15.如图,若在象棋盘上建立直角坐标系,使“帅”位于点$(-1,-2)$,"马"位于点$(2,-2)$,则“兵”位于点 ()

A.$(-1,1)$
B.$(-2,-1)$
C.$(-3,1)$
D.$(1,-2)$

15.C

【分析】
解题时先根据已知的“帅”和“马”的坐标确定平面直角坐标系的坐标轴方向、单位长度和原点位置。由于“帅”和“马”的纵坐标相同，说明两点在平行于x轴的直线上，两点横坐标相差3，对应棋盘上3个相邻格子，可推出每个格子代表1个单位长度，x轴向右为正方向，y轴向上为正方向，再依据坐标系数格确定“兵”的坐标即可。
【解析】
解：① 由“帅”位于点$(-1,-2)$，“马”位于点$(2,-2)$可知，两点纵坐标相等，所在直线为$y=-2$，两点横坐标差为$2-(-1)=3$，对应棋盘上3个相邻格子，因此1个格子的边长对应1个单位长度，且x轴向右为正，y轴向上为正。
② 确定原点位置：原点在“帅”的右侧1格、上方2格的交叉点处。
③ 观察“兵”的位置：横向在原点左侧3格，横坐标为$-3$；纵向在原点上方1格，纵坐标为$1$，因此“兵”的坐标为$(-3,1)$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系；坐标确定位置
【点评】
本题结合象棋盘场景考查平面直角坐标系的基础应用，解题的关键是根据已知点坐标确定单位长度和坐标轴方向，细心数格即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8

16. 在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=9$，点$D$在边$AB$所在的直线上，且$AD=2$，过点$D$作$DE// BC$交边$AC$所在直线于点$E$，则$CE$的长为________.

16. 6或12

【分析】
题目中点D在AB所在的直线上，而非仅在线段AB上，因此需要分两种情况讨论：①点D在线段AB上；②点D在BA的延长线上。结合DE//BC的条件，可利用平行线分线段成比例定理（或相似三角形对应边成比例的性质），先求出AE的长度，再根据E的位置计算CE的长即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点D在线段AB上时：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所得三角形与原三角形相似）
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
将AB=6，AC=9，AD=2代入得：$\frac{2}{6}=\frac{AE}{9}$，解得AE=3
∴$CE=AC-AE=9-3=6$
2. 当点D在BA的延长线上时：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
将AB=6，AC=9，AD=2代入得：$\frac{2}{6}=\frac{AE}{9}$，解得AE=3，此时点E在CA的延长线上
∴$CE=AC+AE=9+3=12$
【答案】
6或12
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 分类讨论思想
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题易错点是忽略“点在所在直线上”包含两种位置情况，仅考虑点在线段上的情况导致漏解，解题时要注意审题，结合几何性质分类计算即可。
【难度系数】
0.6

17. 在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=5$，点$D$在边$AB$上，且$AD=2$，点$E$在边$AC$上，当$AE$ = 时，以$A$，$D$，$E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似.

17. $\frac{12}{5}$或$\frac{5}{3}$

【分析】
本题中△ADE和△ABC有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，由于两组边的对应关系不唯一，因此需要分两种情况讨论：第一种是△ADE∽△ABC，第二种是△AED∽△ABC，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可。
【解析】
解：
∵∠A是△ADE和△ABC的公共角，要使以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况讨论：
① 当$△ ADE ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
将$AB=6$，$AC=5$，$AD=2$代入得：
$\frac{2}{6}=\frac{AE}{5}$
解得：$AE=\frac{5}{3}$
② 当$△ AED ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$
代入数值得：
$\frac{AE}{6}=\frac{2}{5}$
解得：$AE=\frac{12}{5}$
【答案】
$\frac{12}{5}$或$\frac{5}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形的常见应用题型，解题时要抓住公共角这一隐含条件，明确两组边的对应关系有两种可能，避免因漏解出现错误。
【难度系数】
0.6

18.(山西省中考)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,AB=8,BC=4,点E在边AB上,AE=3,连结CE,且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上,连结DF.若DF=DC,则线段CF的长为.

