10.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点E,点F在BD上,∠BAF=∠DBC,$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{FD}$.
(1)求证:△ABC∽△AFD.
(2)若AD=2,AB=4,AC=5,求AF的长.

10. (1)证明: $\because ∠ BAF = ∠ DBC, \therefore ∠ BAF + ∠ ABF = ∠ DBC + ∠ ABF, \therefore ∠ ABC = ∠ AFD$. 又 $\because \frac{AB}{AF}=\frac{BC}{FD}, \therefore △ ABC ∽ △ AFD$.
(2)解: $\because △ ABC ∽ △ AFD, \therefore \frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AF}, \therefore \frac{5}{2}=\frac{4}{AF}$, 解得 $AF=\frac{8}{5}$.

【分析】
(1)要证明△ABC∽△AFD，已知给出了两组边对应成比例$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{FD}$，根据相似三角形的SAS判定定理，只需证明这两组边的夹角相等即可。观察角的关系：∠AFD是△ABF的外角，等于∠BAF+∠ABF；∠ABC等于∠ABF+∠DBC，结合已知∠BAF=∠DBC，即可推出两个夹角相等，满足SAS相似的条件。
(2)第一问已证两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长列比例式，即可求出AF的长度。
【解析】
(1)证明：
∵$∠ BAF = ∠ DBC$，
∴$∠ BAF + ∠ ABF = ∠ DBC + ∠ ABF$，
由三角形外角性质可得$∠ AFD = ∠ BAF + ∠ ABF$，又$∠ ABC = ∠ ABF + ∠ DBC$，
∴$∠ ABC = ∠ AFD$，
又
∵$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{FD}$，
∴△ABC∽△AFD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(2)解：
∵△ABC∽△AFD，
∴对应边成比例，即$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AF}$，
将$AD=2$，$AB=4$，$AC=5$代入得：$\frac{5}{2}=\frac{4}{AF}$，
解得$AF=\frac{8}{5}$。
【答案】
(1) 已证△ABC∽△AFD；
(2) $AF=\frac{8}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是通过已知等角推导得到相似判定所需的夹角相等，再利用相似性质求解线段长度，是几何部分的常规考题，熟练掌握相似的判定和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$△ ABC$中,D在AC上,$DE// BC$, $DF// AB$.
(1)求证:$△ DFC ∽ △ AED$;
(2)若$CD=\dfrac{1}{3}AC$,求$\dfrac{S_{△ DFC}}{S_{△ AED}}$的值.

11. (1)证明: $\because DF // AB, DE // BC, \therefore ∠ DFC = ∠ ABF, ∠ AED = ∠ ABF, \therefore ∠ DFC = ∠ AED$. 又 $\because DE // BC, \therefore ∠ DCF = ∠ ADE, \therefore △ DFC ∽ △ AED$.
(2)解: $\because CD=\frac{1}{3}AC, \therefore \frac{CD}{DA}=\frac{1}{2}$. $\because △ DFC ∽ △ AED, \therefore △ DFC$ 和 $△ AED$ 的相似比为 $\frac{CD}{DA}=\frac{1}{2}$, 故 $\frac{S_{△ DFC}}{S_{△ AED}}=(\frac{CD}{DA})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$.

【分析】
(1) 要证明△DFC∽△AED，可选用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理。结合已知的两组平行线，利用平行线的同位角相等性质，推导两个三角形的两组对应角相等，即可完成相似证明。
(2) 要求两个相似三角形的面积比，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，因此先根据已知的CD与AC的数量关系，求出两个三角形的相似比$\frac{CD}{DA}$，再对相似比平方即可得到面积比值。
【解析】
(1) 证明：
$\because DF// AB, DE// BC$，
$\therefore ∠ DFC = ∠ ABF$（两直线平行，同位角相等），$∠ AED = ∠ ABF$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ DFC = ∠ AED$。
又$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ DCF = ∠ ADE$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore △ DFC ∽ △ AED$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
$\because CD=\frac{1}{3}AC$，
$\therefore AD=AC-CD=\frac{2}{3}AC$，
$\therefore \frac{CD}{DA}=\frac{\frac{1}{3}AC}{\frac{2}{3}AC}=\frac{1}{2}$。
$\because △ DFC ∽ △ AED$，
$\therefore △ DFC$和$△ AED$的相似比为$\frac{CD}{DA}=\frac{1}{2}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ DFC}}{S_{△ AED}}=(\frac{CD}{DA})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 已证$△ DFC ∽ △ AED$；
(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础考查题，核心是借助平行线的性质得到相等的角证明相似，再利用相似三角形面积比和相似比的关系求解，属于常规典型题型，掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

