如图是一个雕塑,雕塑的底座是一个长方体.

【基础设施问】
(1)如图,在长方形ABCD中,若DC=18 dm,根据图中的数据,计算长方形ABCD的面积.

(2)已知:长方形ABCD.求证:AB//CD.(用反证法)
【能力设问】
(3)如图,在长方形ABCD中,H,F分别是边BC,CD上的点,连接AH,HF.若BH=7 dm,AB=24 dm,FC=15 dm,AH=HF,求BC的长.

(4)若BC的长为50 cm,DE的长为60 cm,CD的长为60 cm,一只蚂蚁从B处沿长方体表面爬到棱DE的中点M处,蚂蚁爬行的最短路程是多少?
(5)将长方形ABCD按如图所示的方式折叠,使点C落在AB上的点C'处,折痕为KN,点D落在点D'处,C'D'交AD于点O.若BK=3,BC'=4,AC'=3,求DN的长.

(1)在Rt△ADG中,∠AGD=90°,AG=12 dm,GD=16 dm,根据勾股定理得,AD=√(AG²+DG²)=√(12²+16²)=20(dm).
∵DC=18 dm,
∴长方形ABCD的面积为20×18=360(dm²).
(2)假设AB与CD不平行,则AB与CD相交,设其交点为O.
∵AB⊥BC,DC⊥BC,
∴过点O有两条直线与直线BC垂直,这与"同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"矛盾,
∴假设不成立,
∴AB//CD.
(3)在Rt△ABH中,AB=24 dm,BH=7 dm,根据勾股定理得,AH=√(AB²+BH²)=√(24²+7²)=25(dm).
∵AH=HF,
∴HF=25 dm.在Rt△FHC中,FC=15 dm,根据勾股定理得,HC=√(HF²-FC²)=√(25²-15²)=20(dm),
∴BC=BH+HC=7+20=27(dm).
(4)①如图1,将长方体的前面和右面展开.过点M作MN⊥BC于点N.
∵DE=60 cm,M是DE的中点,
∴DM=1/2 DE=1/2 ×60=30(cm),
∴CN=DM=30 cm.在Rt△BMN中,BC=50 cm,MN=CD=60 cm,根据勾股定理得,BM²=BN²+MN²=(50+30)²+60²=10 000,
∴BM=100 cm.
②如图2,将长方体的前面和上面展开,同理,根据勾股定理得,BM²=BC²+CM²=50²+(60+30)²=10 600.
③如图3,将长方体的左面和上面展开,同理,根据勾股定理得,BM²=BD²+DM²=(50+60)²+(60/2)²=13 000.
∵10 000＜10 600＜13 000,
∴蚂蚁爬行的最短路程是100 cm.
(5)在Rt△BKC'中,BK=3,BC'=4,根据勾股定理得,KC'=√(BC'²+BK²)=√(4²+3²)=5.根据折叠的性质得,KC'=CK=5,∠D'C'K=∠C=∠D=∠D'=90°.
∵∠A=∠B=90°,
∴∠BC'K+∠AC'O=90°,∠AC'O+∠AOC'=90°,
∴∠BC'K=∠AOC'.在△BC'K和△AOC'中,∠BC'K=∠AOC',∠B=∠A,BK=AC',
∴△BC'K≌△AOC'(AAS),
∴AO=BC'=4,C'O=KC'=5.
∵AB=BC'+AC'=7,
∴C'D'=CD=AB=7.
∵AD=BC=BK+CK=3+5=8,
∴DO=AD-AO=8-4=4,D'O=C'D'-C'O=7-5=2.设DN=a,则D'N=a,NO=4-a.在Rt△D'ON中,NO²=D'O²+D'N²,即(4-a)²=2²+a²,解得a=3/2,
∴DN=3/2.