18. $\frac{18}{5}$

【分析】
要求线段CF的长，由DF=DC可知△DCF是等腰三角形，若过D作DH⊥CF于H，根据等腰三角形三线合一可得CF=2CH，因此只需算出CH的长度即可。题中给出∠DCE=∠BCE，即CE是∠BCD的角平分线，可通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数运算：先设出D点坐标，利用角平分线性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”列方程求出D点横坐标，再根据等腰三角形性质推出CF与D点横坐标的关系，代入计算即可得解。
【解析】
解：以点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：$B(0,0)$，$C(4,0)$，$A(0,8)$，
∵$AE=3$，$AB=8$，
∴E点坐标为$(0,5)$。
∵$AD// BC$，$∠ B=90°$，
∴D点纵坐标为8，设$D(x,8)$。
1. 求直线CD的方程：
直线CD过点$C(4,0)$和$D(x,8)$，整理得直线CD的一般式为：$\boldsymbol{8X - (x-4)Y - 32 = 0}$。
2. 利用角平分线性质列方程：
∵$∠ DCE=∠ BCE$，
∴CE是$∠ BCD$的角平分线，点E到BC的距离等于点E到CD的距离。
点E到BC（x轴）的距离为$EB=5$，根据点到直线的距离公式，$E(0,5)$到CD的距离为：
$\frac{|8×0 - (x-4)×5 - 32|}{\sqrt{8^2 + (x-4)^2}} = \frac{|5x + 12|}{\sqrt{x^2 - 8x + 80}}$
∴有等式：$\frac{5x + 12}{\sqrt{x^2 - 8x + 80}} = 5$（$x＞0$，绝对值可直接去掉）
两边平方得：$(5x+12)^2 = 25(x^2 - 8x + 80)$
展开化简：$25x^2 + 120x + 144 = 25x^2 - 200x + 2000$
移项得：$320x = 1856$，解得$\boldsymbol{x=\frac{29}{5}}$。
3. 计算CF的长度：
设F点坐标为$(f,0)$，
∵$DF=DC$，
∴$DF^2=DC^2$，即：
$(f-x)^2 + (0-8)^2 = (4-x)^2 + (0-8)^2$
化简得$(f-x)^2=(x-4)^2$，
∵F在BC延长线上，$f＞4$，
∴$f-x=x-4$，即$f=2x-4$。
∴$CF = f - 4 = 2x - 8$，代入$x=\frac{29}{5}$得：
$CF=2×\frac{29}{5} - 8 = \frac{58}{5} - \frac{40}{5} = \frac{18}{5}$
【答案】
$\frac{18}{5}$
【知识点】
角平分线的性质；等腰三角形的性质；点到直线的距离公式
【点评】
本题综合考查了直角梯形的性质、角平分线性质、等腰三角形三线合一的应用，采用坐标法可将几何关系转化为代数运算，降低几何推理的难度，解题的关键是准确识别角平分线对应的距离相等关系，以及利用等腰三角形性质简化CF的计算。
【难度系数】
0.6

19. 如图，$△ ABC$和$△ ADE$是有公共顶点的等腰直角三角形，$∠ BAC=∠ DAE=90°$，点$P$为射线$BD$，$CE$的交点.
(1)求证:$BD=CE$；
(2)若$AB=2$，$AD=1$，把$△ ADE$绕点$A$旋转，当$∠ EAC=90°$时，求$PB$的长.

19. (1)证明: $\because △ ABC$ 和 $△ ADE$ 是等腰直角三角形, $∠ BAC=∠ DAE=90°, \therefore AB=AC, AD=AE, ∠ DAB=∠ EAC, \therefore △ ADB ≌ △ AEC, \therefore BD=CE$.
(2)解: ①当点 $E$ 在 $AB$ 上时,如答图1,$BE=AB-AE=1, \because ∠ EAC=90°, \therefore CE=\sqrt{5}$, 同(1)可证 $△ ADB ≌ △ AEC, \therefore ∠ DBA=∠ ECA, \because ∠ PEB=∠ AEC, \therefore △ PEB ∽ △ AEC, \therefore \frac{PB}{AC}=\frac{BE}{CE}, \therefore \frac{PB}{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}, \therefore PB=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②当点 $E$ 在 $BA$ 的延长线上时,如答图2,$BE=3, CE=\sqrt{5}$, 同(1)可证 $△ ADB ≌ △ AEC, \therefore ∠ DBA=∠ ECA, \because ∠ BEP=∠ CEA, \therefore △ PEB ∽ △ AEC, \therefore \frac{PB}{AC}=\frac{BE}{CE}, \therefore \frac{PB}{2}=\frac{3}{\sqrt{5}}, \therefore PB=\frac{6\sqrt{5}}{5}$. 综上所述,$PB$ 的长为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$.