12.某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度,采用以下方法:如图,把支架EF放在离树AB适当距离的水平地面上的点F处,再把镜子水平放在支架EF上的点E处,然后沿着直线BF后退至点D处,这时恰好在镜子里看到树的顶端A,再用皮尺分别测量BF,DF,EF,观测者目高CD的长,利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知$CD⊥ BD$于点D,$EF⊥ BD$于点F,$AB⊥ BD$于点B,$BF=6\mathrm{m},DF=2\mathrm{m},EF=0.5\mathrm{m},CD=1.7\mathrm{m}$,则这棵树的高度AB是多少?

12. 解:如图,过点E作水平线交AB于点G,交CD于点H,则 $DH = EF = GB = 0.5\mathrm{m}, EH=DF=2\mathrm{m}, EG=FB=6\mathrm{m}, \therefore CH=CD-DH=1.7-0.5=1.2(\mathrm{m})$. 由题意,得 $∠ CHE=∠ AGE=90°, ∠ CEH=∠ AEG$(反射定律可得), $\therefore △ CHE ∽ △ AGE, \therefore \frac{EH}{EG}=\frac{CH}{AG}$, 即 $\frac{2}{6}=\frac{1.2}{AG}, \therefore AG=3.6\mathrm{m}, \therefore AB=AG+GB=3.6+0.5=4.1(\mathrm{m})$.

【分析】
本题是利用相似三角形解决实际高度测量的问题，解题思路可分为三步：首先根据镜面反射的规律，可得入射角等于反射角，进而推出一组相等的角；其次观察到CD、EF、AB均与BD垂直，因此过点E作水平辅助线，可构造出两个直角三角形和两个矩形，利用矩形对边相等的性质可得到两个三角形对应边的长度；最后证明两个直角三角形相似，借助相似三角形对应边成比例的性质求出AG的长度，再加上GB的长度即可得到树的总高度AB。
【解析】
解：如图，过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，
则四边形EFDH、EFBG都为矩形，因此$DH = EF = GB = 0.5\mathrm{m}, EH=DF=2\mathrm{m}, EG=FB=6\mathrm{m}$，
$\therefore CH=CD-DH=1.7-0.5=1.2(\mathrm{m})$。
由镜面反射定律可得$∠ CEH=∠ AEG$，
又$\because ∠ CHE=∠ AGE=90°$，
$\therefore △ CHE ∽ △ AGE$，
根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{EH}{EG}=\frac{CH}{AG}$，
代入数据得$\frac{2}{6}=\frac{1.2}{AG}$，解得$AG=3.6\mathrm{m}$，
$\therefore AB=AG+GB=3.6+0.5=4.1(\mathrm{m})$。
【答案】
如图，这棵树的高度AB是$\boxed{4.1\mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，镜面反射原理，矩形的性质
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的典型应用，结合了物理学科的光的反射规律，重点考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，解题的核心是正确构造辅助线得到相似三角形，准确找到对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7

