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6.分解因式:$3ax^2 - 6axy + 3ay^2 =$
$3a(x-y)^2$
.答案
$3a(x-y)^2$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的常规思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中各项系数的最大公约数是3，且都含有公共字母a，因此公因式为3a，先提取公因式；提取后得到的多项式为$x^2-2xy+y^2$，符合完全平方公式“首平方、尾平方，积的2倍在中央”的结构特征，可套用完全平方公式继续分解；最后检查结果是否分解到不能再分解即可。
【解析】
解：$3ax^2 - 6axy + 3ay^2$
$=3a(x^2-2xy+y^2)$（提取公因式$3a$）
$=3a(x-y)^2$（利用完全平方公式分解）
【答案】
$3a(x-y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是分解因式的基础题，重点考查分解因式的操作顺序，解题时要注意公因式要提取彻底，套用公式时要准确匹配公式的结构特征，保证最终结果的每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提二套三查”的常规思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中各项系数的最大公约数是3，且都含有公共字母a，因此公因式为3a，先提取公因式；提取后得到的多项式为$x^2-2xy+y^2$，符合完全平方公式“首平方、尾平方，积的2倍在中央”的结构特征，可套用完全平方公式继续分解；最后检查结果是否分解到不能再分解即可。
【解析】
解：$3ax^2 - 6axy + 3ay^2$
$=3a(x^2-2xy+y^2)$（提取公因式$3a$）
$=3a(x-y)^2$（利用完全平方公式分解）
【答案】
$3a(x-y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是分解因式的基础题，重点考查分解因式的操作顺序，解题时要注意公因式要提取彻底，套用公式时要准确匹配公式的结构特征，保证最终结果的每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.8
7.已知$x - y = 1$，则代数式$2x^2 - 4xy + 2y^2$的值为
2
.答案
2
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现各项存在公因式2，可先提取公因式，再判断提取公因式后剩余的多项式符合完全平方公式的特征，可分解为$(x-y)^2$的形式。已知条件直接给出了$x-y$的值，因此将$x-y=1$整体代入分解后的式子即可求出结果，无需单独求解x、y的具体值，能有效简化计算过程。
【解析】
解：对代数式$2x^2 - 4xy + 2y^2$进行因式分解：
1. 提取公因式2，可得：
$2x^2 - 4xy + 2y^2 = 2(x^2 - 2xy + y^2)$
2. 根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可知$x^2 - 2xy + y^2=(x-y)^2$，因此原式可化为：
$2(x-y)^2$
3. 将$x-y=1$代入上式计算：
$2×1^2=2×1=2$
【答案】
2
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是通过因式分解将所求式子转化为含已知条件的形式，利用整体代入的方法快速求解，能帮助学生理解因式分解的实用价值，需要熟练掌握因式分解的基本方法，体会整体思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式的结构，发现各项存在公因式2，可先提取公因式，再判断提取公因式后剩余的多项式符合完全平方公式的特征，可分解为$(x-y)^2$的形式。已知条件直接给出了$x-y$的值，因此将$x-y=1$整体代入分解后的式子即可求出结果，无需单独求解x、y的具体值，能有效简化计算过程。
【解析】
解：对代数式$2x^2 - 4xy + 2y^2$进行因式分解：
1. 提取公因式2，可得：
$2x^2 - 4xy + 2y^2 = 2(x^2 - 2xy + y^2)$
2. 根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可知$x^2 - 2xy + y^2=(x-y)^2$，因此原式可化为：
$2(x-y)^2$
3. 将$x-y=1$代入上式计算：
$2×1^2=2×1=2$
【答案】
2
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是通过因式分解将所求式子转化为含已知条件的形式，利用整体代入的方法快速求解，能帮助学生理解因式分解的实用价值，需要熟练掌握因式分解的基本方法，体会整体思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.8