【分析】
(1) 要证明BD=CE，可通过证明两条线段所在的△ADB和△AEC全等来实现。已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，可得到AB=AC、AD=AE，再结合两个直角的条件可推出夹角∠DAB=∠EAC，满足SAS全等判定条件，即可证得全等得到对应边相等。
(2) 当∠EAC=90°时，点E存在两种位置：①在线段AB上；②在BA的延长线上，需分类讨论。两种情况均可先通过全等得到∠DBA=∠ECA，结合对顶角/公共角相等证明△PEB∽△AEC，再利用相似三角形对应边成比例求解PB的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，
∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠DAB=∠EAC\\AD=AE\end{array} $
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE。
(2) 解：分两种情况讨论：
①当点E在AB上时，如答图1：
∵AE=AD=1，AB=2，
∴BE=AB-AE=1，
∵∠EAC=90°，
∴在Rt△AEC中，$CE=\sqrt{AE^2+AC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
同(1)可证△ADB≌△AEC，
∴∠DBA=∠ECA，
又
∵∠PEB=∠AEC（对顶角相等），
∴△PEB∽△AEC，
∴$\frac{PB}{AC}=\frac{BE}{CE}$，代入得$\frac{PB}{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，解得$PB=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②当点E在BA的延长线上时，如答图2：
BE=AB+AE=2+1=3，
∵∠EAC=90°，
∴在Rt△AEC中，$CE=\sqrt{AE^2+AC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
同(1)可证△ADB≌△AEC，
∴∠DBA=∠ECA，
又
∵∠BEP=∠CEA（公共角），
∴△PEB∽△AEC，
∴$\frac{PB}{AC}=\frac{BE}{CE}$，代入得$\frac{PB}{2}=\frac{3}{\sqrt{5}}$，解得$PB=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
综上，PB的长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
19. (1)证明: $\because △ ABC$ 和 $△ ADE$ 是等腰直角三角形, $∠ BAC=∠ DAE=90°, \therefore AB=AC, AD=AE, ∠ DAB=∠ EAC, \therefore △ ADB ≌ △ AEC, \therefore BD=CE$.
(2)解: ①当点 $E$ 在 $AB$ 上时,如答图1,$BE=AB-AE=1, \because ∠ EAC=90°, \therefore CE=\sqrt{5}$, 同(1)可证 $△ ADB ≌ △ AEC, \therefore ∠ DBA=∠ ECA, \because ∠ PEB=∠ AEC, \therefore △ PEB ∽ △ AEC, \therefore \frac{PB}{AC}=\frac{BE}{CE}, \therefore \frac{PB}{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}, \therefore PB=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②当点 $E$ 在 $BA$ 的延长线上时,如答图2,$BE=3, CE=\sqrt{5}$, 同(1)可证 $△ ADB ≌ △ AEC, \therefore ∠ DBA=∠ ECA, \because ∠ BEP=∠ CEA, \therefore △ PEB ∽ △ AEC, \therefore \frac{PB}{AC}=\frac{BE}{CE}, \therefore \frac{PB}{2}=\frac{3}{\sqrt{5}}, \therefore PB=\frac{6\sqrt{5}}{5}$. 综上所述,$PB$ 的长为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$.
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，结合旋转性质考查等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形的相关知识，解题时需注意旋转过程中点的位置存在多种情况，避免漏解，熟练掌握全等和相似的判定方法是解题的核心。
【难度系数】
0.6