1. ★★★（济宁中考）如图，三角形纸片$ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=2$，$AC=3$.沿过点$A$的直线将纸片折叠，使点$B$落在边$BC$上的点$D$处；再折叠纸片，使点$C$与点$D$重合，若折痕与$AC$的交点为$E$，则$AE$的长是（）


A.$\frac{13}{6}$
B.$\frac{5}{6}$
C.$\frac{7}{6}$
D.$\frac{6}{5}$

1. A

2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，先将$\mathrm{Rt}△ ABC$中的各内角进行折叠操作：
(1)如图①，将$\mathrm{Rt}△ ABC$中的$∠ C$进行折叠，使直角边$AC$落在斜边$AB$上，点$C$落在点$E$位置，折痕为$AD$，求$CD$的长；
(2)如图②，将$\mathrm{Rt}△ ABC$中的$∠ B$进行折叠，使点$B$落在直角边$AC$的中点$E$上，折痕为$DF$，求$BD$的长.

2. (1)
∵ ∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,
∴ AB=√(6²+8²)=10(cm).设 CD 为 x cm,则 BD = BC - CD = (8 - x) cm.
∵ 将Rt△ABC中的∠C进行折叠,使直角边AC落在斜边AB上,点C落在点E位置,
∴ DE = CD = x cm,AE = AC = 6 cm,BE = AB - AE = 10 - 6 = 4( cm ),
∴ 在 Rt△BDE 中,利用勾股定理得 BE² + DE² = BD²,即 4² + x² = (8 - x)²,解得 x = 3,即 CD 的长为 3 cm.
(2)设 BD 为 x cm,则 CD = BC - BD = (8 - x) cm.
∵ 将 Rt△ABC 中的∠B进行折叠,使点B落在直角边AC的中点E上,折痕为DF,
∴ DE = BD = x cm,CE = 1/2 AC = 3 cm,
∴ 在 Rt△CDE 中,利用勾股定理得 CE² + CD² = DE²,即 3² + (8 - x)² = x²,解得 x = 73/16,即 BD 的长为73/16 cm.

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$E,F$在边$AB$上,将边$AC$沿$CE$翻折,使点$A$落在$AB$上的点$D$处,再将边$BC$沿$CF$翻折,使点$B$落在$CD$的延长线上的点$B'$处.
(1)求$∠ ECF$的度数;
(2)若$CE=4,B'F=1$,求线段$BC$的长和$△ ABC$的面积.

3. (1)由折叠可得 ∠ACE = ∠DCE = 1/2 ∠ACD, ∠BCF = ∠B'CF = 1/2 ∠BCB'.又
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠ACD+∠BCB' = 90°,
∴ ∠ECD+∠FCD = 1/2 ×90°=45°,即∠ECF=45°.
(2)由折叠可得∠DEC=∠AEC=90°,BF=B'F=1,
∴ ∠EFC=45°=∠ECF,
∴ CE=EF=4,
∴ BE=4+1=5.
在Rt△BCE中,由勾股定理得 BC=√(BE²+CE²)=√(5²+4²)=√41.设AE=x,则AB=x+5,
∵ 在Rt△ACE中,AC²=AE²+CE²,在Rt△ABC中,AC²=AB²-BC²,
∴ AE²+CE²=AB²-BC²,即x²+4²=(x+5)²-41,解得x=16/5,
∴ AE=16/5,
∴ AB=AE+BE=16/5+5=41/5,
∴ S△ABC=1/2 AB×CE=1/2 ×41/5 ×4=82/5.