8.已知$xy=2$，$x-2y=\sqrt{3}$，则$x^3y -4x^2y^2 +4xy^3=$
6
.答案
6
解析
【分析】
遇到此类代数式求值问题，先不要急着求解x、y的具体值，先观察所求代数式的结构特征：①每一项都含有公因式xy，可先提取公因式；②提取公因式后剩余的多项式符合完全平方公式的形式，可进一步分解因式；③分解完成后可发现所求式子恰好能用已知的xy和x-2y整体代入计算，能大大简化计算过程。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}x^3y -4x^2y^2 +4xy^3&=xy(x^2 - 4xy + 4y^2)\\&=xy(x-2y)^2\end{aligned}$
将$xy=2$，$x-2y=\sqrt{3}$代入上式，得：
原式$=2×(\sqrt{3})^2=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心是通过因式分解将所求代数式转化为含已知条件的形式，避免了求解x、y的复杂运算，重点考查对因式分解方法的熟练运用以及整体代入思想的掌握。
【难度系数】
0.75
遇到此类代数式求值问题，先不要急着求解x、y的具体值，先观察所求代数式的结构特征：①每一项都含有公因式xy，可先提取公因式；②提取公因式后剩余的多项式符合完全平方公式的形式，可进一步分解因式；③分解完成后可发现所求式子恰好能用已知的xy和x-2y整体代入计算，能大大简化计算过程。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}x^3y -4x^2y^2 +4xy^3&=xy(x^2 - 4xy + 4y^2)\\&=xy(x-2y)^2\end{aligned}$
将$xy=2$，$x-2y=\sqrt{3}$代入上式，得：
原式$=2×(\sqrt{3})^2=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心是通过因式分解将所求代数式转化为含已知条件的形式，避免了求解x、y的复杂运算，重点考查对因式分解方法的熟练运用以及整体代入思想的掌握。
【难度系数】
0.75
9.新定义:对于任意实数$x$,都有$f(x)=ax^2+bx$,若$f(1)=5,f(2)=12$,则将$f(x^2-4x)$因式分解的结果为
$x(x-4)(x-2)^2$
.答案
$x(x-4)(x-2)^2$
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，先根据新定义给出的$f(x)$表达式，结合$f(1)=5$、$f(2)=12$的条件，列出关于$a$、$b$的二元一次方程组，求解得到$a$、$b$的值，确定$f(x)$的具体解析式；第二步，将自变量替换为$x^2-4x$，代入$f(x)$的解析式得到待分解的多项式；第三步，按照因式分解的顺序，先提取公因式，再用完全平方公式继续分解，直到不能再分解为止。
【解析】
首先根据题意列方程组求$a$、$b$的值：
$\because f(1)=a·1^2 + b·1 = a + b = 5$，
$f(2)=a·2^2 + b·2 = 4a + 2b = 12$，
将第二个方程两边同时除以2得：$2a + b = 6$，
用$2a + b = 6$减去$a + b = 5$，得$a=1$，
将$a=1$代入$a + b =5$，得$b=4$，
$\therefore f(x) = x^2 + 4x$。
接下来代入$x^2-4x$：
$f(x^2 - 4x) = (x^2 - 4x)^2 + 4(x^2 - 4x)$
第一步提取公因式$(x^2 - 4x)$：
原式$= (x^2 - 4x)(x^2 - 4x + 4)$
继续分解两个因式：
$x^2 - 4x = x(x - 4)$，
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$，
最终得到分解结果。
【答案】
$x(x-4)(x-2)^2$
【知识点】
1. 待定系数法求参数
2. 提公因式法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
本题结合新定义考查因式分解的综合应用，解题关键是先准确求出函数解析式，再按照“先提公因式、再用公式”的顺序分解因式，注意分解要彻底，直到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，先根据新定义给出的$f(x)$表达式，结合$f(1)=5$、$f(2)=12$的条件，列出关于$a$、$b$的二元一次方程组，求解得到$a$、$b$的值，确定$f(x)$的具体解析式；第二步，将自变量替换为$x^2-4x$，代入$f(x)$的解析式得到待分解的多项式；第三步，按照因式分解的顺序，先提取公因式，再用完全平方公式继续分解，直到不能再分解为止。
【解析】
首先根据题意列方程组求$a$、$b$的值：
$\because f(1)=a·1^2 + b·1 = a + b = 5$，
$f(2)=a·2^2 + b·2 = 4a + 2b = 12$，
将第二个方程两边同时除以2得：$2a + b = 6$，
