1. ★★★ 等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，点$M,N$在边$BC$上，且$∠ MAN=45°$.若$BM=1$，$CN=3$，求$MN$的长.

过点C作CE⊥BC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连结AE,EN.
∵ AB = AC, ∠BAC = 90°,
∴ ∠B= ∠ACB=45°.
∵ CE⊥BC,
∴ ∠ACE= ∠B = 45°. 在 △ABM 和 △ACE 中,
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠B=∠ACE, \\ BM=CE, \end{cases}$
∴ △ABM ≌ △ACE ( SAS ),
∴ AM=AE, ∠BAM = ∠CAE.
∵ ∠BAC = 90°, ∠MAN = 45°,
∴ ∠BAM+∠CAN = 45°.于是,由∠BAM = ∠CAE,得∠MAN = ∠EAN = 45°. 在 △MAN 和 △EAN 中, $\begin{cases} AM=AE,\\ ∠MAN=∠EAN, \\ AN=AN, \end{cases}$
∴ △MAN≌△EAN(SAS),
∴ MN=EN.在Rt△ENC中,由勾股定理,得$EN^2=EC^2+NC^2$,
∴ $MN^2=BM^2+NC^2$.
∵ BM=1,CN=3,
∴ $MN^2=1^2+3^2$,
∴ $MN=\sqrt{10}$.