13. 在平面直角坐标系中，点$A(m,2)$与点$B(3,n)$关于$y$轴对称，则 （）

A.$m=3,n=2$
B.$m=-3,n=2$
C.$m=2,n=3$
D.$m=-2,n=-3$

13.B

【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。接下来将点A、B的坐标对应到规律中，分别计算m和n的取值，最后匹配正确选项即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标性质：若两点关于y轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数。
已知点$A(m,2)$与点$B(3,n)$关于$y$轴对称，因此：
横坐标满足：$m=-3$，
纵坐标满足：$n=2$。
对应选项可知B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查对称点的坐标变化规律，牢记不同对称方式下坐标的变化特点即可快速准确作答，是平面直角坐标系章节的常规考法。
【难度系数】
0.9

14.如图,是$9×9$的正方形网格,每个小正方形的边长为1,请在所给网格中按下列要求操作:
(1)请在网格中画出平面直角坐标系,使A的坐标为$(-2,4)$,B的坐标为$(-4,2)$;
(2)在第二象限内的格点上画一点C,使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形,且腰长是无理数,则点C的坐标是________,$△ ABC$的周长是________(结果保留根号);
(3)把$△ ABC$以点C为位似中心向右放大后得到$△ A_1B_1C$,使放大前后对应边长的比为$1:2$,画出$△ A_1B_1C$并写出点$A_1$的坐标.

14. (1)解:如图
(2)如图,C点为所求. $(-1,1)$ $2\sqrt{2}+2\sqrt{10}$
(3)如图,$△ A_1B_1C$为所求,点$A_1$的坐标为$(1,-5)$.

【分析】
(1) 建立平面直角坐标系的核心是确定原点、x轴和y轴的位置：已知点A(-2,4)，说明A在y轴左侧2个单位、x轴上方4个单位的位置，因此将A点向右平移2格的竖线设为y轴，向下平移4格的横线设为x轴，两轴交点即为原点，即可完成坐标系绘制。
(2) 要构造以AB为底的等腰三角形，根据等腰三角形性质，点C到A、B的距离相等，即C在AB的垂直平分线上；同时要求C在第二象限格点、腰长为无理数，先找到AB垂直平分线上的第二象限格点，再验证腰长是否为无理数即可，最后计算三边长度求和得到周长。
(3) 位似变换以C为位似中心，放大比为1:2，即新图形各边是原图形的2倍，且放大方向向右。先确定从C出发到A的向量，将向量反向后放大2倍，即可得到A₁的坐标，同理确定B₁坐标，连线得到放大后的三角形。
【解析】
(1) 根据A(-2,4)、B(-4,2)的坐标特征，取A点右侧2个单位的竖线为y轴，A点下方4个单位的横线为x轴，两轴交点为原点O，建立平面直角坐标系即可。
(2) ① 找AB的垂直平分线，在第二象限的格点中筛选得C(-1,1)，验证：$AC=\sqrt{(-2+1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{(-4+1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{10}$，满足$AC=BC$，且$\sqrt{10}$是无理数，符合要求。
② 计算AB长度：$AB=\sqrt{(-2+4)^2+(4-2)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，因此$△ ABC$的周长$=AB+AC+BC=2\sqrt{2}+\sqrt{10}+\sqrt{10}=2\sqrt{2}+2\sqrt{10}$。
(3) 以C(-1,1)为位似中心，对应边长比1:2向右放大：原向量$\overrightarrow{CA}=(-2-(-1),4-1)=(-1,3)$，放大后$\overrightarrow{CA_1}=2×(1,-3)=(2,-6)$，因此A₁坐标为$(-1+2,1-6)=(1,-5)$，同理确定B₁坐标后，连接C、A₁、B₁，即可得到$△ A_1B_1C$。
【答案】
(1) 如图
(2) $(-1,1)$；$2\sqrt{2}+2\sqrt{10}$
(3) 如图，点$A_1$的坐标为$(1,-5)$
【知识点】
平面直角坐标系建立；等腰三角形性质；位似图形变换
【点评】
本题结合网格考查了坐标系建立、等腰三角形判定与周长计算、位似变换的作图及坐标求解，既锻炼动手操作能力，也考查了对几何性质的运用能力，涉及基础知识点较多，综合性较强。
【难度系数】
0.6