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1. 新趋势·数学文化 [2024 巴中中考]“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问:水深几何?”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即如图，$AC = 5$，$DC = 1$，$BD = BA$，则$BC =$（
A.8
B.10
C.12
D.13
C
）A.8
B.10
C.12
D.13
答案
1 C 设BC=x,则BA=BD=x+1. 在Rt△ABC中,根据勾股定理,得(x+1)²=5²+x²,解得x=12,即BC=12.
2. [2024浙江中考]如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（$△ ABE$，$△ BCF$，$△ CDG$，$△ DAH$）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若$AE=4$，$BE=3$，则$DE=$（
A.$5$
B.$2\sqrt{6}$
C.$\sqrt{17}$
D.$4$
C
）A.$5$
B.$2\sqrt{6}$
C.$\sqrt{17}$
D.$4$
答案
2 C
∵△ABE,△BCF,△CDG,△DAH是四个全等的直角三角形,
∴AH=EB=3,DH=AE=4,
∴HE=AE-AH=4-3=1.
∵四边形EFGH为正方形,
∴∠DHE=90°,
∴DE=√(DH²+HE²)=√(4²+1²)=√17.
∵△ABE,△BCF,△CDG,△DAH是四个全等的直角三角形,
∴AH=EB=3,DH=AE=4,
∴HE=AE-AH=4-3=1.
∵四边形EFGH为正方形,
∴∠DHE=90°,
∴DE=√(DH²+HE²)=√(4²+1²)=√17.
3. [2023 本溪中考] 如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ C = 90°, AB = 5, BC = 3$, 以点 A 为圆心, 适当长为半径作弧, 分别交 AB, AC 于点 E, F; 分别以点 E, F 为圆心, 大于 $\frac{1}{2}EF$ 的长为半径作弧, 两弧在 $∠ BAC$ 的内部相交于点 G, 作射线 AG, 交 BC 于点 D, 则 BD 的长为 (
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{5}{3}$
D
)A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
3 D 如图
,过点D作DM⊥AB于点M,由勾股定理可得,AC=√(AB²-BC²)=4. 由题中作图可知,AD平分∠BAC.∵DM⊥AB,AC⊥BC,
∴DC=DM.又
∵AD=AD,
∴Rt△ADC≌Rt△ADM(HL),
∴AM=AC=4,
∴BM=AB-AM=1.设BD=x,则MD=CD=BC-BD=3-x.在Rt△DMB中,由勾股定理得,1²+(3-x)²=x²,解得x=5/3,即BD=5/3.
4. [2025连云港中考]如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为
2.4
m.答案
4 2.4 根据题意得,梯子顶端的高度h=√(3²-1.8²)=2.4(m).
5. ▶新趋势·数学文化 [2025 扬州中考]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为
11,60,61
。答案
5 11,60,61 由题意得,第⑤组勾股数的第1个数为11,设第2个数为x,则第3个数为x+1,则11²+x²=(x+1)²,解得x=60,
∴x+1=61,
∴第⑤组勾股数为11,60,61.
∴x+1=61,
∴第⑤组勾股数为11,60,61.
6. [2024徐州中考]如图,将长方形纸片ABCD沿边EF折叠,使点D落在边BC的中点M处.若AB=4,BC=6,则CF=
7/8
.答案
6 7/8
∵四边形ABCD是长方形,
∴CD=AB=4,∠C=90°.
∵M是BC的中点,
∴CM=1/2 BC=1/2 ×6=3. 根据折叠的性质,得MF=DF.设FC=x,则FD=MF=4-x.在Rt△MCF中,根据勾股定理,得MF²=MC²+FC²,即(4-x)²=3²+x²,解得x=7/8,
∴FC=7/8.
∵四边形ABCD是长方形,
∴CD=AB=4,∠C=90°.
∵M是BC的中点,
∴CM=1/2 BC=1/2 ×6=3. 根据折叠的性质,得MF=DF.设FC=x,则FD=MF=4-x.在Rt△MCF中,根据勾股定理,得MF²=MC²+FC²,即(4-x)²=3²+x²,解得x=7/8,
∴FC=7/8.
7. [2022鄂尔多斯中考]如图，$AB ⊥ BC$于点B，$AB ⊥ AD$于点A，点E是CD的中点.若$BC=5$，$AD=10$，$BE=\dfrac{13}{2}$，则AB的长为
12
.答案
7 12 如图
,延长BE交AD于点F.∵点E是DC的中点,
∴DE=CE.
∵AB⊥BC,AB⊥AD,
∴AD//BC,
∴∠D=∠C,又
∵∠FED=∠BEC,DE=CE,
∴△FDE≌△BCE(ASA),
∴DF=BC=5,BE=EF,
∴AF=AD-DF=5,BF=2BE=13.在Rt△ABF中,由勾股定理,得AB=√(BF²-AF²)=12.
8. [2025长春中考]图1、图2、图3均是$4 × 3$的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点. 只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作$△ ABC$，使$△ ABC$的顶点均在格点上.
(1)在图1中，$△ ABC$是面积最大的等腰三角形；
(2)在图2中，$△ ABC$是面积最大的直角三角形；
(3)在图3中，$△ ABC$是面积最大的等腰直角三角形.
(1)在图1中，$△ ABC$是面积最大的等腰三角形；
(2)在图2中，$△ ABC$是面积最大的直角三角形；
(3)在图3中，$△ ABC$是面积最大的等腰直角三角形.
答案
8 解:(1)如图1,△ABC即所求.
(2)如图2,△ABC即所求.
(3)如图3,△ABC即所求.
(作法不唯一)
