼高 AB 约为
20.0m.
解析
【分析】
要计算楼高AB，由于楼和人的影子有一部分落在墙上，无法直接用同一时刻物高与影长成正比的关系求解，因此可过点D作水平线DH垂直AB于H，交EF于M，将问题转化为相似三角形问题：高出墙上影子的部分BH、FM与对应的水平距离DH、MD构成两个相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例先求出BH的长度，再加上墙上影子的高度CD即可得到AB的高度。
【解析】
过D点作DH⊥AB于点H，交EF于点M。
由题意可得四边形AHDC、四边形MECD均为矩形，因此：
$MF=EF-CD=1.7-1.2=0.5(\mathrm{m})$，
$MD=EC=0.8\mathrm{m}$，
$DH=AC=30\mathrm{m}$，
$AH=CD=1.2\mathrm{m}$。
∵太阳光线为平行光线，
∴$∠ FDM=∠ BDH$，
又
∵$∠ FMD=∠ BHD=90°$，
∴$△ DMF ∽ △ DHB$，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{FM}{BH}=\frac{MD}{HD}$，
代入数据得：$\frac{0.5}{BH}=\frac{0.8}{30}$，
解得$BH=\frac{0.5×30}{0.8}=18.75\mathrm{m}$，
∴$AB=BH+AH=18.75+1.2\approx20.0(\mathrm{m})$。
【答案】
20.0m
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影的性质，矩形的性质
【点评】
本题是生活中利用平行投影测量高度的典型题型，解题的关键是通过作水平辅助线构造相似三角形，将有部分影子落在墙上的非标准投影问题转化为熟悉的相似三角形求解问题，考查了数学建模能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
要计算楼高AB，由于楼和人的影子有一部分落在墙上，无法直接用同一时刻物高与影长成正比的关系求解，因此可过点D作水平线DH垂直AB于H，交EF于M，将问题转化为相似三角形问题：高出墙上影子的部分BH、FM与对应的水平距离DH、MD构成两个相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例先求出BH的长度，再加上墙上影子的高度CD即可得到AB的高度。
【解析】
过D点作DH⊥AB于点H，交EF于点M。
由题意可得四边形AHDC、四边形MECD均为矩形，因此：
$MF=EF-CD=1.7-1.2=0.5(\mathrm{m})$，
$MD=EC=0.8\mathrm{m}$，
$DH=AC=30\mathrm{m}$，
$AH=CD=1.2\mathrm{m}$。
∵太阳光线为平行光线，
∴$∠ FDM=∠ BDH$，
又
∵$∠ FMD=∠ BHD=90°$，
∴$△ DMF ∽ △ DHB$，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{FM}{BH}=\frac{MD}{HD}$，
代入数据得：$\frac{0.5}{BH}=\frac{0.8}{30}$，
解得$BH=\frac{0.5×30}{0.8}=18.75\mathrm{m}$，
∴$AB=BH+AH=18.75+1.2\approx20.0(\mathrm{m})$。
【答案】
20.0m
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影的性质，矩形的性质
【点评】
本题是生活中利用平行投影测量高度的典型题型，解题的关键是通过作水平辅助线构造相似三角形，将有部分影子落在墙上的非标准投影问题转化为熟悉的相似三角形求解问题，考查了数学建模能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
