例2 求代数式$2x^2 +4x -6$的最小值.
解:$2x^2 +4x -6=2(x^2 +2x -3)=2(x+1)^2 -8$,
因为$2(x+1)^2 ≥0$,所以当$x=-1$时,$2x^2 +4x -6$有最小值,最小值是$-8$.
根据阅读材料用配方法解决下列问题.
(1)分解因式:$m^2 -2m -3=$;
(2)当$a,b$为何值时,多项式$a^2 +b^2 -2a +4b +9$有最小值?并求出这个最小值;
(3)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,且满足$a^2 -4a +b^2 -6b +c^2 -4c +17=0$,试判断$△ ABC$的形状.

(1)$(m+1)(m-3)$ (2)$a=1,b=-2$时,多项式$a^2 +b^2 -2a +4b +9$有最小值,最小值为4. (3)$△ABC$是等腰三角形

【分析】
本题三小问均围绕配方法展开，解题思路如下：
(1) 分解因式时，先对二次项、一次项配方凑完全平方，再利用平方差公式分解即可；
(2) 求多项式最小值，将含a的项、含b的项分别分组配方，转化为几个非负平方项加常数的形式，当所有平方项为0时，多项式取得最小值；
(3) 判断三角形形状，先将等式左边的常数项拆分，分别与含a、b、c的项凑完全平方，根据几个非负数的和为0时每个非负数都为0，求出三边长度，再根据边长关系判断三角形形状。
【解析】
(1) $m^2 - 2m - 3$
$=m^2 - 2m + 1 - 1 - 3$
$=(m-1)^2 - 4$
$=(m-1)^2 - 2^2$
$=(m-1+2)(m-1-2)$
$=(m+1)(m-3)$
(2) 对多项式$a^2 + b^2 - 2a + 4b +9$配方：
$a^2 + b^2 - 2a + 4b +9$
$=(a^2 - 2a +1) + (b^2 +4b +4) + 4$
$=(a-1)^2 + (b+2)^2 +4$
∵ 偶次幂具有非负性，即$(a-1)^2 ≥ 0$，$(b+2)^2 ≥ 0$
∴ 当$(a-1)^2=0$且$(b+2)^2=0$时，多项式取得最小值
即$a=1$，$b=-2$时，最小值为$0+0+4=4$
(3) 对等式$a^2 -4a +b^2 -6b +c^2 -4c +17=0$变形配方：
将17拆分为4+9+4，代入得：
$(a^2 -4a +4) + (b^2 -6b +9) + (c^2 -4c +4)=0$
即$(a-2)^2 + (b-3)^2 + (c-2)^2=0$
∵ 偶次幂非负，三个非负数的和为0，则每个非负数均为0
∴ $a-2=0$，$b-3=0$，$c-2=0$
解得$a=2$，$b=3$，$c=2$
∴ $a=c=2$，故△ABC为等腰三角形
【答案】
(1) $\boxed{(m+1)(m-3)}$
(2) 当$a=1$，$b=-2$时，多项式有最小值，最小值为$\boxed{4}$
(3) $\boxed{△ ABC是等腰三角形}$
【知识点】
配方法的应用；因式分解；非负数的性质
【点评】
本题核心考查配方法的灵活运用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构，能正确拆分常数项凑出完全平方式，同时结合非负数的性质求解相关量，综合性较强但难度适中。
【难度系数】
0.7