用$2a + b = 6$减去$a + b = 5$，得$a=1$，
将$a=1$代入$a + b =5$，得$b=4$，
$\therefore f(x) = x^2 + 4x$。
接下来代入$x^2-4x$：
$f(x^2 - 4x) = (x^2 - 4x)^2 + 4(x^2 - 4x)$
第一步提取公因式$(x^2 - 4x)$：
原式$= (x^2 - 4x)(x^2 - 4x + 4)$
继续分解两个因式：
$x^2 - 4x = x(x - 4)$，
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$，
最终得到分解结果。
【答案】
$x(x-4)(x-2)^2$
【知识点】
1. 待定系数法求参数
2. 提公因式法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
本题结合新定义考查因式分解的综合应用，解题关键是先准确求出函数解析式，再按照“先提公因式、再用公式”的顺序分解因式，注意分解要彻底，直到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
10.已知$a,b,c$为三角形的三边长，且满足$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0$，则该三角形的形状是
等边三角形
.答案
等边三角形
解析
【分析】
观察已知等式的结构，式子中包含平方项$a^2、b^2、c^2$和乘积项$ab、bc、ac$，和完全平方公式的展开式特征相似，但缺少系数2，因此先考虑给等式两边同时乘2，将式子变形为可配方的形式，再利用平方的非负性推导三边的数量关系，最终判断三角形的形状。
【解析】
解：已知$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0$，
等式两边同时乘2，得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0$，
将式子拆项重组，得：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) = 0$，
由完全平方公式因式分解，得：
$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 = 0$，
∵平方数具有非负性，即$(a - b)^2≥0$，$(b - c)^2≥0$，$(a - c)^2≥0$，
几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，
∴$a - b = 0$，$b - c = 0$，$a - c = 0$，
即$a = b$，$b = c$，$a = c$，可得$a = b = c$，
又
∵a、b、c为三角形的三边长，
∴该三角形是等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题是因式分解与三角形判定的结合类题型，解题核心是掌握配方技巧，通过给等式乘2凑出完全平方的结构，再结合非负数的性质推导得到三边相等的关系。
【难度系数】
0.7
观察已知等式的结构，式子中包含平方项$a^2、b^2、c^2$和乘积项$ab、bc、ac$，和完全平方公式的展开式特征相似，但缺少系数2，因此先考虑给等式两边同时乘2，将式子变形为可配方的形式，再利用平方的非负性推导三边的数量关系，最终判断三角形的形状。
【解析】
解：已知$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0$，
等式两边同时乘2，得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0$，
将式子拆项重组，得：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) = 0$，
由完全平方公式因式分解，得：
$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 = 0$，
∵平方数具有非负性，即$(a - b)^2≥0$，$(b - c)^2≥0$，$(a - c)^2≥0$，
几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，
∴$a - b = 0$，$b - c = 0$，$a - c = 0$，
即$a = b$，$b = c$，$a = c$，可得$a = b = c$，
又
∵a、b、c为三角形的三边长，
∴该三角形是等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题是因式分解与三角形判定的结合类题型，解题核心是掌握配方技巧，通过给等式乘2凑出完全平方的结构，再结合非负数的性质推导得到三边相等的关系。
【难度系数】
0.7
11. 根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
(1)①如果 $ a - b ＜ 0 $，那么 $ a $
②如果 $ a - b = 0 $，那么 $ a $
