1. 如图,在$△ ABC$中,两条高线$CE$,$BD$相交于点$G$,$M$,$N$是边$BC$上两点,且$AM$,$GN$分别平分$∠ BAC$,$∠ BGC$,$AM$交$CE$于点$F$.
(1)求证:$∠ BAC+∠ BGC=180°$;
(2)求证:$AM// GN$.

(1)
∵ BD,CE 是△ABC 的高线,
∴ ∠ABD+∠BAC=∠ABD+∠BGE= 90°,
∴ ∠BAC = ∠BGE.
∵ ∠BGC + ∠BGE = 180°,
∴ ∠BAC+∠BGC= 180°.
(2)设∠BAC=2x°,则∠MAC=x°,由(1)可知,∠BAC+∠BGC=180°,
∴ ∠BGC=(180-2x)°,
∴ ∠BGN=(90-x)°.
∵ ∠BDA=90°,
∴ ∠AHG=90°-∠MAC=(90-x)°,
∴ ∠AHG = ∠BGN,
∴ AM//GN.

2. 如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠D=90°,AE平分∠BAD交BC于点E,交DC的延长线于点F,作∠ECF的平分线交AB的延长线于点G.
(1)求证:∠BAD=2∠BCG;
(2)求证:CG⊥EF.

(1)
∵ 在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠D=90°,
∴ ∠BAD+∠BCD=180°.
∵ ∠ECF+∠BCD=180°,
∴ ∠BAD=∠ECF.
∵ CG平分∠ECF,
∴ ∠BAD=2∠BCG.
(2)设 CG 交 EF 于点 H,由(1)可知,∠ECG=∠FCG=∠BAE=∠DAE,又
∵ ∠AEB=∠CEF,∠ABC=90°,
∴ ∠CEF+∠ECG=90°,
∴ ∠CHE=90°,
∴ CG⊥EF.