4. ★★★ (2026·本溪期末)如图,将长方形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上点的F处,已知CE=3 cm,AB=8 cm,则边BC的长为 ()

A.12 cm
B.15 cm
C.10 cm
D.22 cm

4. C

5. 如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使点B落在对角线AC上的点F处，折痕为AE，且BE=3，则线段CF的长为。

5. 4

6. ★★★ (2026·郑州期末)如图,在长方形ABCD中,AD=3,CD=4,点M,N分别在边AB,CD上,沿着MN折叠长方形ABCD,使点B,C分别落在G,F处.
(1)如图,当F落在线段AD的中点位置时,则CN=;
(2)如图,若点M与点B重合,连结DF,当线段DF+BF的值最小时,CN的长度为.

6. (1)73/32 (2)3/2

7. （丽水中考）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF.
(1)求证: $△ PDE ≌ △ CDF$;
(2)若 $CD=4\ \mathrm{cm}, EF=5\ \mathrm{cm}$, 求 $BC$ 的长.

7. (1)
∵ 四边形 ABCD 是长方形,
∴ ∠A=∠ADC=∠B=∠C= 90°,AB=CD,由折叠得 AB=PD,∠A=∠P=90°,∠B=∠PDF= 90°,
∴ PD=CD.
∵ ∠PDF=∠ADC,
∴ ∠PDE=∠CDF,在△PDE和△CDF中, $\begin{cases} ∠P=∠C=90°, \\ PD=CD, \\ ∠PDE=∠CDF, \end{cases}$
∴ △PDE≌△CDF(ASA).
(2)如图,过点 E 作 EG ⊥ BC 于 G,
∴ ∠EGF=90°,EG=CD=4,在Rt△EGF中,由勾股定理得 FG=√(5²-4²)= 3(cm),设 CF=x,由(1)知 PE=AE=BG=x.
∵ AD//BC,
∴ ∠DEF=∠BFE,由折叠得∠BFE=∠DFE,
∴ ∠DEF=∠DFE,
∴ DE=DF=x+3,在 Rt△CDF中,由勾股定理得 CF²+CD²=DF²,即x²+4²=(x+3)²,解得 x=7/6,
∴ BC=2x+3=7/3 +3=16/3( cm ).

8. 折叠问题是几何变换常见的数学问题,其本质是轴对称图形,而长方形的折叠又往往会与勾股定理相关联.数学活动课上,同学们以“折叠”为主题开展了数学活动:在长方形纸片ABCD中,AB=3,BC=16,点M在边BC上,BM=9.
(1)如图①,将长方形纸片ABCD沿AM折叠,点B落在点B'处,MB'与AD交于点E,求线段AE的长.
(2)如图②,在图①的基础上将纸片左边部分沿MN折叠,使CM恰好落在直线MB'上,点C,D的对应点分别为C',D'.
①求折痕MN的长;
②连结AD',求AD'的长.

8. (1)
∵ 将长方形纸片 ABCD 沿 AM 折叠,
∴ BM = B'M = 9,AB'=AB=3,∠B' = B = 90°, ∠AMB = ∠AMB'.
∵ AD // BC,
∴ ∠EAM=∠AMB,
∴ ∠EAM=∠AME,
∴ ME=AE.
∵ AE²=AB'²+B'E²,
∴ AE²=3²+(9-AE)²,解得 AE=5.
(2)①
∵ 将纸片左边部分沿 MN 折叠,使 CM 恰好落在直线MB'上,
∴ ∠CMN=∠C'MN.
∵ AD//BC,
∴ ∠ANM=∠CMN,
∴ ∠ENM=∠EMN,
∴ NE=EM,由(1)知,AE=EM=5,
∴ NE=EM=5,
∴ AN=10.
∵ ∠CMN=∠NMC',∠AMB=∠AMB',
∴ ∠AMN=∠NMC'+∠AMB'=1/2 ×180°=90°.
∵ AM=√(AB²+BM²)=√(3²+9²)=√90,
∴ MN=√(AN²-AM²)=√10.
②设AD'与B'M交于点F,
∵ BC=16,BM=B'M=9,
∴ CM=C'M=7,
∴ C'B'=9-7=2.
∵ D'C'=CD=AB=AB'=3,∠D'C'M=∠C=90°,
∴ ∠D'C'F=∠B'=90°.
∵ ∠D'FE=∠AFB',
∴ △D'C'F≌△AB'F(AAS),
∴ B'F=FC'=1/2 B'C'=1,AF=D'F,
∴ AF=√(3²+1²)=√10,
∴ AD'=2AF=2√10.