1. 如图①,正方形ABCD和正方形CEFG如图所示放置,连结BG,DE,BE,BG与DE交于点O.
(1)请判断BG与DE的数量及位置关系,并说明理由;
(2)如图②,连结OC,求证:OC是∠BOE的平分线;
(3)如图③,连结DG,若△BCE面积为12,求△DCG的面积.

1. (1)BG=DE,BG⊥DE,理由如下:如图①,设BG交CD于点H.
∵ 四边形ABCD,CEFG为正方形,
∴ BC=CD,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,
∴ ∠BCD+∠DCG = ∠ECG+∠DCG,即∠BCG = ∠DCE,在△BCG 和△DCE 中, $\begin{cases} BC=DC, \\ ∠BCG=∠DCE, \\ CG=CE, \end{cases}$
∴ △BCG≌△DCE(SAS),
∴ BG=DE,∠CBG=∠CDE.
∵ ∠BHD = ∠CHG = ∠CBH+∠BCH = ∠HDO+∠HOD,∠BCH = 90°,
∴ ∠BCH = ∠HOD=90°,
∴ BG⊥DE.
(2)如图②,过点C作CM⊥BG于点M,过点C作CN⊥DE于点N,由(1)可知,△BCG≌△DCE,
∴ $S_{△BCG}=S_{△DCE},BG=DE$,
∴ $\frac{1}{2}BG· CM=\frac{1}{2}DE· CN$,
∴ CM=CN.
∵ CM⊥BG,CN⊥DE,
∴ OC平分∠BOE.
(3)如图③,过点G作GP⊥CD于点P,过点E作EQ⊥BC的延长线于点Q,
∴ ∠GPC=∠EQC=90°.
∵ ∠DCQ=∠GCE=90°,
∴ ∠DCQ - ∠GCQ = ∠GCE - ∠GCQ,即∠PCG=∠QCE,在△PCG 和△QCE 中, $\begin{cases} ∠GPC=∠EQC, \\ ∠PCG=∠QCE, \\ CG=CE, \end{cases}$
∴ △PCG≌△QCE(AAS),
∴ GP=QE.
∵ $S_{△BCE}=\frac{1}{2}BC· QE=\frac{1}{2}CD· GP=S_{△DCG}$, $S_{△BCE}=12$,
∴ $S_{△DCG}=12$.

2. （2026·杭州期中）在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°.点D是等腰Rt△ABC斜边BC上的一动点，连结AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE.
（1）如图①，F是等腰Rt△ABC斜边BC上的动点，且∠DAF=45°，连结EF，CE.根据已知条件，易证△ABD≌△ACE.
①求证：△ADF≌△AEF；
②当BD=12，CD=18时，求CF的长.
（2）如图②，若点D在BC所在直线上运动，当CD=1，BC=3时，求DE的长.

2. (1) ①
∵ △ABD≌△ACE,
∴ AD = AE,∠BAD = ∠CAE.
∵ ∠BAC=90°,∠DAF = 45°,
∴ ∠CAF + ∠BAD = ∠CAF + ∠CAE=45°,
∴ ∠DAF = ∠FAE. 在△ADF 和△AEF 中, $\begin{cases} AD=AE, \\ ∠DAF=∠FAE, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △ADF≌△AEF(SAS).
②设FD = x,则 CF = 18 - x.
∵ AB = AC,∠BAC = 90°,
∴ ∠B = ∠ACB=45°.
∵ △ABD≌△ACE,
∴ ∠ACE = ∠B=45°,EC=BD=12,
∴ ∠FCE = 90°.
∵ △ADF≌△AEF,
∴ FD = FE = x. 在Rt△FCE中,由勾股定理得 $FE^2=EC^2+CF^2$,即 $x^2=12^2+(18-x)^2$,解得 x=13,则 CF=18-13=5.
(2)点D在线段BC上时,如图①,连结EC.
∵ ∠BAC=∠EAD=90°,
∴ ∠BAD = ∠EAC. 在△EAC 和△DAB 中, $\begin{cases} AE=AD, \\ ∠EAC=∠DAB, \\ AC=AB, \end{cases}$
∴ △EAC≌△DAB(SAS),
∴ ∠ACE = ∠B = ∠ACB=45°,EC = BD = BC - CD = 3 - 1 = 2,
∴ ∠ECD = ∠ECA + ∠ACB=90°,
∴ $DE^2=CD^2+CE^2=1^2+2^2=5$,
∴ $DE=\sqrt{5}$;
当D在BC的延长线上时,如图②,连结CE.
∵ AC=AB,AD=AE,又∠BAC = ∠DAE = 90°,
∴ ∠BAD = ∠CAE,
∴ △BAD≌△CAE(SAS),
∴ CE=BD=BC+CD=3+1=4,∠ACE=∠B=45°,
∴ ∠ECB=∠ACE+∠ACB=90°,即 CE⊥BD.在Rt△ECD中, $DE^2=CE^2+CD^2=4^2+1^2=17$,
∴ $DE=\sqrt{17}$.综上所述,DE的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{17}$.