③如果 $ a - b ＞ 0 $，那么 $ a $
(2)如(1)中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若 $ 2a + 2b - 1 ＞ 3a + b $，比较 $ a $，$ b $ 的大小；
②比较 $ 3a^2 - 2b + 2b^2 $ 与 $ 3a^2 + b^2 - 1 $ 的大小。
(1)①如果 $ a - b ＜ 0 $，那么 $ a $
$＜$
$ b $；②如果 $ a - b = 0 $，那么 $ a $
$=$
$ b $；③如果 $ a - b ＞ 0 $，那么 $ a $
$＞$
$ b $。(2)如(1)中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若 $ 2a + 2b - 1 ＞ 3a + b $，比较 $ a $，$ b $ 的大小；
②比较 $ 3a^2 - 2b + 2b^2 $ 与 $ 3a^2 + b^2 - 1 $ 的大小。
答案
(1)①$＜$ ②$=$ ③$＞$ (2)①$b＞a$ ②$3a^2 -2b +2b^2 ≥ 3a^2 +b^2 -1$
解析
【分析】
本题第一问可直接利用等式和不等式的基本性质，对a-b与0的大小关系变形，得到a与b的大小关系；第二问考查求差法比较大小的应用：①对已知不等式移项、合并同类项，整理得到b与a的差的符号，即可判断二者大小；②将两个代数式作差，通过去括号、合并同类项化简差，再结合完全平方式的非负性判断差的符号，进而得到两个代数式的大小关系。
【解析】
(1)根据等式和不等式的性质，在不等号或等号两边同时加b，不等号方向不变：
①若$a-b＜0$，两边加b得$a＜b$；
②若$a-b=0$，两边加b得$a=b$；
③若$a-b＞0$，两边加b得$a＞b$。
(2)①对不等式$2a + 2b - 1 ＞ 3a + b$移项，将右侧所有项移到左侧：
$2a + 2b -1 -3a -b ＞0$
合并同类项得：$-a + b -1 ＞0$，即$b - a ＞ 1 ＞ 0$
根据求差法比较大小的规则，$b - a ＞ 0$，因此$b ＞ a$。
②计算两个代数式的差：
$(3a^2 - 2b + 2b^2) - (3a^2 + b^2 - 1)$
去括号得：$3a^2 - 2b + 2b^2 - 3a^2 - b^2 + 1$
合并同类项得：$b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2$
由平方的非负性可知$(b-1)^2 ≥ 0$，即两个代数式的差大于等于0，因此$3a^2 - 2b + 2b^2 ≥ 3a^2 + b^2 - 1$。
【答案】
(1)①$＜$ ②$=$ ③$＞$ (2)①$b＞a$ ②$3a^2 -2b +2b^2 ≥ 3a^2 +b^2 -1$
【知识点】
不等式的性质、求差法比较大小、完全平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查求差法比较大小的逻辑，解题的关键是熟练掌握整式的加减运算规则，同时能利用完全平方式的非负性判断代数式的取值范围，是比较代数式大小类问题的典型练习题。
【难度系数】
0.8
本题第一问可直接利用等式和不等式的基本性质，对a-b与0的大小关系变形，得到a与b的大小关系；第二问考查求差法比较大小的应用：①对已知不等式移项、合并同类项，整理得到b与a的差的符号，即可判断二者大小；②将两个代数式作差，通过去括号、合并同类项化简差，再结合完全平方式的非负性判断差的符号，进而得到两个代数式的大小关系。
【解析】
(1)根据等式和不等式的性质，在不等号或等号两边同时加b，不等号方向不变：
①若$a-b＜0$，两边加b得$a＜b$；
②若$a-b=0$，两边加b得$a=b$；
③若$a-b＞0$，两边加b得$a＞b$。
(2)①对不等式$2a + 2b - 1 ＞ 3a + b$移项，将右侧所有项移到左侧：
$2a + 2b -1 -3a -b ＞0$
合并同类项得：$-a + b -1 ＞0$，即$b - a ＞ 1 ＞ 0$
根据求差法比较大小的规则，$b - a ＞ 0$，因此$b ＞ a$。
②计算两个代数式的差：
$(3a^2 - 2b + 2b^2) - (3a^2 + b^2 - 1)$
去括号得：$3a^2 - 2b + 2b^2 - 3a^2 - b^2 + 1$
合并同类项得：$b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2$
由平方的非负性可知$(b-1)^2 ≥ 0$，即两个代数式的差大于等于0，因此$3a^2 - 2b + 2b^2 ≥ 3a^2 + b^2 - 1$。
【答案】
(1)①$＜$ ②$=$ ③$＞$ (2)①$b＞a$ ②$3a^2 -2b +2b^2 ≥ 3a^2 +b^2 -1$
【知识点】
不等式的性质、求差法比较大小、完全平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查求差法比较大小的逻辑，解题的关键是熟练掌握整式的加减运算规则，同时能利用完全平方式的非负性判断代数式的取值范围，是比较代数式大小类问题的典型练习题。
【难度系数】
0.8
